🎨 السؤال بالخط الأزرق · الإجابة بالخط الأخضر. المرجع الوحيد: كتاب الطالب.
١
المجموعات والعلاقات
الفصل الأول · صفحات 20–69معايير الوحدة (ص16): المجال: العد والجبر · استخدام التمثيلات البيانية والجداول والتمثيلات الجبرية للقيام بالتوقعات وحل المسائل · فهم الأنماط والعلاقات والدوال · استخدام المعادلات والنماذج الرياضية لحل المسائل.
مخطط الوحدة (ص17): المجموعات والعلاقة ← المجموعات (التعبير عن المجموعة) · المجموعة الجزئية (تساوي مجموعتين) · العمليات على المجموعات (تقاطع – اتحاد) · مجموعة الفرق · المجموعة الشاملة والمتممة · الحاصل الديكارتي (مفهوم العلاقة).
«هل أنت مستعد؟» (ص18–19): (1) اذكر العوامل الموجبة للعددين 12 و30.
12: 1, 2, 3, 4, 6, 12 · 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
اذكر أول ثلاثة مضاعفات للعددين 4 و6 (جدول المضاعفات)، والعوامل الأولية للعددين 9 و15.
مضاعفات 4: 4, 8, 12, ... · مضاعفات 6: 6, 12, 18, ... · العوامل الأولية: 9: 3 · 15: 3, 5.
هل الأعداد 356 و2271 و900 تقبل القسمة على 2 و3 و5؟ (ص18)
356: تقبل القسمة على 2 فقط (مجموع أرقامه 14 لا يقبل القسمة على 3، وآحاده ليست 0 أو 5) · 2271: تقبل القسمة على 3 فقط (مجموع أرقامه 12) · 900: تقبل القسمة على 2 و3 و5.
صنّف الأعداد 9 و58 و60 و13 إلى فردي وزوجي، والأعداد 29 و35 و7 و9 إلى أولي وغير أولي.
فردي: 9، 13 · زوجي: 58، 60 · أولي: 29، 7 · غير أولي: 35 (5×7)، 9 (3×3).
مثّل في المستوى الإحداثي النقاط أ(-2, 1) وب(3, 0) وجـ(0, 4)، واكتب الزوج المرتب لنقاط الشكل (ص19).
أ: تُعيَّن بالتحرك 2 يسارًا ثم 1 أعلى · ب: 3 يمينًا على محور السينات · جـ: 4 أعلى على محور الصادات · الزوج المرتب (س، ص): السيني أولًا ثم الصادي.
اكتب بصورة تعبير جبري: ك مضافًا إليها 2 · ضعف ص · مربع ن · نصف م · ثلث س.
ك + 2 · 2ص · ن² · م2 · س3.
الدرس 1-1: المجموعات (ص20–26)
المجموعة: تجمّع من الأشياء المتمايزة المحددة تحديدًا تامًا، وتسمى هذه الأشياء عناصر.
ما معنى المجموعة؟ ومثّل بمثال على ما يشكّل مجموعة وما لا يشكّل.
تجمّع من الأشياء المتمايزة المحددة تحديدًا تامًا، وتسمى هذه الأشياء عناصر. تشكّل مجموعة: «المتعلمون في ثانوية المباركية للعام الحالي» و«لاعبو فريق كرة القدم الحالي في مدرسة الجهراء الثانوية». لا تشكّل مجموعة: «المتعلّمون» و«المناطق الجميلة في الكويت» (غير محددة تحديدًا تامًا).
ما قصة المنتخب الكويتي في تمهيد الدرس؟
شارك المنتخب الكويتي في كأس العالم 1982م ويضم 11 لاعبًا أساسيًا؛ المنتخب مجموعة وكل لاعب عنصر، وأرقام اللاعبين أيضًا مجموعة وكل رقم عنصر. وحضر 4 جمال إلى الملعب في إسبانيا اعتزازًا بالتاريخ وكُتبت عبارة «جمالنا تنتصر».
مثال 1: هل «المدرّبون» تشكّل مجموعة؟ وهل «دول مجلس التعاون الخليجي» تشكّل مجموعة؟
(أ) كلا؛ لأنهم غير محددين تحديدًا تامًا. (ب) نعم؛ لأنها محددة تحديدًا تامًا.
دورك الآن 1: هل كل مما يلي مجموعة؟ (أ) مضاعفات العدد 9 الأصغر من 28 (ب) أيام الأسبوع (ج) الأزهار الجميلة (د) الأعداد الكلية ط: 0، 1، 2، ...
(أ) نعم: 9, 18, 27 (ب) نعم: 7 أيام (ج) لا: «جميلة» غير محددة تحديدًا تامًا (د) نعم.
| الرمز | المجموعة |
|---|---|
| ط | الأعداد الكلية (الطبيعية) |
| ص | الأعداد الصحيحة |
| ص₊ | الأعداد الصحيحة الموجبة |
| ص₋ | الأعداد الصحيحة السالبة |
كتابة المجموعة: يُرمز للمجموعة بأحرف مثل سـ، صـ، عـ، شـ وللعناصر بأحرف مثل س، ص، ش · تُكتب العناصر داخل { } وبينها فاصلة · لا يُكرَّر العنصر · لا يُشترط الترتيب. مثال: مجموعة أحرف كلمة «سندس»: سـ = {س, د, ن}.
المجموعة الخالية: لا تحتوي عناصر (عدد عناصرها صفر) ويُرمز لها { } أو ∅ وتُقرأ «فاي». مثال: المتعلمون في الصف الثامن أعمارهم أقل من 10 سنوات.
دورك الآن 2: أيّ هذه المجموعات خالية؟ (أ) الأشهر الميلادية التي تزيد أيامها على 31 (ب) أرقام العدد 169 220 (ج) المكتبات التي ليس لها رؤوس
(أ) خالية؛ لا شهر أيامه أكثر من 31. (ب) غير خالية: 1, 2, 6, 9, 0. (ج) خالية؛ لا توجد عناصر تحقق الصفة المذكورة.
عبّر عن فهمك: هل مجموعة الأعداد الكلية الأصغر من 1 مجموعة خالية؟
لا؛ لأنها {0} والصفر عدد كلي.
الانتماء: ∈ (ينتمي إلى) = وجود العنصر في المجموعة مثل 4 ∈ {1, 2, 4, 5} · ∉ (لا ينتمي إلى) = عدم وجوده مثل 7 ∉ {2, 3, 5, 6}. العدد (-2) لا ينتمي إلى الأعداد الكلية والعدد 2 ينتمي إليها.
دورك الآن 3: أكمل بـ ∈ أو ∉: (أ) ن … {أ، هـ، ج} (ب) ر … مجموعة أحرف كلمة «حريق» (ج) 7 … {77} (د) 8 … {1، 8، 4}
(أ) ∉ (ب) ∈ (ج) ∉ (العنصر 77 وليس 7) (د) ∈.
ما العوامل الموجبة والسالبة وعوامل العدد 10؟
الموجبة: 1, 2, 5, 10 · السالبة: -1, -2, -5, -10 · عوامل العدد 10: ±1, ±2, ±5, ±10.
| الطريقة | التعبير عن مجموعة العوامل الموجبة للعدد 8 |
|---|---|
| 1) ذكر العناصر | سـ = {1, 2, 4, 8} |
| 2) الصفة المميزة لفظية | سـ = مجموعة العوامل الموجبة للعدد 8 |
| 3) الصفة المميزة رمزية | سـ = {أ : أ ∈ ص₊, أ عامل من عوامل 8} |
| 4) مخطط (شكل) فن | شكل بيضاوي تُكتب داخله العناصر 1، 2، 4، 8 |
مثال 2: عبّر بالطرق المختلفة عن صـ = مجموعة أرقام العدد 701 973.
لفظية: مجموعة أرقام العدد 701 973 · ذكر العناصر: {0, 1, 3, 7, 9} (دون تكرار) · رمزية: {أ : أ ∈ ط, أ أحد أرقام العدد 701 973} · مخطط فن: بيضاوي فيه 0، 1، 3، 7، 9.
دورك الآن 4: عبّر بالطرق عن مجموعة العوامل الموجبة للعدد 6.
ذكر العناصر {1, 2, 3, 6} · لفظيًا: مجموعة العوامل الموجبة للعدد 6 · رمزيًا: {أ : أ ∈ ص₊, أ عامل من عوامل 6} · بمخطط فن.
المنتهية: يمكن حصر عدد عناصرها. غير المنتهية: لا يمكن حصر عدد عناصرها.
حلّ وناقش: أيّ المجموعتين يمكن حصر عدد عناصرها: سـ = {2، 4، 6، 8}؟ أم عـ = الأعداد الكلية الأكبر من أو تساوي 6؟
سـ منتهية (4 عناصر) · عـ غير منتهية لأنها {6, 7, 8, ...} لا تنتهي.
مثال 3: حدد المنتهية وغير المنتهية: (أ) عوامل العدد 6 (ب) مضاعفات العدد 6 (ج) الأعداد الصحيحة.
(أ) {-1, -2, -3, -6, 1, 2, 3, 6} منتهية (ب) {6, 12, 18, 24, ...} غير منتهية (ج) {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} غير منتهية. انتبه: ميّز بين عوامل العدد ومضاعفاته.
دورك الآن 5: اكتب بذكر العناصر وحدد المنتهية: (أ) {أ : أ ∈ ط, أ مضاعف للعدد 10} (ب) {أ : أ ∈ ص, أ عامل من عوامل 9} (ج) {أ : أ ∈ ط, أ يقبل القسمة على 2}
(أ) {10, 20, 30, ...} غير منتهية (ب) {-9, -3, -1, 1, 3, 9} منتهية (ج) {0, 2, 4, 6, ...} غير منتهية (الأعداد الكلية تبدأ من 0).
تمارين ذاتية (ص24–26)
1) أكمل بـ ∈ أو ∉: (أ) ع … {ل، م، ع، ل} (ب) 9 … {أ : أ ∈ ص₋} (ج) 23 … {1، 2، 3} (د) ق … أحرف «فريق» (هـ) 4 … {أ : أ ∈ ط, أ عامل أولي من عوامل 20} (و) 5 … {554}
(أ) ∈ (ب) ∉ (9 موجب) (ج) ∉ (د) ∈ (هـ) ∉ (العوامل الأولية للعدد 20: 2، 5) (و) ∉.
2) عبّر بذكر العناصر: (أ) أحرف كلمة «سمسم» (ب) أرقام العدد 129 23 (ج) {أ : أ ∈ ط, أ عامل من عوامل 9} (د) {أ : أ ∈ ص, أ زوجي بين 10 و15} (هـ) {ب : ب ∈ ط, 23 < ب ≤ 29} (و) الأعداد الكلية الأكبر من 8 والأصغر من 9
(أ) {س, م} (ب) {1, 2, 3, 9} (ج) {1, 3, 9} (د) {12, 14} (هـ) {24, 25, 26, 27, 28, 29} (و) ∅ (لا عدد كلي بين 8 و9).
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
٢
الأعداد النسبية
الفصل الأول · صفحات 76–123غلاف الوحدة (ص70–71): «الأعداد النسبية — الصناعة»: تُعدّ الصناعة من أهمّ مصادر الدخل القومي في دولة الكويت، وقد أدّت دورًا حيويًا في الحفاظ على النموّ الاقتصادي؛ ولإنتاج السلع تستخدم المصانع الأعداد النسبية لتحديد كمّية المواد التي يجب وضعها للحصول على المنتَج النهائي.
معايير الوحدة (ص72) — المجال: العد والجبر. المعيار 1: تمثيل الأعداد واستخدامها ضمن أشكال متكافئة متنوعة وإدراك أن مختلف أشكال الأعداد تتلاءم مع حالات مختلفة. المعيار 2: اختيار العمليات المناسبة واستخدامها لحل المسائل وتعليل الخيارات.
مخطط الوحدة (ص73): الأعداد النسبية ← استكشافها وتبسيطها · مقارنتها وترتيبها · العمليات (جمع وخواصه · طرح · ضرب وخواصه · قسمة) · الجذر التربيعي · الجذر التكعيبي.
«هل أنت مستعد؟» (ص74): أوجد ع.م.أ لكل زوج: (أ) 6، 12 (ب) 35، 25 (ج) 14، 21 · وم.م.أ لكل زوج: (أ) 2، 8 (ب) 6، 9 (ج) 5، 7
ع.م.أ: (أ) 6 (ب) 5 (ج) 7 · م.م.أ: (أ) 8 (ب) 18 (ج) 35.
ضع كسرًا مركبًا: (أ) 4 35 (ب) 1.7 (ج) -2.3؛ وأوجد |-4| و|2|؛ والمعكوس الجمعي لـ -9 ولـ 3.
(أ) 235 (ب) 1710 (ج) -2310 · |-4| = 4 ، |2| = 2 · المعكوس الجمعي لـ -9 هو 9 ولـ 3 هو -3.
قارن: (أ) -25 □ 8 (ب) 0 □ 21 (ج) -14 □ 0 (د) -12 □ -15
(أ) -25 < 8 (ب) 0 < 21 (ج) -14 < 0 (د) -12 > -15.
أوجد: (أ) -3 + 10 (ب) 11 - (-5) (ج) -3 × 4 (د) -5 + (-9) (هـ) (-15) - 8 (و) 5 × (-7) (ز) 12 + (-6) (ح) (-17) - (-7) (ط) (-6) × (-2)
(أ) 7 (ب) 16 (ج) -12 (د) -14 (هـ) -23 (و) -35 (ز) 6 (ح) -10 (ط) 12.
أوجد: (أ) 1.9 + 3.12 (ب) 15.42 - 11.8 (ج) 3.2 × 0.4 · وقيمة: 4² ، 9² ، (-3)² ، √64 ، √144 ، √1600 · و2³ ، 3³ ، 4³ ، 5³ · وجذر 324 بالتحليل إلى عوامله الأولية.
(أ) 5.02 (ب) 3.62 (ج) 1.28 · 16 ، 81 ، 9 ، 8 ، 12 ، 40 · 8 ، 27 ، 64 ، 125 · 324 = 2²×3⁴ فـ √324 = 2×3×3 = 18.
الدرس 2-1: استكشاف الأعداد النسبية وتبسيطها (ص76–81)
استكشف: حلّ 4س = 3. هل الناتج ينتمي إلى ط أو ص؟
س = 34؛ لا ينتمي إلى ط ولا إلى ص، بل إلى مجموعة الأعداد النسبية.
مجموعة الأعداد النسبية هـ: الأعداد التي يمكن كتابتها على صورة أب حيث أ، ب عددان صحيحان، ب ≠ 0. هـ = {أب : أ, ب ∈ ص, ب ≠ 0} وهـ = هـ₋ ∪ {0} ∪ هـ₊ حيث هـ₋ السالبة وهـ₊ الموجبة. (ط ⊆ ص ⊆ هـ)
ما الأعداد التي تُعدّ نسبية؟
الأعداد الكلية والصحيحة والكسور الاعتيادية والأعداد الكسرية والكثير من الكسور العشرية والأعداد العشرية. والعدد العشري إما منتهٍ مثل 1.6 أو متكرر (دوري) مثل 0.3. أمثلة غير نسبية: π ، √2 ، √5 ، 3.1980475063…
| الكسر | الصورة العشرية الدورية |
|---|---|
| 13 | 0.3 |
| 23 | 0.6 |
| 49 | 0.4 |
| 1899 | 0.18 |
مثال 1: ضع على صورة أ/ب: (أ) 17 (ب) -5 (ج) -0.75 (د) 4 35 (هـ) 6.7 (و) √16
(أ) 171 (ب) -51 (ج) -75100 = -34 (د) 235 (هـ) 6710 (و) √16 = 4 = 41.
دورك الآن 1: ضع على صورة أ/ب: (أ) 9 (ب) 1 12 (ج) -1.6 (د) 0.7. وهل يمكن وضع 1.4 على صورة أ/ب؟
(أ) 91 (ب) 32 (ج) -85 (د) 79 · نعم: عدد عشري دوري فهو نسبي (1.4 = 139).
دورك الآن 2: ضع ∈ أو ∉ للأعداد 17 ، -5 ، -34 ، 0.3 مع ط وص وهـ.
ط: 17 ∈ ، -5 ∉ ، -34 ∉ ، 0.3̄ ∉ · ص: 17 ∈ ، -5 ∈ ، -34 ∉ ، 0.3̄ ∉ · هـ: كلها ∈.
العدد النسبي ومعكوسه الجمعي على خط الأعداد في جهتين مختلفتين من الصفر وعلى البعد نفسه. والأعداد 24 ، 12 ، 36 ، -4-8 ، 0.5 ، 0.500 كلها صور مختلفة للعدد نفسه.
مثال 2: كيف تمثّل 1 13 ، 53 ، -23 ، -43 ، -63 على خط الأعداد؟
1) ارسم خط الأعداد وعيّن الصفر ووحدات متساوية 2) قسّم كل وحدة إلى 3 أجزاء متساوية (المقام 3) 3) عيّن النقاط: -63 = -2 و53 = 1 23 و1 13 = 43.
دورك الآن 3: مثّل على خط الأعداد: 1.25 ، -34 ، 0.5 ، -84.
تُقسَّم الوحدة إلى 4 أجزاء: 1.25 = 1 14 · -34 · 0.5 = 24 · -84 = -2.
| العدد | -5 | صفر | 3 | -56 | 0.7 | -1.4 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| المعكوس الجمعي | 5 | 0 | -3 | 56 | -0.7 | 1.4 |
| المطلق | 5 | صفر | 3 | 56 | 0.7 | 1.4 |
مطلق العدد أ يُرمز له |أ| · المعكوس الجمعي للعدد أ هو -أ · يكون العدد النسبي أب في أبسط صورة إذا كان ب ∈ ص₊ وكان ع.م.أ للعددين أ، ب هو 1.
مثال 3: اكتب -1218 في أبسط صورة. (طريقة بدر ويوسف)
بدر: القسمة على 2 ثم على 3 فـ-1218 = -69 = -23 · يوسف: القسمة على ع.م.أ = 6 مباشرة فـ-23.
ملاحظة: أب = -أ-ب · -أب = -أب = أ-ب · 0ب = 0 · أب عدد صحيح عندما يقبل أ القسمة على ب · أ0 كمية غير معرّفة.
تمرين ذاتي 1: أيّ الأعداد نسبي: (أ) 235 (ب) 14.2 (ج) -1.75 (د) 7.5239817… (هـ) 1 79 (و) √11 (ز) 0.113 (ح) 0.6 (ط) √9 (ي) √45 (ك) π (ل) صفر
نسبي: (أ) (ب) (ج) (هـ) (ز) (ح) (ط) لأن √9 = 3 (ي) لأن √45 = 25 (ل) · غير نسبي: (د) (و) (ك).
تمرين ذاتي 1 (3): اكتب في أبسط صورة: (أ) 1224 (ب) -3545 (ج) -15-12 (د) 18-2 (هـ) 325 (و) 248
(أ) 12 (ب) -79 (ج) 54 (د) -9 (هـ) 325 (و) 3.
تمرين ذاتي 1 (2): مثّل على خط الأعداد: 1 15 ، 45 ، -15 ، 0.6 ، -1.4.
تُقسَّم الوحدة إلى 5 أجزاء: 1.2 · 0.8 · -0.2 · 0.6 = 35 · -1.4 = -1 25.
تمرين ذاتي 1 (4): |-3|/5 = (أ) -0.06 (ب) 0.06 (ج) -0.6 (د) 0.6
(د) 35 = 0.6.
مهارات تفكير عليا 5: أيّ الأعداد يمكن وضعه على صورة عدد عشري دوري: (أ) 38 (ب) 14 (ج) 16 (د) 45
(ج) 16 = 0.16؛ والبقية مقاماتها 8 و4 و5 فكسورها العشرية منتهية.
مهارات تفكير عليا 6: العدد س على خط الأعداد بين 26 و28 وبجوار 28 والعدد 27 في الوسط: (أ) 27.4 (ب) 27.8 (ج) 27.9 (د) 28.2
(ب) 27.8 (قراءة من الرسم؛ س بين 27 و28 وأقرب إلى 28).
مهارات تفكير عليا 7: فاز حمد في 6 سباقات من 36. اكتب الكسر العشري لنسبة فوزه مقرّبًا لأقرب جزء من ألف.
636 = 16 ≈ 0.167.
الدرس 2-2: مقارنة الأعداد النسبية وترتيبها (ص82–85)
استكشف: متوسط درجات الحرارة: روسيا -7.32، البوسنة -1.55، جيبوتي 22.4، فرنسا 0، الكويت 10. أيها الأبرد؟ والأقل برودة؟ رتّبها تصاعديًا.
الأبرد: روسيا · الأقل برودة: جيبوتي · الترتيب التصاعدي: -7.32 ، -1.55 ، 0 ، 10 ، 22.4. (تُستخدم الأعداد النسبية للتعبير عن الحرارة: تحت الصفر سالبة وفوقه موجبة.)
لمقارنة عددين نسبيين أو ترتيبهما: اكتب العددين على شكل عددين عشريين أو على شكل كسرين لهما المقام نفسه. 0.25 = 14 · 0.5 = 12 · 0.75 = 34 · 0.2 = 15 · 0.125 = 18
مثال 1: (أ) قارن 59 و712 (ب) قارن -2 14 و-2.5.
(أ) المقام المشترك 36: 2036 < 2136 إذن 59 <
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
٣
نظرية فيثاغورث – التطابق – الحجوم
الفصل الأول · صفحات 130–175غلاف الوحدة (ص124–125): مركز الشيخ جابر الأحمد الثقافي من أبرز المعالم الكويتية الثقافية والحضارية وأضخمها، يقع في قلب مدينة الكويت ويتكوّن من أشكال هندسية مركّبة مستوحاة من العمارة الإسلامية، شُيّد على مساحة 214 ألف متر مربع وقُسّم إلى أربعة مبانٍ على شكل جواهر متصلة: مبنى المسرح، مركز الموسيقى، مركز المؤتمرات، قاعة المكتبة والمستندات التاريخية.
معايير الوحدة (ص126) — الهندسة والقياس: (1) تطبيق الأساليب والأدوات والصيغ الملائمة لتحديد قياسات (2) استخدام التصور البصري والتعليل المكاني والنمذجة الهندسية (3) تحليل صفات وخصائص الأشكال الهندسية ذات البعدين وثلاثية الأبعاد وتنمية الجدل الرياضي حول العلاقات الهندسية. والعد والجبر: استخدام إستراتيجيات متنوعة لوصف العلاقات والتغيرات.
مخطط الوحدة (ص127): الهندسة والقياس ← نظرية فيثاغورث وعكسها · التطابق (بثلاثة أضلاع، بضلعين والزاوية المحصورة، بزاويتين وضلع واصل بين رأسيهما، قائمي الزاوية) · حجم المنشور القائم والأسطوانة · حجم المخروط.
«هل أنت مستعد؟» (ص128–129): صِل: 8² ، 15² ، √121 ، √169. وما قياس ∠هـسل إذا قياس ∠صسع = 50°؟
8² = 64 · 15² = 225 · √121 = 11 · √169 = 13 · ق(∠هـسل) = 50° لأنهما زاويتان متقابلتان بالرأس.
مثلث أب جـ متطابق الضلعين (أب = أجـ) وق(∠أ) = 80°: أوجد ق(∠ب) وق(∠جـ).
زاويتا القاعدة متساويتان ومجموع زوايا المثلث 180° ⟹ ق(∠ب) = ق(∠جـ) = (180 - 80) ÷ 2 = 50°.
متوازي أضلاع س ص ع ل: سص = 4 سم، ق(∠سصل) = 60°: (أ) ق(∠صلع)؟ (ب) طول لع؟
(أ) 60° بالتبادل (سص // لع) (ب) لع = 4 سم؛ كل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متساويان.
أوجد: حجم مكعب ضلعه 6 سم · حجم منشور أبعاده 10 و8 و3 سم · مساحة دائرة نصف قطرها 7 سم (π = 227) · مساحة مستطيل 5 م × 2 م.
6×6×6 = 216 سم³ · 10×8×3 = 240 سم³ · 227×7×7 = 154 سم² · 5×2 = 10 م².
الدرس 3-1: نظرية فيثاغورث وعكسها (ص130–138)
استكشف 1: قارن مجموع مساحتي المربعين المنشأين على ضلعي القائمة بمساحة المربع المنشأ على الوتر في المثلثات القائمة (3، 4، 5) و(6، 8، 10) و(5، 12، 13). ماذا تلاحظ؟
3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5² · 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10² · 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13²: مجموع مساحتي المربعين على ضلعي القائمة = مساحة المربع على الوتر. (يستخدم المهندسون المعماريون النظرية في تصميم الأسقف المائلة والسلالم.)
نظرية فيثاغورث: في المثلث القائم الزاوية مربّع طول الوتر = مجموع مربّعي طولَي الضلعين الآخرين. إذا كان Δأبجـ قائمًا في أ فإن (ب جـ)² = (أب)² + (أجـ)². الوتر هو أطول ضلع وهو المقابل للزاوية القائمة، وضلعا القائمة يكوّنان الزاوية القائمة.
مثال 1: أوجد المجهول: (أ) ضلعا قائمة 9 و12 والوتر س (ب) مثلث قائم أطوال أضلاعه 3 و6 وع والوتر 6.
(أ) س² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225 ⟹ س = √225 = 15 (نرفض -15 لأن الأطوال موجبة) (ب) 6² = ع² + 3² ⟹ ع² = 36 - 9 = 27 ⟹ ع = √27 وحدة طول.
مثال 2: سصع مثلث قائم في ص، سص = 6، سع = 10. أوجد صع.
(سع)² = (سص)² + (صع)² ⟹ 10² = 6² + (صع)² ⟹ (صع)² = 100 - 36 = 64 ⟹ صع = 8 وحدات.
دورك 1: المدينة ب شرق أ بمسافة 15 كم، وجـ شمال أ وتبعد عن ب 25 كم. ما المسافة بين أ وجـ؟
(أجـ)² = 25² - 15² = 625 - 225 = 400 ⟹ أجـ = 20 كم. (الجهات الأصلية: شمال، جنوب، شرق، غرب.)
عبّر عن فهمك: يُصنَّف المغلف «كبيرًا» إذا تجاوز طوله 35 سم. مغلف مستطيل عرضه 30 سم وقطره 50 سم. هل هو كبير؟
ب² = 50² - 30² = 2500 - 900 = 1600 ⟹ ب = 40 سم وهو أكبر من 35 فنعم كبير.
استكشف 2: قارن مربّع الضلع الأطول بمجموع مربّعي الضلعين الآخرين في المثلثات (3، 4، 5) و(5، 3، 6) و(4، 5، 6). ماذا تلاحظ عن الزاوية المقابلة للضلع الأطول؟
(3، 4، 5): 25 = 9 + 16 والزاوية 90° · (3، 5، 6): 36 > 34 والزاوية منفرجة · (4، 5، 6): 36 < 41 والزاوية حادة. الزاوية الأكبر قياسًا هي المقابلة للضلع الأطول.
عكس نظرية فيثاغورث: إذا كان مربّع طول الضلع الأطول في مثلث = مجموع مربّعي طولَي الضلعين الآخرين فالمثلث قائم الزاوية والقائمة المقابلة للضلع الأطول. وإذا كان أجـ الأطول: (أجـ)² = (أب)² + (ب جـ)² قائم · < حاد الزوايا · > منفرج الزاوية في ب.
| الأطوال | مربّع الأطول | مجموع مربّعي الآخرين | النوع |
|---|---|---|---|
| 5، 12، 13 | 169 | 25 + 144 = 169 | قائم الزاوية |
| 5، 5، 7 | 49 | 25 + 25 = 50 | حادّ الزوايا |
| 5، 7، 9 | 81 | 25 + 49 = 74 | منفرج الزاوية |
دورك 2: استخدم المصريون القدامى حبالًا ذات عقد تكوّن مثلثًا أضلاعه 3، 4، 5 لتشكيل الزوايا القائمة عند بناء الأهرامات. وضّح.
5² = 25 و3² + 4² = 9 + 16 = 25 فمربّع الأطول = مجموع مربّعي الآخرين ⟹ بعكس فيثاغورث يتكوّن مثلث قائم الزاوية.
مثال 4: ق(∠ب) = 90°، أب = 3، ب جـ = 4، جـ د = 12، أد = 13. أوجد أجـ ثم أثبت أن Δأجـد قائم.
في Δأبجـ: (أجـ)² = 9 + 16 = 25 ⟹ أجـ = 5 · في Δأجـد: (أد)² = 169 و(أجـ)² + (جـد)² = 25 + 144 = 169 ⟹ بعكس فيثاغورث Δأجـد قائم في جـ. (∴ إذًا · ∵ بما أن)
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
٤
النسبة والتناسب – التحويلات الهندسية
الفصل الأول · صفحات 181–216غلاف الوحدة (ص177): اكتُشف احتياطي النفط في الكويت عام 1938م وتبلغ نسبته 10% من إجمالي الاحتياطي العالمي، و90% من عائدات الحكومة تأتي من صناعة البترول. حقل برقان أكبر حقول الكويت وثاني أكبر حقل نفط في العالم، والكويت السابعة في قائمة أكبر مصدّري النفط في العالم.
معايير الوحدة (ص178) — العد والجبر: تحديد علاقات التناسب في المسائل الرياضية. الهندسة والقياس: (1) تطبيق التحويلات الهندسية وتطوير الحس المكاني واستخدام التماثل (2) تحديد المواقع ووصف العلاقات المكانية بهندسة الإحداثيات (3) تمثيل التحويلات الهندسية وربطها بالتطابق والتناظر.
مخطط الوحدة (ص179): النسبة والتناسب ← حل التناسب (طردي – عكسي) · المعادلات في مسائل النسب المئوية · النسبة المئوية التزايدية والتناقصية. التحويلات الهندسية ← الانعكاس (في محور · في نقطة · في نقطة الأصل · التناظر حول نقطة) · الإزاحة في المستوى الإحداثي.
«هل أنت مستعد؟» (ص180): (1) حلّ التناسب: 4س = 1218 و53 = ص12 (2) أوجد: 30% من 600 ، 15% من 22 ، 6.4% من 75 ، 3313% من 120.
(1) س = 4×18÷12 = 6 وص = 5×12÷3 = 20 (2) 180 ، 3.3 ، 4.8 ، 40. (3–4) تعيين النقاط وقراءة إحداثياتها: الإحداثي السيني أولًا ثم الصادي، مثل أ(4، 0) على المحور السيني ود(0، -6) على الصادي.
الدرس 4-1: حل التناسب (طردي – عكسي) (ص181–186)
استكشف 1: مريم تحرق 60 سعرة في 10 دقائق مشي. كم تحرق في 20، 30، 40، 50 دقيقة؟
الدقائق 10، 20، 30، 40، 50 ← السعرات 60، 120، 180، 240، 300. ونلاحظ 1060 = 20120 = 30180 = 40240 = 50300 (تناسب). التناسب: تساوي نسبتين أو أكثر.
إذا كان أب = جـد: فإن أ × د = ب × جـ (الضرب التقاطعي).
مثال 1: نسبة البيضاء إلى الحمراء 7:3 وعدد الحمراء 24. كم البيضاء؟
73 = س24 ⟹ س = 24×7÷3 = 56 كرة.
دورك 1: حلّ: (أ) 52 = 2س (ب) س4 = 10.50.5 (ج) 6ن-1 = 12.
(أ) س = 45 (ب) س = 4×10.5÷0.5 = 84 (ج) ن - 1 = 12 ⟹ ن = 13.
التناسب الطردي: ص تتغيّر طرديًا بتغيّر س إذا كان صس = عددًا ثابتًا موجبًا. ص = ثابت × س وص₁ص₂ = س₁س₂. زيادة س تقابلها زيادة ص ونقص س يقابله نقص ص بنسبة ثابتة.
والآن: السعرات المحترقة في 75 دقيقة؟ (مثال 2) ثمن 3 كجم تفاح 420 فلسًا؛ ثمن 5 كجم؟ (دورك 2) زورق يستهلك 12 لترًا لـ 24 كم؛ المسافة بـ 22 لترًا؟
16 = 75س ⟹ 450 سعرة · 35 =
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
✎
اختبر نفسك
اختر الإجابة وسيظهر الصواب فورًاباقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
★ نصائح ليلة الاختبار
١) احفظ: نظرية فيثاغورث (الوتر)² = مجموع مربعي ضلعي القائمة وعكسها لتحديد نوع المثلث (قائم · حاد · منفرج).<br>٢)…باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة