رجوعالرئيسيةمادة الرياضيات - الصف التاسع
الفصل الدراسي الأول · 2026/2027

مذكرة الرياضيات

الصف التاسع · الرياضيات

🎨 السؤال بالخط الأزرق · الإجابة بالخط الأخضر. المرجع الوحيد: كتاب الطالب.

١

الأعداد الحقيقية والعمليات عليها

الوحدة الأولى · صفحات 15–61
مقدمة الوحدة: كيف تهتم دولة الكويت بتطوّر العلوم والثقافة؟
تهتم دولة الكويت بتطوّر العلوم والثقافة لزيادة الوعي لدى مواطنيها، ومن مظاهر ذلك إنشاء المراكز العلمية والثقافية ومنها مركز الشيخ عبدالله السالم الثقافي، وهو أحد أكبر معالم التطوّر الثقافي من نوعه حول العالم وقد افتُتح في مايو 2017 م. يضم المركز عدة متاحف ومنشآت منها: متحف التاريخ الطبيعي، ومتحف العلوم والتكنولوجيا، ومركز الفنون الجميلة، ومتحف العلوم العربية الإسلامية، ومتحف الفضاء، ومسرح.
ما معايير المنهج في الوحدة الأولى (مجال العدّ والجبر)؟
١) تمثيل الأعداد واستخدامها ضمن أشكال متكافئة متنوّعة، وإدراك أن مختلف أشكال الأعداد تتلاءم مع حالات مختلفة. · ٢) استخدام المعادلات والنماذج الرياضية لحلّ المسائل. · ٣) اختيار العمليات المناسبة واستخدامها لحلّ المسائل وتعليل الخيارات. · ٤) تقدير وتقريب لتحديد النتائج المعقولة للعمليات الحسابية. · ٥) استخدام التمثيلات البيانية والجداول والتمثيلات الجبرية للقيام بالتوقعات ولحل المسائل. (مؤشرات الأداء: التذكّر، التعرّف، الفهم، المقارنة والتمييز، التمثيل، حلّ المشكلات، الاستدلال، الاستنتاج، العمل الجماعي وغيرها.)
ما المخطط التنظيمي للوحدة الأولى «الأعداد الحقيقية والعمليات عليها»؟
الجذور التربيعية والأعداد غير النسبية · الأعداد الحقيقية (ويتفرع منها: مقارنة وترتيب، والعمليات على الأعداد الحقيقية) · القيمة المطلقة (ويتفرع منها: حل معادلات تتضمن قيمة مطلقة) · حل متباينة من الدرجة الأولى (ويتفرع منها: حل متباينات تتضمن قيمة مطلقة) · الصورة العلمية.

هل أنت مستعد؟ (مراجعة المتطلبات السابقة للوحدة الأولى)

١) أوجد مساحة منطقة مربعة طول ضلعها 3 سم.
المساحة = الضلع × الضلع = 3 × 3 = 9 سم².
٢) أوجد قيمة كل مما يلي: (أ) 3² (ب) 8² (ج) (−6)²
(أ) 9 · (ب) 64 · (ج) 36 (لأن مربع العدد السالب موجب).
٣) أوجد قيمة كل مما يلي: (أ) √4 (ب) √25 (ج) √49 (د) −√16
(أ) 2 · (ب) 5 · (ج) 7 · (د) −4.
٤) قارن بوضع > أو < أو = : (أ) 3/5 ○ 0.6 (ب) 2/5 ○ 0.7 (ج) 3.95 ○ 3.9̄
(أ) 3/5 = 0.6 فالعددان متساويان (=) · (ب) 2/5 = 0.4 < 0.7 (<) · (ج) 3.9̄ = 3.999… > 3.95 فيكون 3.95 < 3.9̄ (<).
٥) أوجد ناتج: (أ) 9 + 3 × 8 (ب) 15 ÷ (7 − 4) (ج) 6² ÷ (7 + 2) (د) 8 × √49 − 10
(أ) 9 + 24 = 33 (الضرب قبل الجمع) · (ب) 15 ÷ 3 = 5 · (ج) 36 ÷ 9 = 4 · (د) 8 × 7 − 10 = 56 − 10 = 46.
٦) أوجد ناتج: (أ) 4/7 × 7/8 (ب) 5/9 ÷ 5
(أ) 28/56 = 1/2 · (ب) 5/9 × 1/5 = 1/9.
٧) أوجد قيمة 5س − 3 إذا كانت س = 2.
5(2) − 3 = 10 − 3 = 7.
٨) حُلّ المعادلة: 2س + 1 = 7.
2س = 6 ⇒ س = 3.
٩) بسّط: (أ) س⁴ × س⁵ (ب) ب⁶ / ب² (ج) س⁻⁴
(أ) س⁹ (تُجمع الأسس) · (ب) ب⁴ (تُطرح الأسس) · (ج) 1/س⁴.

١-١ الجذور التربيعية والأعداد غير النسبية (Square Roots and Irrational Numbers)

سوف تتعلّم: الأعداد غير النسبية. العبارات والمفردات: جذر تربيعي (Square Root) · جذر تربيعي أساسي (Principal Square Root) · عدد غير نسبي (Irrational Number).

استكشف: لدى سعد لوحات مربعة لبعض معالم الكويت (أبراج المياه، برج التحرير، أبراج الكويت). أوجد طول ضلع كل لوحة إذا كانت المساحات 4 م² و9 م² و7 م². وهل يوجد عدد نسبي مربعه 7؟
طول الضلع = جذر المساحة: لوحة أبراج المياه: √4 = 2 م · لوحة برج التحرير: √9 = 3 م · لوحة أبراج الكويت: √7 (لا يوجد عدد نسبي مربعه 7، فهو لا ينتمي إلى الأعداد النسبية).
الجذر التربيعي للعدد النسبي الموجب س: هو العدد الذي إذا ضُرب في نفسه كان الناتج س.
ما مجموعة الأعداد النسبية (ن) وكيف تُكتب أعدادها؟
ن = { أ/ب : أ، ب ∈ ص (صحيحان)، ب ≠ 0 }. وتُكتب في صورة أعداد عشرية (كسور عشرية) منتهية مثل 3.25 و0.487، أو دورية مثل 2.16̄ و0.3̄. أمثلة: 0.5̄ = 5/9 · 0.17̄ = 17/99.
بالعودة إلى استكشف: إلى أي مجموعة ينتمي √7؟ وما الجذر التربيعي لأي عدد ليس مربعًا كاملًا؟
√7 لا ينتمي إلى الأعداد النسبية، بل إلى مجموعة جديدة تُسمّى مجموعة الأعداد غير النسبية (ن̄). فالجذر التربيعي لأي عدد ليس مربعًا كاملًا هو عدد غير نسبي.
الأعداد غير النسبية: هي الأعداد التي لا يمكن كتابتها على الصورة أ/ب حيث أ، ب عددان صحيحان، ب ≠ 0.
اذكر أمثلة على الأعداد غير النسبية.
١) √5 ، −√2 ، 1/√7 ، ³√5 ، … · ٢) أعداد عشرية أرقامها لا تنتهي ولا تتكرر مثل π ≈ 3.14159… · ٣) كسور عشرية ذات نمط في كتابتها لا يتكرر دوريًا مثل 0.0202202220222202…
كم جذرًا تربيعيًا للعدد 9؟ وما الجذر التربيعي الأساسي؟
للعدد 9 جذران تربيعيان لأن (3)² = 9 و(−3)² = 9: الجذر الموجب √9 = 3 (الجذر التربيعي الموجب)، والجذر السالب −√9 = −3 (الجذر التربيعي السالب). ويُعرف الجذر التربيعي الموجب بـ «الجذر التربيعي الأساسي». (اللوازم: آلة حاسبة).
دورك الآن: ضع الأعداد الآتية في مكانها المناسب في الجدول (عدد نسبي / عدد غير نسبي): √15 ، −√2 ، 1/√64 ، π ، 7/9 ، −0.17 ، 0.3̄ ، 0.3533533335…
أعداد نسبية: 1/√64 (= 1/8) · 7/9 · −0.17 · 0.3̄ (= 1/3). أعداد غير نسبية: √15 · −√2 · π · 0.3533533335… (لا يتكرر منها نمط دوري).
مثال (١): قدِّر √13.
نبحث عن عددين مربعين كاملين متتاليين يقع بينهما 13، وهما 9 و16: 9 < 13 < 16 ⇒ √9 < √13 < √16 ⇒ 3 < √13 < 4. إذن √13 يقع بين 3 و4، والعدد 13 أقرب إلى 16، فـ √13 أقرب إلى 4: √13 ≈ 3.6 (تحقق بالآلة الحاسبة: 3.6055…).
تذكّر: جدول المربعات الكاملة
1²=1 · 2²=4 · 3²=9 · 4²=16 · 5²=25 · 6²=36 · 7²=49 · 8²=64 · 9²=81 · 10²=100 · 11²=121 · 12²=144
من خواص الجذور التربيعية: إذا كان أ، ب عددين نسبيين موجبين فإن: √أ × √ب = √(أ×ب) · √(أ/ب) = √أ / √ب · √أ × √أ = أ.
انتبه: √(أ+ب) ≠ √أ + √ب ، و√(أ−ب) ≠ √أ − √ب (الجذر لا يتوزع على الجمع والطرح).
مثال (٢): أوجد ناتج كل مما يلي موظفًا خواص الجذور التربيعية: (أ) √5 × √5 (ب) √9 × √49 (ج) √(25/64) (د) √2 × √8 (هـ) √24 / √6 (و) −√0.81 (ز) √36 × √100 (ح) 2√3 × √3
(أ) √5 × √5 = 5 · (ب) √9 × √49 = √(9×49) = 3 × 7 = 21 · (ج) √25 / √64 = 5/8 · (د) √2 × √8 = √16 = 4 · (هـ) √24 / √6 = √(24/6) = √4 = 2 · (و) −√0.81 = −√(81/100) = −9/10 = −0.9 · (ز) √36 × √100 = √3600 = 6 × 10 = 60 · (ح) 2√3 × √3 = 2 × 3 = 6.
عبّر عن فهمك: هل الجذر التربيعي للعدد 50 يساوي ضعف الجذر التربيعي للعدد 25؟ وضّح إجابتك.
لا. ضعف √25 = 2 × 5 = 10، أما √50 ≈ 7.07 (= 5√2). فالجذر التربيعي للعدد 50 لا يساوي 10؛ لأن √(2×25) = √2 × √25 ≠ 2 × √25.

الأنشطة والتقويم: ١-١ (تمارين ذاتية)

١) حدّد ما إذا كان كل عدد نسبيًا أم غير نسبي: (أ) √16 (ب) √20 (ج) 2.15 (د) −0.77 (هـ) 8/3 (و) √(9/25) (ز) π (ح) 0.2424424444… (ط) 2 + √3
(أ) √16 = 4 ⇒ نسبي · (ب) √20 ليس مربعًا كاملًا ⇒ غير نسبي · (ج) عشري دوري ⇒ نسبي · (د) عشري منتهٍ ⇒ نسبي · (هـ) كسر ⇒ نسبي · (و) √(9/25) = 3/5 ⇒ نسبي · (ز) π غير نسبي · (ح) أرقامه غير دورية (نمط متغيّر) ⇒ غير نسبي · (ط) مجموع عدد نسبي وعدد غير نسبي ⇒ غير نسبي.
٢) قدّر كلًّا مما يلي: (أ) √35 (ب) √68
(أ) 25 < 36 فـ 5 < √35 < 6 والعدد 35 أقرب إلى 36، فـ √35 ≈ 5.9 (5.916…). · (ب) 64 < 68 < 81 فـ 8 < √68 < 9 والعدد 68 أقرب إلى 64، فـ √68 ≈ 8.2 (8.246…).
٣) أوجد ناتج كل مما يلي موظفًا خواص الجذور التربيعية: (أ) −√(1/81) (ب) √11 × √11 (ج) √(4×49) (د) √2 × √18 (هـ) √(27/3) (و) √2500 (ز) √0.64 (ح) 3√5 × 2√5 (ط) 5√7 × 2√7 (ي) 7√3 × √3
(أ) −1/9 · (ب) 11 · (ج) 2 × 7 = 14 · (د) √36 = 6 · (هـ) √9 = 3 · (و) √2500 = 50 · (ز) 0.8 · (ح) 6 × 5 = 30 · (ط) 10 × 7 = 70 · (ي) 7 × 3 = 21.
٤) (مهارات تفكير عليا) في أحد المعارض قاعة عرض أرضيتها مربعة الشكل مقسمة إلى أربعة أجزاء متطابقة. إذا كانت مساحة الجزء الواحد 400 م²، فما طول ضلع أرضية القاعة؟
مساحة الأرضية كلها = 4 × 400 = 1600 م². طول الضلع = √1600 = 40 م.

١-٢ الأعداد الحقيقية (مقارنة – ترتيب) (Real Numbers: Comparing – Ordering)

سوف تتعلّم: الأعداد الحقيقية ومقارنتها وترتيبها وتمثيلها. المفردات: الأعداد الحقيقية (Real Numbers) · الفترات (Intervals) · فترات محدودة (Bounded Intervals) · فترات غير محدودة (Unbounded Intervals) · فترة مغلقة (Closed Interval) · فترة مفتوحة (Open Interval) · فترة نصف مغلقة (Half-Closed Interval) · فترة نصف مفتوحة (Half-Open Interval).

حلّ وناقش (١): ضع كلًا من الأعداد الآتية في مكانها المناسب على شكل فن (ن: النسبية، ن̄: غير النسبية، ص: الصحيحة، ط: الكلية): 1/2 ، −4 ، 9 ، 0.6 ، √5 ، ³√(−2) ، √16 ، 7/9 ، 0 ، 5
ط (الكلية): 9 ، 0 ، 5 ، √16 (= 4) · ص (الصحيحة) وليست كلية: −4 · ن (نسبية وليست صحيحة): 1/2 ، 0.6 ، 7/9 · ن̄ (غير النسبية، خارج ن): √5 ، ³√(−2). (ط داخل ص، وص داخل ن، وتقع ن̄ في مستطيل منفصل عن ن.)
حلّ وناقش (٢): أكمل: ن ∩ ن̄ = ………
ن ∩ ن̄ = ∅ (المجموعة الخالية)، فلا يوجد عدد نسبي وغير نسبي معًا.
اتحاد مجموعة الأعداد النسبية (ن) ومجموعة الأعداد غير النسبية (ن̄) يشكّل مجموعة الأعداد الحقيقية (ح): ح = ن ∪ ن̄.
كل نقطة على خط الأعداد تمثّل عددًا حقيقيًا، وكل عدد حقيقي يُمثَّل بنقطة على خط الأعداد.
ما العلاقات بين مجموعات الأعداد في المخطط الذي يوضحها؟
ح (الحقيقية) = ن (النسبية) ∪ ن̄ (غير النسبية).
المجموعةأمثلة
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
٢

التحليل والمعادلات

الوحدة الثانية · صفحات 64–113
مقدمة الوحدة الثانية «التحليل والمعادلات»: ما موضوع «عالم الصناعة»؟
تُعدّ الصناعة مصدرًا من أهمّ مصادر الدخل في دولة الكويت؛ وحيث إن الكويت بلد مصدّر للنفط كان لا بدّ من وجود مصانع كشركة الصناعات الهندسية الثقيلة وبناء السفن (HEISCO) حيث تأسّست عام 1974 م ومقرّها في الشويخ، ومن أنشطتها: بناء وإصلاح السفن وأعمال الترسية · تصنيع الهياكل المعدنية والمبادلات الحرارية والخزّانات · التنفيذ الهندسي الشامل في مشاريع النفط والغاز والبتروكيماويات · أعمال الإنشاء المدني والصيانة الصناعية وخدمات الشحن والتفتيش الفنّي والإشعاعي والحلول اللوجستية.
ما معايير المنهج في الوحدة الثانية (مجال العدّ والجبر)؟
١) تمثيل وتحليل المواقف والبنى الرياضية باستخدام الرموز الجبرية. · ٢) فهم الأنماط والعلاقات والدوال. (مؤشرات الأداء: العمل الجماعي، الاستكشاف والتقصي، التذكّر، التعرّف، الفهم، المقارنة والتمييز، التمثيل، النمذجة، التحليل والتركيب، القوانين، التعاون، المشاركة، الاستنتاج، الترميز والبرمجة، حلّ المشكلات، الاستدلال، القيادة، اتّخاذ القرار.)
ما المخطط التنظيمي للوحدة الثانية؟
التحليل (ويتضمن: الفرق بين مكعّبين أو مجموعهما · الحدودية الثلاثية على الصورة س² + ب س + جـ وعلى الصورة أ س² + ب س + جـ حيث أ ≠ 1 · تحليل المربّع الكامل · الحدودية الرباعية) ثم حلّ معادلة من الدرجة الثانية في متغيّر واحد.

هل أنت مستعد؟ (مراجعة المتطلبات السابقة للوحدة الثانية)

١) أوجد العامل المشترك الأكبر (ع.م.أ) لكل مما يلي: (أ) 14 ، 7 (ب) 6س² ، 8س³
(أ) 7 · (ب) 2س² (أكبر عدد يقسم 6 و8 هو 2، وأصغر قوة للمتغير س هي س²).
٢) حلّل ما يلي تحليلًا تامًا: (أ) 2س² − 8س (ب) ص² − 4
(أ) 2س(س − 4) · (ب) (ص − 2)(ص + 2) (فرق بين مربعين).
٣) أوجد ناتج كل مما يلي: (أ) ³√(−8/27) (ب) ³√0.064
(أ) −2/3 لأن (−2/3)³ = −8/27 · (ب) 0.4 لأن (0.4)³ = 0.064.
٤) اختصر ما يلي: (أ) (3²)³ (ب) (2⁻⁴)² (ج) (ص³)² (د) (س²ص³)⁴
(أ) 3⁶ = 729 · (ب) 2⁻⁸ = 1/256 · (ج) ص⁶ · (د) س⁸ص¹² (تُضرب الأسس).
٥) أوجد ناتج كل مما يلي: (أ) س(س + 3) (ب) 3(2س² − 7س + 5) (ج) (3س − 1)(س + 4) (د) (2ص − 1)(2ص − 1) (هـ) (س + 5)² (و) (س − ص)(س² + سص + ص²)
(أ) س² + 3س · (ب) 6س² − 21س + 15 · (ج) 3س² + 12س − س − 4 = 3س² + 11س − 4 · (د) 4ص² − 4ص + 1 · (هـ) س² + 10س + 25 · (و) س³ − ص³.
٦) أوجد مجموعة حل كل من المعادلات الآتية في ح: (أ) 6س + 5 = 8س (ب) س² − 16 = 0
(أ) 5 = 2س ⇒ س = 5/2 ⇒ {5/2} · (ب) س² = 16 ⇒ س = 4 أو س = −4 ⇒ {4، −4}.
٧) أوجد مساحة منطقة مربعة طول ضلعها (س − 3) سم.
المساحة = (س − 3)² = س² − 6س + 9 سم².
٨) منطقة مستطيلة بعداها (س + 1) سم و(س + 5) سم. أوجد مساحتها.
(س + 1)(س + 5) = س² + 6س + 5 سم².

٢-١ تحليل الفرق بين مكعّبين أو مجموعهما (Factorising the Difference Between Two Cubes or Their Sum)

سوف تتعلّم: تحليل الفرق بين مكعّبين وتحليل مجموع مكعّبين. المفردات: تحليل (Factorising) · الفرق بين مكعّبين (Difference Between Two Cubes) · مجموع مكعّبين (Sum of Two Cubes).

استكشف: أنتج مصنع للإسفنج قطعة مكعّبة الشكل طول حرفها (س) وحدة طول (الشكل أ). ومن أحد رؤوسها تمّ قطع مكعّب صغير طول حرفه (ص) وحدة طول (الشكل ب). احسب حجم المكعّب الكبير، وحجم المكعّب الصغير، وحجم الجزء المتبقّي. وكيف يمكن التوصل إلى حجم الجزء المتبقّي بتجزئته إلى ثلاثة مجسّمات؟
حجم المكعّب الكبير = س × س × س = س³ وحدة مكعّبة · حجم المكعّب الصغير = ص × ص × ص = ص³ · حجم الجزء المتبقّي = س³ − ص³ ويُسمّى المقدار س³ − ص³ فرقًا بين مكعّبين (الشكل ج). التجزئة إلى ثلاثة مجسمات كل منها شبه مكعّب: ① أبعاده س ، س ، (س − ص) فحجمه س²(س − ص) · ② أبعاده س ، ص ، (س − ص) فحجمه س ص (س − ص) · ③ أبعاده ص ، ص ، (س − ص) فحجمه ص²(س − ص). حجم الجزء المتبقّي = حجم ① + حجم ② + حجم ③ ⇒ س³ − ص³ = (س − ص)(س² + سص + ص²).
تحقّق جبريًا: أثبت أن (س − ص)(س² + سص + ص²) = س³ − ص³.
(س − ص)(س² + سص + ص²) = س(س² + سص + ص²) − ص(س² + سص + ص²) = س³ + س²ص + سص² − س²ص − سص² − ص³ = س³ − ص³ ✓.
قاعدة تحليل الفرق بين مكعّبين: س³ − ص³ = (س − ص)(س² + سص + ص²). أي: (الحدّ الأوّل − الحدّ الثاني) × (مربّع الحدّ الأوّل + الحدّ الأوّل × الحدّ الثاني + مربّع الحدّ الثاني).
كيف نُحلّل مجموع مكعّبين س³ + ص³؟
نكتب المقدار س³ + ص³ على الصورة س³ − (−ص)³ ثم نطبّق قاعدة الفرق: س³ + ص³ = س³ − (−ص)³ = (س − (−ص))(س² + س(−ص) + (−ص)²) = (س + ص)(س² − سص + ص²). ∴ س³ + ص³ = (س + ص)(س² − سص + ص²) ويُسمّى المقدار س³ + ص³ مجموع مكعّبين.
قاعدة تحليل مجموع مكعّبين: (الحدّ الأوّل + الحدّ الثاني) × (مربّع الحدّ الأوّل − الحدّ الأوّل × الحدّ الثاني + مربّع الحدّ الثاني).
معلومة مفيدة: الإسفنج الطبيعي يتمّ استخراجه من حيوان الإسفنج البحري، ولكنّ الإسفنج المستخدَم في منازلنا هو عبارة عن مادة صناعية يتمّ تصنيعها من سيليلوز ألياف الخشب أو البوليمرات البلاستيكية الرغوية.
لاحظ أن: ن⁶ = (ن²)³ = (ن³)².
انتبه (قيم مكعّبات تفيد): 1 = 1³ ، 8 = 2³ ، 27 = 3³ ، 64 = 4³.
مثال (١): حلّل كلًّا مما يلي تحليلًا تامًا: (أ) س³ − 27 (ب) 64أ³ + ب³ (ج) 1 − م³ن⁶
(أ) س³ − 27 = س³ − 3³ = (س − 3)(س² + 3س + 9). · (ب) 64أ³ + ب³ = (4أ)³ + ب³ = (4أ + ب)(16أ² − 4أب + ب²). · (ج) 1 − م³ن⁶ = 1³ − (من²)³ = (1 − من²)(1 + من² + م²ن⁴).
دورك الآن (١): حلّل تحليلًا تامًا: (أ) س³ − 64 (ب) 1 − 8ص³ (ج) 8ل³ + 27م³
(أ) (س − 4)(س² + 4س + 16) · (ب) (1 − 2ص)(1 + 2ص + 4ص²) · (ج) (2ل + 3م)(4ل² − 6لم + 9م²).
انتبه: في التحليل، ابدأ باستخراج العامل المشترك الأكبر إن وُجد.
مثال (٢): حلّل كلًّا مما يلي تحليلًا تامًا: (أ) 54ص − 2ص⁴ (ب) 0.008 − س³ (ج) (1/8)أ³ + 1
(أ) 54ص − 2ص⁴ = 2ص(27 − ص³) = 2ص(3 − ص)(9 + 3ص + ص²). · (ب) 0.008 − س³ = (0.2)³ − س³ = (0.2 − س)(0.04 + 0.2س + س²). · (ج) (1/8)أ³ + 1 = ((1/2)أ)³ + 1³ = (½أ + 1)(¼أ² − ½أ + 1).
دورك الآن (٢): حلّل تحليلًا تامًا: (أ) 3ع³ − 81 (ب) 2س⁴ + 16س (ج) 5 − 40م³
(أ) 3(ع³ − 27) = 3(ع − 3)(ع² + 3ع + 9) · (ب) 2س(س³ + 8) = 2س(س + 2)(س² − 2س + 4) · (ج) 5(1 − 8م³) = 5(1 − 2م)(1 + 2م + 4م²).
دورك الآن (٣): حلّل تحليلًا تامًا: (أ) 27/64 + ن⁶ (ب) (1/125)أ³ − (8/27)ب³ (ج) س³ − 0.125
(أ) (3/4 + ن²)(9/16 − (3/4)ن² + ن⁴) · (ب) ((1/5)أ − (2/3)ب)((1/25)أ² + (2/15)أب + (4/9)ب²) · (ج) (س − 0.5)(س² + 0.5س + 0.25).
عبّر عن فهمك: هل يمكن تحليل (م⁶ − ن⁶) بطريقتين مختلفتين؟ وضّح ذلك.
نعم: (١) فرق بين مربعين: (م³)² − (ن³)² = (م³ − ن³)(م³ + ن³) ثم تُحلَّل كل منهما كفرق ومجموع مكعّبين. (٢) فرق بين مكعّبين: (م²)³ − (ن²)³ = (م² − ن²)(م⁴ + م²ن² + ن⁴). وفي النهاية يعطي الأسلوبان (م − ن)(م + ن)(م² + من + ن²)(م² − من + ن²). (إجابة من إعدادنا.)
دورك الآن (٤): صندوق على شكل شبه مكعّب حجمه (أ³ + 27) متر مكعّب وارتفاعه (أ + 3) متر. وظّف مفهوم التحليل لإيجاد مساحة قاعدته. (تذكّر: حجم شبه المكعّب = مساحة القاعدة × الارتفاع)
مساحة القاعدة = الحجم ÷ الارتفاع = (أ³ + 27) ÷ (أ + 3) = (أ + 3)(أ² − 3أ + 9) ÷ (أ + 3) = أ² − 3أ + 9 متر مربّع.

الأنشطة والتقويم: ٢-١ (تمارين ذاتية)

١) حلّل كلًّا مما يلي تحليلًا تامًا: (أ) أ³ + 1 (ب) ب³ − 8 (ج) 8ل³ + 125 (د) 1 − 27هـ³ (هـ) ل³م⁶ + ن³ (و) 125س³ − 64ص³ع³
(أ) (أ + 1)(أ² − أ + 1) · (ب) (ب − 2)(ب² + 2ب + 4) · (ج) (2ل + 5)(4ل² − 10ل + 25) · (د) (1 − 3هـ)(1 + 3هـ + 9هـ²) · (هـ) (لم² + ن)(ل²م⁴ − لم²ن + ن²) · (و) (5س − 4صع)(25س² + 20سصع + 16ص²ع²).
٢) حلّل كلًّا مما يلي تحليلًا تامًا: (أ) 0.027 − ص³ (ب) (8/27)أ³ + (1/64)ب³ (ج) 54ب⁴ − 2ب (د) 81ك³ + 3هـ³ (هـ) 3س⁵ − 24س² (و) 16س⁴ + 54سص³
(أ) (0.3 − ص)(0.09 + 0.3ص + ص²) · (ب) ((2/3)أ + (1/4)ب)((4/9)أ² − (1/6)أب + (1/16)ب²) · (ج) 2ب(3ب − 1)(9ب² + 3ب + 1) · (د) 3(3ك + هـ)(9ك² − 3كهـ + هـ²) · (هـ) 3س²(س − 2)(س² + 2س + 4) · (و)…
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
٣

الوحدة التعليمية الثالثة: الحدوديات النسبية – الهندسة الإحداثية

الفصل الأول · القسم الثاني · صفحات 114–161

مقدمة الوحدة الثالثة وهل أنت مستعد؟

الوحدة الثالثة: «الحدوديات النسبية – الهندسة الإحداثية». دروسها: (١-٣) الحدوديات النسبية وتبسيطها · (٢-٣) ضرب الحدوديات النسبية · (٣-٣) قسمة الحدوديات النسبية · (٤-٣) جمع الحدوديات النسبية وطرحها · (٥-٣) المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي · (٦-٣) إحداثيا نقطة منتصف قطعة مستقيمة في المستوى الإحداثي · ثم تقويم الوحدة.
ما المجالات ومعايير المنهج في هذه الوحدة؟ (ص ١١٦)
١) العدّ والجبر: استخدام التمثيلات البيانية والجداول والتمثيلات الجبرية للقيام بالتوقعات وحلّ المسائل · وتمثيل وتحليل المواقف والبنى الرياضية باستخدام الرموز الجبرية. ٢) الهندسة والقياس: استخدام التصور البصري والتعليل المكاني والنمذجة الهندسية لتمثيل العالم المادي ووصفه وحلّ مشكلاته. (مؤشرات الأداء: العمل الجماعي، التذكر، التعرف، الفهم، التمثيل، الاستنتاج، حلّ المشكلات، الاستدلال، الاستكشاف والتقصي، المقارنة والتمييز، التحليل والتركيب، القوانين…)
ما المخطط التنظيمي للوحدة؟ (ص ١١٧)
الوحدة «الحدوديات النسبية – الهندسة الإحداثية» تتفرع إلى ثلاثة أقسام: ١) الحدوديات النسبية وتبسيطها · ٢) العمليات على الحدوديات النسبية: الضرب، القسمة، الجمع والطرح · ٣) الهندسة الإحداثية: المسافة بين نقطتين في المستوى الإحداثي، وإحداثيا منتصف قطعة مستقيمة في المستوى الإحداثي.
ما فكرة صفحة بداية الوحدة (ص ١١٤–١١٥)؟
تهتم دولة الكويت بالنشء والشباب وتحرص على ممارستهم الرياضة في جو صحي وتحت أيدي خبراء، ومن أماكنها إستاد جابر الأحمد الدولي: إستاد رياضي كويتي متعدد الأغراض في محافظة الفروانية جنوب مدينة الكويت، افتُتح رسميًا في ١٨ ديسمبر ٢٠١٥م، وطاقته الاستيعابية نحو ٦٠ ٠٠٠ متفرج، وهو أكبر إستاد رياضي في الكويت والسابع عربيًا والخامس والعشرون عالميًا من حيث السعة.

هل أنت مستعد؟ (ص ١١٨–١١٩) — مراجعة المتطلبات السابقة

١) أوجد (ع.م.أ) لكلٍّ من: (أ) ١٨، ٢٤ (ب) ٣، ١٥
(أ) ع.م.أ = ٦ · (ب) ع.م.أ = ٣
٢) أوجد (م.م.أ) لكلٍّ من: (أ) ٧، ١٤ (ب) ٦، ٨ — ثم ضع في أبسط صورة: (أ) −١٥/٢٥ (ب) ٦٣/٣٦
م.م.أ: (أ) ١٤ · (ب) ٢٤. أبسط صورة: (أ) −٣/٥ (بالقسمة على ٥) · (ب) ٧/٤ (بالقسمة على ٩).
٣) أوجد الناتج في أبسط صورة: (أ) ٣/٤ × −٢/١٥ (ب) −٩س³ × ٣س² (ج) ٣س × (س² − ٢س + ١)
(أ) −٦/٦٠ = −١/١٠ · (ب) −٢٧س⁵ (نضرب المعاملات −٩×٣ ونجمع الأسس ٣+٢) · (ج) ٣س³ − ٦س² + ٣س (خاصية التوزيع).
٤) أوجد الناتج في أبسط صورة: (أ) ٦/٧ ÷ ٢٢/٣٥ (ب) −٩س² ÷ ٣س² (ج) ٣/٤ + ١/٦ (د) −٩س² + ٣س²
(أ) ٦/٧ × ٣٥/٢٢ = ٢١٠/١٥٤ = ١٥/١١ · (ب) −٣ · (ج) ٩/١٢ + ٢/١٢ = ١١/١٢ · (د) −٦س² (حدّان متشابهان: نجمع المعاملين).
٥) اقسم (٣س⁴ − ١٥س³ + ٢١س²) على ٣س²
نقسم كل حد على ٣س²: س² − ٥س + ٧
٦) حلّل تحليلًا تامًا: (أ) ٣س²ص − ٩سص² (ب) س² − ٣٦ (ج) س² + ٥س + ٦ (د) ٢س² − ١١س + ١٢ (هـ) س³ + ٦٤ (و) ٨س³ − ١
(أ) ٣سص(س − ٣ص) · (ب) (س − ٦)(س + ٦) فرق مربعين · (ج) (س + ٢)(س + ٣) · (د) (٢س − ٣)(س − ٤) · (هـ) (س + ٤)(س² − ٤س + ١٦) مجموع مكعبين · (و) (٢س − ١)(٤س² + ٢س + ١) فرق مكعبين.

(١-٣) الحدوديات النسبية وتبسيطها

ما المفردات الجديدة في الدرس؟ وماذا سنتعلم؟ (ص ١٢٠)
سوف نتعلم: الحدوديات النسبية وتبسيطها. المفردات: حدودية نسبية (Rational Expression) · تبسيط (Simplify).
حلّ وناقش (ص ١٢٠): صمّم مهندس حوضَي سباحة كلاهما على شكل شبه مكعّب، حجم الكبير ٢٧س⁵ص وحدة مكعبة وحجم الصغير ٩س²ص³ وحدة مكعبة. ما النسبة بين الحجمين؟
النسبة = حجم الحوض الكبير ÷ حجم الحوض الصغير = ٢٧س⁵ص / ٩س²ص³. بقسمة البسط والمقام على ع.م.أ = ٩س²ص: ٣س³ / ص². يُسمّى الناتج «حدودية نسبية» لأن كلًّا من البسط والمقام يمثّل حدودية، والمقام لا يساوي صفرًا.
الحدودية النسبية: كسر بسطه ومقامه حدوديتان والمقام لا يساوي صفرًا. أمثلة: ص³/٢س² · س+٢/ص · س+٢/س−٣ · س²−٦س+٥/س²−٢٥.
تذكّر: المقام أينما وُجد لا يساوي صفرًا.
تبسيط الحدودية النسبية: نقسم كلًّا من البسط والمقام على العامل المشترك الأكبر (ع.م.أ) بينهما.
خطوات الحل: ١) حلّل كلًّا من البسط والمقام إلى عوامله باستخدام طرق التحليل المختلفة · ٢) اقسم كلًّا من البسط والمقام على (ع.م.أ) · ٣) الناتج هو أبسط صورة للحدودية النسبية.
تذكّر: س^م × س^ن = س^(م+ن) · س^م ÷ س^ن = س^(م−ن).
معلومة مفيدة (ص ١٢٠): ما عمق حوض السباحة؟
هو الارتفاع الرأسي للماء من القاع إلى السطح. يُستخدم الارتفاع في حساب حجم الماء، وتوزيع الميل أو الانحدار في أرضية الحوض لضمان تصريف الماء وأمان السبّاحين.
مثال (١): ضع في أبسط صورة: (أ) ١٨س⁵/٩س² (ب) ٤س²ص/١٢سص³ (ج) ع+٢/٣ع+٦ (د) ٢س−٤/س²−٤
(أ) ١٨س⁵/٩س² = (٩×٢)س⁵/(٩)س² = ٢س³ · (ب) نقسم على ٤سص: س/٣ص² · (ج) المقام ٣ع+٦ = ٣(ع+٢): (ع+٢)/٣(ع+٢) = ١/٣ · (د) ٢(س−٢)/(س−٢)(س+٢) = ٢/(س+٢) (فرق مربعين في المقام).
عبّر عن فهمك (١): بسّط سالم الحدودية س−٢/س+٣ كما يلي: س−٢/س+٣ = −٢/٣ (بحذف س). فهل طريقته صحيحة؟ ولماذا؟
غير صحيحة؛ لأن الحذف لا يكون إلا للعوامل المشتركة (التي تضرب في البسط والمقام)، أما س هنا حدّ مجموع (س − ٢) و(س + ٣) فلا يمكن حذفه. الحدودية (س−٢)/(س+٣) مبسّطة أصلًا لأنه لا عامل مشترك بين البسط والمقام.
مثال (٢): ضع في أبسط صورة: (أ) م+٦/م²−م−٤٢ (ب) ٢س²+٢س/س²+٣س+٢
(أ) المقام = (م+٦)(م−٧): (م+٦)/((م+٦)(م−٧)) = ١/(م−٧) · (ب) البسط = ٢س(س+١) والمقام = (س+٢)(س+١): ٢س/(س+٢).
دورك الآن (ص ١٢٢): ضع في أبسط صورة: (أ) س²−٦س+٥/س²−٢٥ (ب) س−٣/س²−٦س+٩ (ج) س−٢/٢−س
(أ) (س−١)(س−٥) ÷ (س−٥)(س+٥) = (س−١)/(س+٥) · (ب) المقام = (س−٣)²: ١/(س−٣) · (ج) ٢−س = −(س−٢): −١.
مثال (٣): ضع في أبسط صورة: (أ) ٢س²+١٣س−٧/س²+٤س−٢١ (ب) ٤س−٢/١−٢س (ج) س³+٨/س²−٢س+٤ (د) س²−٩/س³−٢٧
(أ) (٢س−١)(س+٧) ÷ (س−٣)(س+٧) = (٢س−١)/(س−٣) · (ب) ٤س−٢ = ٢(٢س−١) و١−٢س = −(٢س−١): −٢ (تذكّر: أ − س = −(س − أ)) · (ج) مجموع مكعبين: س³+٨ = (س+٢)(س²−٢س+٤): س + ٢ · (د) (س−٣)(س+٣) ÷ (س−٣)(س²+٣س+٩) = (س+٣)/(س²+٣س+٩).
انتبه: س²+٣س+٩ لا يمكن تحليلها إلى حاصل ضرب عاملين.
عبّر عن فهمك (٢): اكتب حدودية نسبية تصبح بعد تبسيطها ٥/(س+٥)
نضرب البسط والمقام في عامل مشترك، مثلًا (س − ١): ٥(س−١)/((س+٥)(س−١)) = ٥(س−١)/(س²+٤س−٥)، وتبسيطها يعطي ٥/(س+٥) (إجابات أخرى صحيحة بضرب في أي عامل غير صفري).

تمارين ذاتية (ص ١٢٣)

١) ضع في أبسط صورة: (أ) ٥س³/٢٥س⁷ (ب) ١٠أ+١٥/٢٠ (ج) س²−٨س+١٥/س²−٩ (د) ٦س²+١٧س−٢٨/س²−س−٢٠ (هـ) س³+٢٧/س²−٣س+٩ (و) س²−١٦/س³−٦٤ (ز) ٤س³+١٦س²+١٢س/٢س³−١٤س²−١٦س (ح) س−٣/٣−س
(أ) ١/٥س⁴ · (ب) ٥(٢أ+٣)/٢٠ = (٢أ+٣)/٤ · (ج) (س−٣)(س−٥)/(س−٣)(س+٣) = (س−٥)/(س+٣) · (د) (٦س−٧)(س+٤)/(س−٥)(س+٤) = (٦س−٧)/(س−٥) · (هـ) س + ٣ · (و) (س−٤)(س+٤)/(س−٤)(س²+٤س+١٦) = (س+٤)/(س²+٤س+١٦) · (ز) ٤س(س+١)(س+٣)/٢س(س+١)(س−٨) = ٢(س+٣)/(س−٨) · (ح) −١.
٢) مهارات تفكير عليا: في الشكل (مستطيل أصغر داخل مستطيل أكبر؛ بُعدا الأصغر س و(س+١)، وبُعدا الأكبر ٣س و(٣س+٣)): اكتب نسبة مساحة المستطيل الأصغر إلى مساحة الأكبر في صورة حدودية نسبية ثم ضعها في أبسط صورة.
النسبة = س(س+١) / ٣س(٣س+٣) = س(س+١)/٩س(س+١) = ١/٩.

(٢-٣) ضرب الحدوديات النسبية

باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
٤

الوحدة التعليمية الرابعة: هندسة التحويلات – الإحصاء والاحتمال

الفصل الأول · القسم الثاني · صفحات 162–219

مقدمة الوحدة الرابعة وهل أنت مستعد؟

الوحدة الرابعة: «هندسة التحويلات – الإحصاء والاحتمال». دروسها: (١-٤) الدوران في المستوى · (٢-٤) التكبير · (٣-٤) المدرّج التكراري · (٤-٤) المضلّع التكراري · (٥-٤) مخطّط الصندوق ذي العارضتين · (٦-٤) الترجيح والعدالة – الاحتمال · ثم تقويم الوحدة والمشروع الثاني.
ما «معالم حضارية» في صفحة بداية الوحدة؟ (ص ١٦١)
تهتمّ دولة الكويت بمعالمها الحضارية اهتمامًا واضحًا، فقد زخرت بالعديد من المظاهر العمرانية العصرية والمباني الشاهقة ذات التصاميم الجميلة ومجمّعات التسوّق الضخمة التي شُيِّدت على أحدث طراز. واهتمّت بالتخطيط العلمي باعتباره الأسلوب الأمثل لكشف آفاق المستقبل ولتحقيق التنمية الاقتصادية والاجتماعية الشاملة، ويُعتبر الجهاز الإحصائي من أولى المؤسَّسات التي واكبت إنشاء دولة الكويت عشية الاستقلال في مطلع الستّينيات. ولكي يتمكّن من تأدية عمله على أكمل وجه لا بدّ أن يبحث عن البيانات المناسِبة.
البيانات بمفهومها العام هي: مجموعة من الأحرف أو الكلمات أو الأرقام أو الرموز أو الصور المتعلّقة بموضوع ما، يتمّ جمعها ومعالجتها وتحويلها إلى معلومات مفيدة لاتّخاذ القرارات المناسِبة.
ما المجالات ومعايير المنهج في الوحدة؟ (ص ١٦٢)
الهندسة والقياس: تطبيق التحويلات الهندسية واستخدامها في تطوير الحسّ المكاني واستخدام التماثل في تحليل مواقف رياضية · وتحديد المواقع ووصف العلاقات المكانية باستخدام هندسة الإحداثيات وأنظمة تمثيل أخرى.
الإحصاء والاحتمال: تجميع البيانات وتنظيمها وعرضها وتحليلها وتفسيرها باستخدام تمثيلات ومقاييس وإجراءات إحصائية · وتطبيق مفاهيم الاحتمال النظري والتجريبي للقيام بالتوقّعات والاستنتاجات.
ما المخطط التنظيمي للوحدة؟ (ص ١٦٣)
«هندسة التحويلات – الإحصاء والاحتمال» ثلاثة فروع: ١) هندسة التحويلات: الدوران · التكبير. ٢) الإحصاء: المدرّج التكراري · المضلّع التكراري · مخطّط الصندوق ذي العارضتين. ٣) الاحتمال: الترجيح والعدالة.

هل أنت مستعد؟ (ص ١٦٤–١٦٥)

١) في المستوى الإحداثي (الشكل) اكتب إحداثيات النقاط أ، ب، جـ، د، هـ، ن، و.
من الشكل: أ(٣، ١) · ب(−٤، ٢) · جـ(−٣، −٣) · د(٣، −٥) · هـ(٠، ٤) · ن(−٣، ٠) · و(٠، ٠) (و نقطة الأصل).
٢) عيّن النقاط على المستوى الإحداثي: ع(٥، −١) ، ك(−٦، −٢) ، ف(٢، ٠) ، ط(٠، −٣) ، م(−٥، ٥) ، ي(٤، ٣).
نعيّن النقطة (س، ص) بالتحرّك س وحدة أفقيًا ثم ص وحدة رأسيًا: ع في الربع الرابع · ك في الربع الثالث · ف على محور السينات الموجب · ط على محور الصادات السالب · م في الربع الثاني · ي في الربع الأول.
٣) حلّ التناسب: (أ) س/٤ = ٦/٨ (ب) ٣/٥ = ٩/ص
(أ) ٨س = ٢٤ ⇒ س = ٣ · (ب) ٣ص = ٤٥ ⇒ ص = ١٥.
٤) أوجد المدى والوسيط لقِيَم البيانات: (أ) ٣، ٥، ٩، ٧، ٥، ٨، ٥ (ب) ١٥، ١٩، ١٧، ١٤، ١٨، ١٥
(أ) بالترتيب: ٣، ٥، ٥، ٥، ٧، ٨، ٩ ⇒ المدى = ٩−٣ = ٦ · الوسيط = ٥. (ب) بالترتيب: ١٤، ١٥، ١٥، ١٧، ١٨، ١٩ ⇒ المدى = ١٩−١٤ = ٥ · الوسيط = (١٥+١٧)/٢ = ١٦.
٥) أكمل الجدول التكراري بإيجاد مراكز الفئات (الفئات: −٤ ، −٦ ، −٨ ، −١٠ والتكرارات ٢، ٤، ٢، ٣)، ثم أجب: (أ) طول الفئة (ب) الحدّ الأدنى للفئة الثالثة (ج) الحدّ الأعلى للفئة الأخيرة
الفئات بطول ٢ (٤− ، ٦− ، ٨− ، ١٠−)؛ مراكز الفئات = ٥ ، ٧ ، ٩ ، ١١ (نصف مجموع الحدّين). (أ) طول الفئة = ٢ · (ب) الحدّ الأدنى للفئة الثالثة = ٨ · (ج) الحدّ الأعلى للفئة الأخيرة = ١٢.
٦) اكتب جميع النواتج الممكنة لكل تجربة: (أ) رمي قطعة نقود مرّة واحدة وملاحظة الوجه العلوي. (ب) سحب كرة عشوائيًا من كيس فيه ٤ كرات صفراء و٣ كرات حمراء وملاحظة لونها.
(أ) {صورة، كتابة} · (ب) {صفراء، حمراء}.
٧) عند رمي مكعّب منتظم مرقّم من ١ إلى ٦ مرّة واحدة وملاحظة الرقم الظاهر على الوجه العلوي، أوجد: (أ) احتمال (ظهور عدد أوّلي) (ب) (عدد غير أوّلي) (ج) (عدد أكبر من ٥) (د) (عدد أصغر من ٧) (هـ) (عدد أكبر من ٦)
الفضاء العيّني {١،٢،٣،٤،٥،٦} (٦ نواتج): (أ) الأوّلية ٢،٣،٥ ⇒ ٣/٦ = ١/٢ · (ب) ١،٤،٦ ⇒ ٣/٦ = ١/٢ · (ج) ٦ فقط ⇒ ١/٦ · (د) كل النواتج ⇒ ١ (حدث مؤكد) · (هـ) لا يوجد ⇒ ٠ (حدث مستحيل).

(١-٤) الدوران في المستوى

ما المفردات الجديدة وماذا سنتعلم؟ (ص ١٦٦)
سوف نتعلم الدوران في المستوى وإيجاد صورة شكل هندسي بالدوران. المفردات: التحويل الهندسي (Geometric Transformation) · الدوران (Rotation). اللوازم: أدوات هندسية، ورق شفاف.
استكشف (١): ماذا يوضّح السهم في شكل عجلة المشاهدة؟ وأكمل: م أ هو … للدائرة، م أ′ هو … آخر للدائرة، ∴ …
السهم يوضّح اتجاه حركة عجلة المشاهدة وهي تدور حول نقطة ثابتة هي مركز الدائرة (م). م أ هو نصف قطر للدائرة · م أ′ هو نصف قطر آخر للدائرة ⇒ م أ = م أ′. (معلومة مفيدة: عجلة المشاهدة في دبي تُعتبر أكبر عجلة مشاهدة في العالم، يصل ارتفاعها إلى ٢٥٠ م ويمكن من خلالها الاستمتاع بأروع الإطلالات البانورامية على مدينة دبي.)
الدوران حول نقطة ثابتة م هو تحويل هندسي يعيّن لكل نقطة أ في المستوى نقطة أخرى أ′ في المستوى نفسه بحيث: ١) م نقطة ثابتة تُسمّى مركز الدوران · ٢) م أ = م أ′ · ٣) ∠(أ م أ′) هي زاوية الدوران وقياسها هـ°. ويُرمز إليه بالرمز د(م، هـ°).
عناصر الدوران الأساسية: ● مركز الدوران (م) ● قياس زاوية الدوران (هـ°) ● اتجاه الدوران: مع اتجاه حركة عقارب الساعة أو عكس اتجاه حركة عقارب الساعة.
الدوران د(م، هـ°): يكون موجَبًا إذا كان عكس اتجاه حركة عقارب الساعة · يكون سالبًا إذا كان مع اتجاه حركة عقارب الساعة · م مركز الدوران نقطة صامدة.
تذكّر: إذا كانت صورة النقطة تحت تأثير أي تحويل هندسي هي النقطة نفسها فإنها تُسمّى نقطة صامدة.
بالرجوع إلى «استكشف (١)» — الشكل (١): عندما تدور العجلة من أ إلى أ′ (ربع دورة) وعندما تدور بالاتجاه الآخر، ما نوع الدوران وقياس زاويته ورمزه؟ ماذا تلاحظ؟
عكس اتجاه عقارب الساعة ⇒ دوران موجب مركزه م وقياس زاويته ٩٠° ⇒ د(م، ٩٠°) وهو دوران ¼ دورة. وبالاتجاه الآخر (مع اتجاه عقارب الساعة) ⇒ دوران سالب قياس زاويته ٢٧٠° ⇒ د(م، −٢٧٠°) وهو دوران ¾ دورة. الملاحظة: د(م، ٩٠°) يكافئ د(م، −٢٧٠°).
الشكل (٢): تدور العجلة من أ إلى أ′ (٩٠° مع الاتجاه الآخر). ما الدوران الموجب والسالب؟ ماذا تلاحظ؟
الدوران الموجب (عكس عقارب الساعة) قياسه ٢٧٠° ⇒ د(م، ٢٧٠°) وهو ¾ دورة · الدوران السالب (مع عقارب الساعة) قياسه ٩٠° ⇒ د(م، −٩٠°) وهو ¼ دورة. الملاحظة: د(م، ٢٧٠°) يكافئ د(م، −٩٠°).
الشكل (٣): دوران بزاوية ١٨٠° من أ إلى أ′. ما الدوران الموجب والسالب؟ ماذا تلاحظ؟
الموجب: د(م، ١٨٠°) وهو دوران ½ دورة · السالب: د(م، −١٨٠°) وهو دوران ½ دورة. الملاحظة: د(م، ١٨٠°) يكافئ د(م، −١٨٠°) (نصف دورة بأي اتجاه).
دورك الآن (١): أكمل: (أ) د(م، ٣٠°) هو دوران حول … في اتجاه … حركة عقارب الساعة بزاوية قياسها … (ب) د(م، −١٢٠°) هو …
(أ) دوران حول م في اتجاه عكس حركة عقارب الساعة بزاوية قياسها ٣٠° · (ب) دوران حول م في اتجاه مع حركة عقارب الساعة بزاوية قياسها ١٢٠°.
انتبه: في د(م، −١٢٠°) الإشارة تدلّ على اتجاه الدوران والعدد ١٢٠ هو قياس زاوية الدوران.
مثال توضيحي: ارسم صورة القطعة أب تحت تأثير الدوران د(م، −٧٥°).
١) نعيّن أ′ صورة النقطة أ: (أ) نرسم القطعة م أ · (ب) بالمنقلة نرسم زاوية قياسها ٧٥° (مع اتجاه حركة عقارب الساعة) رأسها م وضلعاها م أ ، م س · (ج) بالفرجار نعيّن أ′ على م س حيث م أ = م أ′. ٢) نعيّن ب′ صورة النقطة ب بالطريقة نفسها. ٣) نرسم أ′ب′ صورة أب.
الدوران في المستوى الإحداثي — استكشف (٢): ارسم المثلث أ ب جـ حيث أ(−١، ٤) ، ب(−٥، ٤) ، جـ(−٣، ٠) ثم استخدم ورقة شفّافة لإيجاد صورته.
نثبّت ورقة شفّافة على المستوى ونرسم المثلث والمحاور عليها، ثم نثبّت سنّ دبّوس عند نقطة الأصل (و) ونُدير الورقة بزاوية ٩٠° مع اتجاه حركة عقارب الساعة فنحصل على المثلث أ′ب′جـ′ صورة المثلث أ ب جـ بدوران مركزه و وقياس زاويته ٩٠° مع اتجاه عقارب الساعة، ونعبّر عنه: Δ أ ب جـ —د(و، −٩٠°)→ Δ أ′ب′جـ′. وبالورقة نفسها: (١) حول نقطة الأصل بزاوية ١٨٠° مع اتجاه عقارب الساعة: د(و، −١٨٠°) → Δ أ″ب″جـ″ (٢) حول نقطة الأصل بزاوية ٩٠° عكس اتجاه عقارب الساعة: د(و، ٩٠°) → Δ أ‴ب‴جـ‴.
(٣) أكمل الجدول وفق الخطوات السابقة (رؤوس المثلث: أ(−١، ٤) ، ب(−٥، ٤) ، جـ(−٣، ٠)). ما الصور بالدورانات المختلفة؟
نستخدم القواعد المستنتجة بعد الجدول:
الدورانأ(−١، ٤)ب(−٥، ٤)جـ(−٣، ٠)
د(و، −٩٠°)أ′(٤، ١)ب′(٤، ٥)جـ′(٠، ٣)
د(و، −١٨٠°)أ″(١، −٤)ب″(٥، −٤)جـ″(٣، ٠)
د(و، ٩٠°)أ‴(−٤، −١)ب‴(−٤، −٥)جـ‴(٠، −٣)
د(و، −٢٧٠°)(−٤، −١)(−٤، −٥)(٠، −٣)
د(و، ٢٧٠°)(٤، ١)(٤، ٥)(٠، ٣)
د(و، ١٨٠°)(١، −٤)(٥، −٤)(٣، ٠)
ماذا نلاحظ من الجدول؟
د(و، −٩٠°) يكافئ د(و، ٢٧٠°) · د(و، −١٨٠°) يكافئ د(و، ١٨٠°) · د(و، ٩٠°) يكافئ د(و، −٢٧٠°).
مما سبق نستنتج (قواعد الدوران حول نقطة الأصل): إذا كانت (س، ص) نقطة في المستوى الإحداثي فإن:
١) د(و، −٩٠°): (س، ص) ← (ص، −س) · د(و، ٩٠°): (س، ص) ← (−ص، س) — يُسمّى دوران ربع دورة (¼ دورة).
٢) د(و، −١٨٠°) أو د(و، ١٨٠°): (س، ص) ← (−س، −ص) — يُسمّى دوران نصف دورة (½ دورة).
٣) د(و، −٢٧٠°): (س، ص) ← (−ص، س) · د(و، ٢٧٠°): (س، ص) ← (ص، −س) — يُسمّى دوران ¾ دورة.
الدورانصورة (س، ص)التسمية
د(و، −٩٠°)(ص، −س)ربع دورة
د(و، ٩٠°)(−ص، س)ربع دورة
د(و، −١٨٠°)(−س، −ص)نصف دورة
د(و، ١٨٠°)(−س، −ص)نصف دورة
د(و، −٢٧٠°)(−ص، س)¾ دورة
د(و، ٢٧٠°)(ص، −س)¾ دورة
ما خواص الدوران؟ (الشكل: أ ب جـ د صورتها أ′ب′جـ′د′ تحت د(و، ٩٠°)) (ص ١٧٢)
١) الدوران يحافظ على الاستقامة · ٢) يحافظ على البينية · ٣) يحافظ على قياسات الزوايا · ٤) يحافظ على التوازي · ٥) يحافظ على الأبعاد · ٦) يحافظ على الاتجاه الدوراني. (باستخدام الشكل المقابل تحقّق من هذه الخواص.)
دورك الآن (٢): أكمل حيث (و) نقطة الأصل: (أ) (٢، ٤) —د(و، ٩٠°)→ (ب) (٣، −٥) —د(و، −٩٠°)→ (ج) (٣، ٠) —د(و، ١٨٠°)→ (د) (−٤، −٣) —د(و، −١٨٠°)→ (هـ) (٠، −٢) —د(و، ٢٧٠°)→ (و) (−٦، ٢) —د(و، −٢٧٠°)→
(أ) (−ص، س) = (−٤، ٢) · (ب) (ص، −س) = (−٥، −٣) · (ج) (−س، −ص) = (−٣، ٠) · (د) (٤، ٣) · (هـ) (ص، −س) = (−٢، ٠) · (و) (−ص، س) = (−٢، −٦).
عبّر عن فهمك (١): هل د(و، ١٠٠°) يكافئ د(و، −٢٦٠°)؟ فسّر إجابتك.
نعم؛ لأن ١٠٠° + ٢٦٠° = ٣٦٠° أي أن الدوران ١٠٠° عكس عقارب الساعة يصل إلى الوضع نفسه الذي يصل إليه دوران ٢٦٠° مع عقارب الساعة.
مثال (٢): ارسم المثلث أ ب و الذي رؤوسه: أ(٥، ٢) ، ب(٢، ٤) ، و(٠، ٠) ثم ارسم صورته بدوران حول نقطة الأصل وبزاوية قياسها ٩٠° مع اتجاه حركة عقارب الساعة.
الدوران د(و، −٩٠°): (س، ص) ← (ص، −س): أ(٥، ٢) ← أ′(٢، −٥) · ب(٢، ٤) ← ب′(٤، −٢) · و(٠، ٠) ← و(٠، ٠) نقطة صامدة. ∴ Δ أ ب و ← Δ أ′ب′و. (نرسم المثلثين على شبكة المستوى الإحداثي.)
دورك الآن (٣): ارسم المثلث ل م ن الذي إحداثيات رؤوسه: ل(−٢، ٠) ، م(٣، ٤) ، ن(−٦، ٣) ثم ارسم صورته بدوران حول نقطة الأصل وبزاوية قياسها ١٨٠° عكس اتجاه حركة عقارب الساعة.
د(و، ١٨٠°): (س، ص) ← (−س، −ص): ل′(٢، ٠) · م′(−٣، −٤) · ن′(٦، −٣).
دورك الآن (٤): ارسم المربّع أ ب جـ هـ الذي إحداثيات رؤوسه: أ(٢، ٢) ، ب(٢، ٦) ، جـ(٦، ٦) ، هـ(٦، ٢) ثم ارسم صورته تحت تأثير د(و، −٢٧٠°) حيث (و) نقطة الأصل.
د(و، −٢٧٠°): (س، ص) ← (−ص، س): أ′(−٢، ٢) · ب′(−٦، ٢) · جـ′(−٦، ٦) · هـ′(−٢، ٦).
عبّر عن فهمك (٢): إذا كان قياس زاوية الدوران ٣٦٠° لشكل ما، فما العلاقة بين الشكل وصورته؟
الصورة تنطبق على الشكل نفسه (الشكل وصورته متطابقان تمامًا)؛ لأن دوران ٣٦٠° يعيد كل نقطة إلى موضعها.

تمارين ذاتية (ص ١٧٥–١٧٦)

١) أكمل حيث (و) نقطة الأصل: (٣، ٧) —د(و، ٩٠°)→ · (١، −٩) —د(و، −٩٠°)→ · (٤، ٠) —د(و، ١٨٠°)→ · (−٢، ٥) —د(و، −١٨٠°)→ · (٠، −٨) —د(و، ٢٧٠°)→ · (−٣، ١٠) —د(و، −٢٧٠°)→
(−٧، ٣) · (−٩، −١) · (−٤، ٠) · (٢، −٥) · (−٨، ٠) · (−١٠، −٣).
٢) ارسم المثلث ك م ل الذي رؤوسه: ك(٥، ٣) ، م(٢، ٢) ، ل(٣، ٥)، ثم ارسم صورته بدوران حول نقطة الأصل بزاوية ٩٠° عكس اتجاه حركة عقارب الساعة. · ٣) ارسم المثلث أ ب جـ: أ(−٢، −٣) ، ب(−٤، ٤) ، جـ(٥، ٢)، ثم ارسم صورته بدوران حول الأصل بزاوية ١٨٠° مع اتجاه حركة عقارب الساعة.
٢) د(و، ٩٠°): (س، ص) ← (−ص، س): ك′(−٣، ٥) · م′(−٢، ٢) · ل′(−٥، ٣). · ٣) د(و، −١٨٠°): (س، ص) ← (−س، −ص): أ′(٢، ٣) · ب′(٤، −٤) · جـ′(−٥، −٢).
٤) ارسم المستطيل ف هـ ي م الذي رؤوسه: ف(٣، ١) ، هـ(٣، −١) ، ي(−٣، −١) ، م(−٣،…
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
✎

اختبر نفسك

اختر الإجابة وسيظهر الصواب فورًا
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة

★ نصائح ليلة الاختبار

١) احفظ القوانين والخصائص والتعريفات لكل درس.

باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة

كمّل المذكرة كاملة

اختر: هذه المذكرة بس، أو كل مذكرات الصف بسعر خاص.

هذه المذكرة بس 2 د.ك كل مذكرات الصف التاسع 10 د.ك

قبل الشراء سجّل دخولك بالبريد عشان نفعّلها لك.

افتح المذكرة كاملةبـ 2 د.ك · أو كل الصف بـ 10 د.ك
اشترِ الآن