🎨 السؤال بالخط الأزرق · الإجابة بالخط الأخضر. المرجع الوحيد: كتاب الطالب.
١
المجموعات والعلاقات
الفصل الأول · صفحات 20–69 · أسئلةالدرس 1-1: المجموعات
1) اختر الإجابة الصحيحة: أيّ مما يلي يشكّل مجموعة؟ (أ) الأزهار الجميلة (ب) أيام الأسبوع (ج) المناطق الجميلة في الكويت (د) الطلاب المتفوقون
(ب) أيام الأسبوع؛ لأنها محددة تحديدًا تامًا (7 أيام).
2) ضع ✓ أو ✗ وصحّح الخطأ: {1, 2, 2, 3} مجموعة عدد عناصرها 4.
✗ ؛ لا يُكرَّر العنصر في المجموعة فهي {1, 2, 3} وعدد عناصرها 3.
3) أكمل بـ ∈ أو ∉: (أ) 5 … {1, 3, 5, 7} (ب) -3 … ط (ج) 0 … ط (د) 12 … مضاعفات 5
(أ) ∈ (ب) ∉ (الأعداد الكلية لا تحوي سالبًا) (ج) ∈ (د) ∉ (12 ليس من مضاعفات 5).
4) اكتب بذكر العناصر: سـ = {أ : أ ∈ ط, أ عامل موجب للعدد 24} وحدد منتهية أم غير منتهية.
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} منتهية (8 عناصر).
5) عبّر بالصفة المميزة اللفظية عن سـ = {2, 4, 6, 8}.
سـ = مجموعة الأعداد الزوجية الموجبة الأصغر من 10.
6) عرّف المجموعة الخالية وأعطِ مثالًا.
المجموعة التي لا تحتوي عناصر (عدد عناصرها صفر) ويُرمز لها { } أو ∅. مثال: الأعداد الصحيحة الأكبر من 0 والأصغر من 1.
7) حدد ما يمثل مجموعة خالية: (أ) {أ : أ ∈ ط, أ < 1} (ب) الأعداد الصحيحة المحصورة بين 4 و5 (ج) {أ : أ ∈ ص, أ زوجي بين 3 و5}
(أ) غير خالية {0} (ب) خالية (ج) غير خالية {4}.
8) قارن بين عوامل العدد 12 ومضاعفاته من حيث كونها منتهية أم غير منتهية.
عوامل 12 الموجبة {1, 2, 3, 4, 6, 12} منتهية؛ مضاعفاته {12, 24, 36, ...} غير منتهية.
9) اكتب مجموعة أحرف كلمة «مدرسة» بذكر العناصر ثم مثلها بمخطط فن.
{م, د, ر, س, ة} (5 عناصر) تُكتب داخل شكل بيضاوي.
الدرس 1-2: المجموعة الجزئية – تساوي مجموعتين
1) ضع ⊆ أو ⊈: (أ) {2, 4} … {1, 2, 3, 4} (ب) {0} … {1, 2} (ج) ∅ … {5} (د) {1, 2} … {1, 2}
(أ) ⊆ (ب) ⊈ (ج) ⊆ (د) ⊆.
2) اكتب جميع المجموعات الجزئية من {أ, ب} واذكر عددها.
∅, {أ}, {ب}, {أ, ب} والعدد 4 = 2².
3) كم مجموعة جزئية للمجموعة {1, 2, 3, 4, 5}؟
2⁵ = 32.
4) ضع ✓ أو ✗: العبارة 3 ⊆ {1, 2, 3} صحيحة. صحّح الخطأ.
✗ ؛ العنصر 3 ينتمي ولا يُحتوى: 3 ∈ {1, 2, 3} أو {3} ⊆ {1, 2, 3}.
5) أكمل بـ = أو ≠: (أ) {1, 2, 3} … {3, 2, 1} (ب) أحرف كلمة «كتب» … أحرف كلمة «بكت» (ج) {4} … {4, 5} (د) {أ, ب} … {أ, ب, أ}
(أ) = (ب) = (ج) ≠ (د) =.
6) إذا كانت {3, س + 1, 7} = {3, 5, 7} فأوجد س.
س + 1 = 5 ⟹ س = 4.
7) إذا كانت {2س, 9} = {9, 14} فما قيمة س؟
2س = 14 ⟹ س = 7.
8) علّل: لماذا {1, 2, 3, 4} ⊈ {1, 2, 3}؟
لأن 4 ينتمي إلى المجموعة الأولى ولا ينتمي إلى الثانية.
9) متى تتساوى المجموعتان سـ وصـ؟
عندما سـ ⊆ صـ وصـ ⊆ سـ أي لهما العناصر نفسها.
الدرس 1-3: العمليات على المجموعات (تقاطع – اتحاد)
1) سـ = عوامل 12 الموجبة، صـ = {2, 4, 6, 8, 10}: أوجد سـ ∩ صـ.
{2, 4, 6}
2) بالمجموعتين السابقتين أوجد سـ ∪ صـ.
{1, 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12}
3) اكتب بالرموز: مجموعة العناصر التي تنتمي إلى سـ أو إلى صـ.
سـ ∪ صـ = {أ : أ ∈ سـ أو أ ∈ صـ}.
4) ضع ✓ أو ✗: إذا كانت صـ ⊆ سـ فإن سـ ∩ صـ = سـ. صحّح.
✗ ؛ الصواب سـ ∩ صـ = صـ وسـ ∪ صـ = سـ.
5) ك = {1, 3, 5}، ن = {2, 4}: أوجد ك ∩ ن وك ∪ ن.
∅ و {1, 2, 3, 4, 5}
6) أكمل: إذا كانت سـ ∩ صـ = ∅ فإن المجموعتين …
منفصلتان لا عناصر مشتركة بينهما.
7) أ = {1,2,5,6}، ب = {2,3,5,7}، جـ = {5,6,7,8}: أوجد أ ∩ ب ∩ جـ وأ ∪ ب ∪ جـ.
{5} و {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}
8) هل سـ ∩ صـ = صـ ∩ سـ دائمًا؟ وهل سـ ∪ صـ = صـ ∪ سـ؟
نعم للعمليتين (خاصية التبديل): العناصر هي نفسها بغض النظر عن الترتيب.
9) أيّ مما يلي صحيح لأي مجموعتين: (أ) سـ ∩ صـ ⊆ سـ (ب) سـ ⊆ سـ ∩ صـ (ج) سـ ∪ صـ ⊆ سـ
(أ) فقط؛ لأن عناصر التقاطع تنتمي إلى المجموعتين معًا.
الدرس 1-4: مجموعة الفرق
1) سـ = {1, 2, 3, 4, 5}، صـ = {4, 5, 6, 7}: أوجد سـ − صـ.
{1, 2, 3}
2) بالمجموعتين السابقتين أوجد صـ − سـ.
{6, 7}
3) ضع ✓ أو ✗: سـ − صـ = صـ − سـ لأي مجموعتين. صحّح.
✗ ؛ في العموم سـ − صـ ≠ صـ − سـ (مثال: {1,2,3} − {3} = {1,2} بينما {3} − {1,2,3} = ∅).
4) إذا كانت سـ ⊆ صـ فما قيمة سـ − صـ؟
∅.
5) إذا كانت سـ ∩ صـ = ∅ فما قيمة سـ − صـ؟
سـ − صـ = سـ لأن لا عنصر من سـ ينتمي إلى صـ.
6) سـ = عوامل 10 الموجبة، ع = {ب : ب ∈ ص, 2 ≤ ب ≤ 6}: أوجد سـ − ع.
{1, 10}
7) اكتب بدلالة سـ وصـ المنطقة المظللة: كل ما في سـ وصـ عدا التقاطع.
(سـ − صـ) ∪ (صـ − سـ).
8) ص الأعداد الصحيحة وط الكلية: ما قيمة ص − ط؟
{..., -3, -2, -1} أي ص₋.
9) ك = {1,2,3,4,5,6}، ن = {2,4,6,8}: أوجد (ك − ن) ∪ (ن − ك).
{1, 3, 5, 8}
الدرس 1-5: المجموعة الشاملة – المجموعة المتممة
1) شـ = {1, 2, ..., 8}، سـ = {2, 4, 6, 8}: أوجد سـ′.
{1, 3, 5, 7}
2) بالمعطيات السابقة وإذا كانت صـ = {1, 2, 3, 4}: أوجد (سـ ∪ صـ)′.
{5, 7}
3) بالمعطيات نفسها أوجد سـ′ ∩ صـ′ وقارنها بـ (سـ ∪ صـ)′.
{5, 7} = {5, 7} وهذا قانون دي مورغان.
4) أوجد (سـ ∩ صـ)′ ثم سـ′ ∪ صـ′.
{1, 3, 5, 6, 7, 8} = {1, 3, 5, 6, 7, 8}
5) أكمل: سـ ∩ سـ′ = … ، سـ ∪ سـ′ = … ، (سـ′)′ = …
∅ ، شـ ، سـ.
6) اكتب قانوني دي مورغان.
(سـ ∪ صـ)′ = سـ′ ∩ صـ′ ، (سـ ∩ صـ)′ = سـ′ ∪ صـ′.
7) ما قيمة شـ′ و∅′؟
شـ′ = ∅ ، ∅′ = شـ.
8) ضع ✓ أو ✗: المجموعة الشاملة لمجموعات معطاة وحيدة دائمًا. علّل.
✗ ؛ كل مجموعة تحوي المجموعات المعطاة كمجموعات جزئية تصلح شاملة، فتوجد أكثر من واحدة.
9) شـ = {أ، ب، جـ، د، هـ}، سـ = {أ، جـ}: ما عدد عناصر سـ′؟
سـ = {أ، جـ} (عنصران) فعدد عناصر سـ′ = 5 − 2 = 3.
الدرس 1-6: الحاصل الديكارتي
1) سـ = {1، 2، 3}، صـ = {4، 5}: ما عدد عناصر سـ × صـ؟
3 × 2 = 6.
2) اكتب سـ × صـ للمجموعتين السابقتين.
{(1, 4), (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)}
3) اكتب صـ × سـ للمجموعتين السابقتين.
{(4, 1), (4, 2), (4, 3), (5, 1), (5, 2), (5, 3)}
4) ضع ✓ أو ✗: (2, 5) = (5, 2). علّل.
✗ ؛ الزوج المرتب يعتمد على الترتيب: المسقط الأول 2 في الأول و5 في الثاني.
5) إذا كان عدد عناصر سـ يساوي 4 وعدد عناصر صـ يساوي 5 فكم عدد عناصر سـ × سـ وسـ × صـ؟
سـ × سـ: 4 × 4 = 16 · سـ × صـ: 4 × 5 = 20.
6) سـ × صـ = {(1,أ), (1,ب), (2,أ), (2,ب)}: أوجد سـ وصـ.
سـ = {1, 2} ، صـ = {أ, ب}.
7) اكتب بالصفة المميزة: سـ × صـ.
سـ × صـ = {(أ, ب) : أ ∈ سـ, ب ∈ صـ}.
8) هل سـ × صـ = صـ × سـ؟ ومتى تتساويان؟
في العموم لا؛ وتتساويان إذا كانت سـ = صـ (أو إحداهما خالية).
9) سـ = {0، 1}: اكتب سـ × سـ وأي الأزواج تقع على الخط ص = س؟
{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} ؛ الأزواج (0,0) و(1,1).
الدرس 1-7: مفهوم العلاقة
1) سـ = {1, 2, 3, 4}، صـ = {2, 4, 6, 8}: اكتب العلاقة ع = {(أ,ب) : ب = 2أ} من سـ إلى صـ.
{(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}
2) بالمجموعتين السابقتين اكتب ع₂ = {(أ,ب) : ب = أ + 1}.
{(1, 2), (3, 4)}
3) هل ع = {(1,2), (2,9)} علاقة من سـ إلى صـ؟ علّل.
لا؛ لأن (2، 9) ∉ سـ × صـ إذ 9 ∉ صـ.
4) عرّف العلاقة من مجموعة سـ إلى مجموعة صـ.
«ع» علاقة من سـ إلى صـ إذا كانت ع ⊆ سـ × صـ (مجموعة جزئية من الحاصل الديكارتي).
5) اكتب على سـ = {1,2,3,4,5,6} العلاقة «ضعف» (الأول ضعف الثاني).
{(2, 1), (4, 2), (6, 3)}
6) اكتب على {1,2,3,4,5} العلاقة ع = {(أ,ب) : أ + ب = 6}.
{(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
7) ع = {(1,3), (2,6), (3,9)} على أيّ صفة مميزة؟
{(أ,ب) : ب = 3أ} (علاقة «ثلاثة أمثال» أو أ = ⅓ب).
8) ضع ✓ أو ✗: العلاقة من سـ إلى صـ هي نفسها العلاقة من صـ إلى سـ. علّل.
✗ ؛ الأزواج مرتبة: مثال (1,3) في الأولى و(3,1) في الثانية، فهما علاقتان مختلفتان.
9) ما عدد عناصر أكبر علاقة ممكنة على سـ = {1, 2, 3}؟ وما هي؟
9 عناصر؛ أكبر علاقة هي سـ × سـ نفسها لأن كل علاقة على سـ ⊆ سـ × سـ.
٢
الأعداد النسبية
الفصل الأول · صفحات 76–123 · أسئلةالدرس 2-1: استكشاف الأعداد النسبية وتبسيطها
1) اختر: أيّ الأعداد التالية غير نسبي؟ (أ) 73 (ب) 0.25 (ج) √5 (د) -4
(ج) √5؛ لا يمكن كتابته على صورة أب (أ، ب ∈ ص، ب ≠ 0).
2) اكتب على صورة أ/ب: (أ) 13 (ب) -0.6 (ج) 3 27 (د) √49
(أ) 131 (ب) -35 (ج) 3 27 = 237 (د) 71.
3) اكتب في أبسط صورة: (أ) -1824 (ب) 45-60 (ج) -14-35
(أ) -34 (ب) -34 (ج) 25
4) ضع ✓ أو ✗ وصحّح: كل عدد صحيح هو عدد نسبي، وكل عدد نسبي عدد صحيح.
✓ للأولى (ص ⊆ هـ) · ✗ للثانية: مثلًا 34 نسبي وليس صحيحًا.
5) أكمل بـ ∈ أو ∉: (أ) -34 … ص (ب) 0.3 … هـ (ج) -5 … هـ₊ (د) π … هـ
(أ) ∉ (ب) ∈ (ج) ∉ (د) ∉.
6) أوجد المعكوس الجمعي والقيمة المطلقة لكل من: -7 12 ، 0.6 ، 0.
-7 12: المعكوس 7 12 والمطلق 7 12 · 0.6: المعكوس -0.6 والمطلق 0.6 · 0: المعكوس 0 والمطلق 0.
7) متى يكون العدد النسبي أب في أبسط صورة؟
إذا كان ب عددًا صحيحًا موجبًا وكان ع.م.أ للعددين أ، ب يساوي 1.
8) اكتب 0.18 على صورة كسر.
0.18 = 1899 = 211.
9) اكتب النسبة 925 على صورة عدد عشري.
925 = 0.36.
الدرس 2-2: مقارنة الأعداد النسبية وترتيبها
1) قارن بوضع > أو < أو =: (أ) 37 □ 49 (ب) -2.6 □ -2 35 (ج) -58 □ -56
(أ) < (ب) = (ج) >
2) قارن: (أ) 0.25 □ 14 (ب) 3 13 □ 3.3 (ج) -0.07 □ -114
(أ) = (ب) > (ج) >
3) رتّب تصاعديًا: -34 ، 12 ، -0.8 ، 0 ، 1 14
-45، -34، 0، 12، 1 14
4) رتّب تنازليًا: 23 ، 0.6 ، -56 ، -0.8
23، 35، -45، -56
5) علّل: لماذا -0.6 < -0.4 مع أن 0.6 > 0.4؟
لأن العدد السالب الأبعد عن الصفر أصغر؛ عند الإشارة السالبة ينعكس الترتيب.
6) كسران سالبان بسطاهما متساويان: -37 و-35. أيّهما الأكبر؟ ولماذا؟
-37 ≈ -0.43 > -35 = -0.6: الأكبر هو ذو المقام الأكبر.
7) درجات حرارة مدن: -3.5 ، 2 ، -72 ، 0 ، -0.5: أيّها الأبرد؟ ورتّبها تصاعديًا.
-72 = -3.5 فهما متساويان في البرودة (-3.5) وهما الأبرد · الترتيب: -3.5 ، -3.5 ، -0.5 ، 0 ، 2.
8) اذكر طريقتي المقارنة لعددين نسبيين.
نكتب العددين على شكل عشريين (مع مساواة المنازل العشرية) أو على شكل كسرين لهما المقام نفسه ثم نقارن.
الدرس 2-3: جمع الأعداد النسبية وخواصها
1) أوجد: -49 + -29
-23
2) أوجد: -3.4 + 1.25
-2 320 = -2.15
3) أوجد: 2 13 + (-5 12)
-3 16
4) أوجد: -7.8 + 7.8 وسمّ الخاصية.
0؛ خاصية المعكوس الجمعي.
5) أوجد بخاصية التجميع بأسهل طريقة: 38 + 4.5 + (-38)
(38 + (-38)) + 4.5 = 4.5
6) اكتب الخاصية: 56 + 0 = 56.
خاصية العنصر المحايد الجمعي (الصفر).
7) الربح (+) والخسارة (-) لفرع شركة بآلاف الدنانير: +2.8 ثم -4.1. ما الحصيلة؟ ربح أم خسارة؟
2.8 + (-4.1) = -1.3 ألف دينار: خسارة.
8) ضع ✓ أو ✗: مجموع عددين نسبيين أحدهما موجب والآخر سالب يأخذ إشارة العدد ذي القيمة المطلقة الأكبر.
✓.
9) أكمل: أب + جـب = …ب
أ + جـب (المقامان متساويان فنجمع البسطين).
الدرس 2-4: طرح الأعداد النسبية
1) أوجد: 56 - 14
712
2) أوجد: -3.2 - (-1.75)
-1 920 = -1.45
3) أوجد: 4 15 - 7 23
-3 715
4) اكتب الطرح التالي على صورة جمع المعكوس الجمعي ثم أوجد الناتج: -6.4 - 2.1
-6.4 + (-2.1) = -8.5
5) بيّن أنّ -(-27) = 27.
لأن معكوس المعكوس الجمعي للعدد هو العدد نفسه: -(-أ) = أ.
6) مع سعاد 50 دينارًا دفعت منها 18.75 ثمن كتب. كم بقي معها؟
50 - 18.75 = 31.25 دينارًا.
7) طول قطعة قماش 7 12 م قُصّ منها 2 34 م. كم بقي؟
4 34 م.
8) أوجد: |-2.5| - 4
2.5 - 4 = -1.5
9) أكمل: لطرح عدد نسبي من آخر …
نجمع المعكوس الجمعي للعدد المطروح: أ - ب = أ + (-ب).
الدرس 2-5: ضرب الأعداد النسبية وخواصها
1) أوجد: -34 × 89
-23
2) أوجد: -2.5 × 1.2
-3 = -3
3) أوجد: 2 14 × (-1 13)
-3
4) أوجد المعكوس الضربي لـ: -57 ، 0.25 ، -3 13
-75 ، 4 ، -310
5) أوجد بخاصية التوزيع: 35 × (56 + 109)
(35 × 56) + (35 × 109) = 12 + 23 = 1 16
6) ما ناتج ضرب أي عدد نسبي في صفر؟ وما العنصر المحايد للضرب؟
صفر · والعنصر المحايد الضربي هو 1.
7) ورث ثلاثة إخوة 36000 دينار، نصيب الأول 13 والثاني 14. كم نصيب الثالث؟
نصيب الأول 12000 والثاني 9000 فنصيب الثالث 36000 - 21000 = 15000 دينار (512 × 36000).
8) ضع ✓ أو ✗: 23 × (-32) = 1. صحّح.
✗ ؛ حاصل الضرب -1؛ الضرب في المعكوس الضربي 32 يعطي 1.
9) أيّ خاصية استُخدمت: 73 × -57 = -57 × 73؟
خاصية الإبدال في الضرب.
الدرس 2-6: قسمة الأعداد النسبية
1) أوجد: 34 ÷ 98
23
2) أوجد: -5.6 ÷ 0.8
-7
3) أوجد: 3 12 ÷ (-1 34)
-2
4) أوجد: -56 ÷ (-10)
112
5) كم كوبًا سعته 34 لتر نملأ من إناء فيه 9 لترات؟
9 ÷ 34 = 12 كوبًا.
6) اشرح لماذا لا يمكن القسمة على الصفر.
لأنه لا يوجد عدد ضربه في الصفر يعطي ناتجًا غير صفر؛ فالقسمة على صفر غير معرّفة (كمية غير معرّفة) ولا معكوس ضربي للصفر.
7) ضع ✓ أو ✗: 12 ÷ 14 = 18. صحّح.
✗ ؛ الصواب 12 × 4 = 2.
8) درجة الحرارة تغيرت بمقدار -12 35 ° خلال 4 أيام. ما متوسط التغير اليومي؟
-3 320 °
9) ما المعكوس الضربي لـ -2 23؟ وما ناتج -2 23 ÷ 23؟
المعكوس -38 · الناتج -4.
الدرس 2-7: الجذر التربيعي للعدد النسبي
1) أوجد: √4981
79
2) أوجد: √0.0121
11100 = 0.11
3) أوجد: √(5 49)
2 13
4) أوجد عددين صحيحين متتاليين يقع بينهما √40.
36 < 40 < 49 فالجذر بين 6 و7.
5) ما مربّع كل من: -1.5 ، -34 ، 0.2؟
2.25 ، 916 ، 0.04
6) أوجد الجذر التربيعي لـ 784 بتحليله إلى العوامل الأولية.
784 = 2×2×2×2×7×7 ⟹ √784 = 2×2×7 = 28
7) مساحة مربع 7 19 م². ما طول ضلعه؟
√649 = 83 = 2 23 م.
8) ضع ✓ أو ✗: لكل عدد نسبي موجب جذران. وما الجذر الذي ندرسه؟
✓؛ جذر موجب وآخر سالب، وندرس الجذر الموجب فقط.
9) أوجد: √(5² + 12²)
√169 = 13
الدرس 2-8: الجذر التكعيبي للعدد النسبي
1) أوجد: ∛(-216)
-6
2) أوجد: ∛64125
45
3) أوجد: ∛0.027
310 = 0.3
4) أوجد: ∛(3 38) + √(2 14)
32 + 32 = 3
5) مكعب حجمه 343 سم³. ما طول حرفه ومساحة أحد أوجهه؟
∛343 = 7 سم والمساحة 7² = 49 سم².
6) أوجد: 2∛(-8) + 3√49
2×(-2) + 3×7 = 17
7) ضع ✓ أو ✗: ∛(-27) = 3. صحّح.
✗ ؛ الجذر التكعيبي لعدد سالب سالب: ∛(-27) = -3.
8) ما الفرق بين √64 و∛64؟
√64 = 8 لأن 8² = 64 و∛64 = 4 لأن 4³ = 64.
9) صندوق مكعب حجمه 125 دسم³ وصندوق آخر طول حرفه ضعف حرف الأول. ما حجم الثاني؟
حرف الأول 5 والثاني 10 ⟹ الحجم 10³ = 1000 دسم³.
٣
نظرية فيثاغورث – التطابق – الحجوم
الفصل الأول · صفحات 130–175 · أسئلةالدرس 3-1: نظرية فيثاغورث وعكسها
1) مثلث قائم الزاوية ضلعا قائمته 7 سم و24 سم. أوجد طول الوتر.
√(49 + 576) = √625 = 25 سم.
2) مثلث قائم وتره 17 سم وأحد ضلعي قائمته 8 سم. أوجد الضلع الآخر.
√(289 - 64) = √225 = 15 سم.
3) سلّم طوله 13 م يستند إلى حائط رأسي وتبعد قاعدته 5 م عن الحائط. على أي ارتفاع تصل قمته؟
√(169 - 25) = √144 = 12 م.
4) حدّد نوع المثلث بالنسبة لزواياه: (أ) 6، 8، 10 (ب) 4، 5، 6 (ج) 4، 5، 7 (د) 2، 3، 4
(أ) 100 = 36 + 64 قائم (ب) 36 < 41 حاد (ج) 49 > 41 منفرج (د) 16 > 13 منفرج.
5) مستطيل طوله 12 سم وعرضه 9 سم. ما طول قطره؟ وما طول قطر مربع ضلعه 10 سم (لأقرب جزء من مئة)؟
√(144 + 81) = 15 سم · √200 = 10√2 ≈ 14.14 سم.
6) هل يمكن أن يكون مثلث أطوال أضلاعه 20، 21، 29 قائمًا؟
400 + 441 = 841 = 29² فنعم قائم الزاوية بعكس فيثاغورث.
7) معين طول ضلعه 13 سم وأحد قطريه 10 سم. ما طول القطر الآخر؟ (القطران متعامدان ينصّف كل منهما الآخر)
نصف القطر الثاني √(169 - 25) = 12 فالقطر 24 سم.
الدرس 3-2: التطابق
1) اشرح معنى Δأبجـ ≅ Δسصع.
أضلاعهما المتناظرة متطابقة وزواياهما المتناظرة متطابقة: أب ≅ سص ، بجـ ≅ صع ، أجـ ≅ سع و∠أ ≅ ∠س ، ∠ب ≅ ∠ص ، ∠جـ ≅ ∠ع.
2) إذا كان Δأبجـ ≅ Δسصع فما الضلع المناظر لـ بجـ؟ وما الزاوية المناظرة لـ ∠ب؟
الضلع صع والزاوية ∠ص.
3) إذا كان Δأبجـ ≅ Δدهـو وكان أب = 5 سم وق(∠أ) = 60° فأوجد دهـ وق(∠د).
دهـ = 5 سم وق(∠د) = 60°.
4) ما عدد عناصر المثلث؟ وما المطلوب لتطابق مضلعين؟
ستة عناصر: 3 أضلاع و3 زوايا. يلزم تطابق كل الأضلاع المتناظرة وكل الزوايا المتناظرة.
5) إذا كان Δأبجـ ≅ Δدهـو ومحيط Δأبجـ = 24 سم فما محيط Δدهـو؟
24 سم؛ الأضلاع المتناظرة متساوية.
6) إذا كان Δأبجـ ≅ Δسصع وق(∠أ) = 50° وق(∠ب) = 60° فأوجد ق(∠ع).
ق(∠جـ) = 180 - 50 - 60 = 70° ⟹ ق(∠ع) = 70°.
7) هل تكفي زاويتان متطابقتان لتطابق مثلثين؟
لا؛ يلزم تطابق ثلاثة عناصر مناسبة (ضلع واحد على الأقل).
الدرس 3-3: تطابق مثلثين بثلاثة أضلاع
1) اكتب ما تعنيه الحالة ض.ض.ض.
إذا تطابقت أضلاع أحد المثلثين الثلاثة مع نظائرها في المثلث الآخر فالمثلثان متطابقان.
2) Δأبجـ: 4، 6، 8 سم و Δسصع: 8، 4، 6 سم. هل هما متطابقان؟ ولماذا؟
نعم؛ الأضلاع المتناظرة 4↔4، 6↔6، 8↔8 (ض.ض.ض).
3) في الرباعي أبجـد: أب = أد، بجـ = دجـ. أثبت أن Δأبجـ ≅ Δأدجـ.
أب = أد (معطى) ، بجـ = دجـ (معطى) ، أجـ ضلع مشترك ⟹ (ض.ض.ض).
4) Δأبجـ: 3، 4، 5 وΔسصع: 6، 8، 10. هل هما متطابقان؟
لا؛ 3 ≠ 6.
5) إذا تطابق مثلثان بـ ض.ض.ض فما الذي نستنتجه عن زواياهما؟
الزوايا المتناظرة متطابقة.
6) أبجـ مثلث متطابق الضلعين أب = أجـ، د منتصف بجـ: أثبت أن Δأبد ≅ Δأجـد وأن ∠بأد ≅ ∠جـأد.
أب = أجـ ، بد = جـد (منتصف) ، أد مشترك ⟹ ض.ض.ض ⟹ ∠بأد ≅ ∠جـأد (أد ينصّف ∠أ).
7) معين أبجـد: أثبت أن قطره أجـ يقسمه إلى مثلثين متطابقين.
الأضلاع الأربعة متساوية: أب = أد ، بجـ = دجـ ، وأجـ مشترك ⟹ ض.ض.ض.
الدرس 3-4: تطابق مثلثين بضلعين والزاوية المحصورة بينهما
1) ما معنى «الزاوية المحصورة» بين ضلعين؟ ولماذا يهم ذلك في حالة ض.ز.ض؟
هي الزاوية التي رأسها نقطة التقاء الضلعين؛ إن لم تكن محصورة لا يكفي التطابق لإثبات تطابق المثلثين.
2) Δأبجـ: أب = 5، ب = 40°، بجـ = 7 وΔسصع: سص = 5، ∠ص = 40°، صع = 7. هل هما متطابقان؟
نعم؛ (ض.ز.ض) ⟹ أجـ = سع و∠أ = ∠س و∠جـ = ∠ع.
3) أبجـد متوازي أضلاع. أثبت أن Δأبجـ ≅ Δجـدأ بحالة ض.ز.ض.
أب = جـد ، ∠أبجـ = ∠جـدأ (زاويتان متقابلتان) ، بجـ = دأ ⟹ ض.ز.ض.
4) أوجد ق(∠ب) إذا تطابق Δأبجـ مع Δسصع بالحالة ض.ز.ض وكان ق(∠س) = 55°، ق(∠ع) = 85° (أ↔س، ب↔ص، جـ↔ع).
ق(∠ص) = 180 - 55 - 85 = 40° ⟹ ق(∠ب) = 40°.
5) تقاطع القطعتان أب وجـد في م ، أم = بم ، جـم = دم. أثبت Δأمجـ ≅ Δبمد.
أم = بم ، جـم = دم ، ∠أمجـ = ∠بمد (متقابلتان بالرأس) ⟹ ض.ز.ض.
6) إذا كان ضلعان في مثلثين متطابقين وزاوية غير محصورة بينهما فهل يتطابق المثلثان بالضرورة؟
لا؛ لا تكفي هذه الحالة.
7) Δأبجـ متطابق الضلعين أب = أجـ، أد ينصّف ∠أ ويقطع بجـ في د. أثبت أن د منتصف بجـ.
أب = أجـ ، ∠بأد = ∠جـأد ، أد مشترك ⟹ ض.ز.ض ⟹ بد = جـد.
الدرس 3-5: تطابق مثلثين بزاويتين وضلع واصل بين رأسيهما
1) اكتب نص حالة ز.ض.ز.
إذا تطابقت زاويتان والضلع الواصل بين رأسيهما في مثلث مع نظائرها في آخر فالمثلثان متطابقان.
2) Δأبجـ: ∠أ = 50°، أب = 6، ∠ب = 60° وΔسصع: ∠س = 50°، سص = 6، ∠ص = 60°. هل يتطابقان؟ وما ق(∠ع)؟
نعم (ز.ض.ز)؛ ق(∠ع) = ق(∠جـ) = 180 - 50 - 60 = 70°.
3) يتقاطع أب وجـد في و؛ ∠أ ≅ ∠د ، أو = دو. أثبت Δأوجـ ≅ Δدوب.
∠أ = ∠د (معطى) ، أو = دو (معطى) ، ∠أوجـ = ∠دوب (بالتقابل بالرأس) ⟹ ز.ض.ز.
4) أبجـد متوازي أضلاع: أثبت أن أب = جـد باستخدام ز.ض.ز في Δأبجـ وΔجـدأ.
∠بأجـ = ∠دجـأ و∠بجـأ = ∠دأجـ (تبادل) وأجـ مشترك ⟹ ز.ض.ز ⟹ أب = جـد وبجـ = دأ.
5) هل يكفي تطابق الزوايا الثلاث لإثبات تطابق مثلثين؟
لا؛ قد يختلف حجماهما.
6) Δأبجـ: ∠ب = ∠جـ. إذا كان أد منصّف ∠أ فأثبت أن أد ⊥ بجـ و د منتصف بجـ.
أب = أجـ (زاويتا القاعدة متطابقتان)، ثم Δأبد ≅ Δأجـد بـ ض.ز.ض فيكون بد = جـد و∠أدب = ∠أدجـ = 90°.
7) إذا ∠أ + ∠ب = 110° في مثلث فما ∠جـ؟ وما الذي يلزم لإثبات تطابقه مع مثلث آخر بـ ز.ض.ز؟
ق(∠جـ) = 70°؛ يلزم تطابق زاويتين وضلع بينهما.
الدرس 3-6: تطابق مثلثين قائمي الزاوية
1) اكتب حالة ⊿.و.ض.
إذا تطابق وتر وضلع قائمة في مثلث قائم مع نظيريهما في مثلث قائم آخر فهما متطابقان.
2) Δأبجـ قائم في ب: أجـ = 13 ، أب = 5 وΔسصع قائم في ص: سع = 13 ، سص = 5. هل هما متطابقان؟ وما بجـ؟
نعم (⊿.و.ض)؛ بجـ = صع = √(169 - 25) = 12.
3) أبجـ متطابق الضلعين (أب = أجـ). أد ⊥ بجـ. أثبت بد = جـد.
Δأبد ≅ Δأجـد: قائمتان ، أب = أجـ (وتران) ، أد مشترك ⟹ ⊿.و.ض ⟹ بد = جـد.
4) أبجـد مستطيل: أثبت أن Δأبجـ ≅ Δدجـب.
قائمتان عند ب وجـ ، أجـ = دب (قطرا المستطيل) أو أب = دجـ ، بجـ مشترك ⟹ ⊿.و.ض.
5) ما الحالات التي يمكن استخدامها لإثبات تطابق مثلثين قائمي الزاوية؟
⊿.و.ض ، وكذلك ض.ز.ض ، ز.ض.ز ، ض.ض.ض.
6) Δأبجـ قائم في ب، Δسصع قائم في ص، أب = سص = 6 ، أجـ = سع = 10. أوجد صع.
صع = √(100 - 36) = 8 سم.
7) م نقطة داخل ∠أ على بعدين متساويين من ضلعيه (م هـ ⊥ أب ، م و ⊥ أجـ ، م هـ = م و). أثبت أن أم ينصّف ∠أ.
Δأهـم ≅ Δأوم: قائمتان ، م هـ = م و ، أم وتر مشترك ⟹ ⊿.و.ض ⟹ ∠هـأم = ∠وأم.
الدرس 3-7: حجم المنشور القائم وحجم الأسطوانة الدائرية القائمة
1) أوجد حجم منشور رباعي قائم أبعاده 12 سم و7 سم و5 سم.
12×7×5 = 420 سم³.
2) منشور ثلاثي قائم قاعدته مثلث قاعدته 10 سم وارتفاعه 9 سم، وطول المنشور 15 سم. أوجد حجمه.
(½×10×9)×15 = 675 سم³.
3) أسطوانة نصف قطر قاعدتها 5 سم وارتفاعها 8 سم (π = 3.14).
3.14×25×8 = 628 سم³.
4) أسطوانة قطر قاعدتها 14 سم وارتفاعها 10 سم (π = 227).
نق = 7 ⟹ 227×49×10 = 1540 سم³.
5) مكعب حجمه 125 سم³. ما طول حرفه؟
∛125 = 5 سم.
6) خزان على شكل متوازي مستطيلات: قاعدته مستطيل 4 م × 3 م وارتفاعه 2.5 م. كم لترًا يسع؟ (1 م³ = 1000 لتر)
4×3×2.5 = 30 م³ ⟹ 30000 لتر.
7) أسطوانة حجمها 785 سم³ وارتفاعها 10 سم (π = 3.14). ما نصف قطر قاعدتها؟
785 = 3.14×نق²×10 ⟹ نق² = 785 ÷ 31.4 = 25 ⟹ نق = 5 سم.
الدرس 3-8: حجم المخروط الدائري القائم
1) أوجد حجم مخروط نصف قطر قاعدته 6 سم وارتفاعه 10 سم (π = 3.14).
⅓×3.14×36×10 = 376.8 سم³.
2) مخروط نق = 7 سم وع = 6 سم (π = 227).
⅓×227×49×6 = 308 سم³.
3) أوجد حجم مخروط بدلالة π: قطر قاعدته 10 سم وارتفاعه 9 سم.
نق = 5 ⟹ ⅓×π×25×9 = 75π سم³.
4) أسطوانة حجمها 900 سم³، فما حجم المخروط المشترك معها في القاعدة والارتفاع؟
900 ÷ 3 = 300 سم³.
5) مخروط حجمه 150 سم³، فما حجم الأسطوانة المشتركة معه في القاعدة والارتفاع؟
150 × 3 = 450 سم³.
6) مخروط حجمه 94.2 سم³ وارتفاعه 10 سم (π = 3.14). أوجد مساحة قاعدته ثم نصف قطرها.
94.2 = ⅓×م×10 ⟹ م = 28.26 سم² ⟹ نق² = 28.26 ÷ 3.14 = 9 ⟹ نق = 3 سم.
7) إذا تضاعف ارتفاع مخروط مع بقاء نصف القطر ثابتًا فماذا يحدث لحجمه؟
يتضاعف الحجم لأن ح = ⅓ π نق² ع يتناسب طرديًا مع ع.
٤
النسبة والتناسب – التحويلات الهندسية
الفصل الأول · صفحات 181–216 · أسئلةالدرس 4-1: حل التناسب (طردي – عكسي)
1) حلّ التناسب: 3ن = 1535.
ن = 3×35÷15 = 7.
2) حلّ التناسب: س12 = 34.
س = 12×3÷4 = 9.
3) يقطع قطار 240 كم في 3 ساعات بسرعة ثابتة. كم يقطع في 5 ساعات؟
طردي: 240×5÷3 = 400 كم.
4) 6 عمال ينجزون عملًا في 10 أيام. كم يومًا يحتاج 4 عمال بالكفاءة نفسها؟
عكسي: 6×10÷4 = 15 يومًا.
5) ثمن 4 أقلام 1.2 دينار. ما ثمن 10 أقلام؟
طردي: 1.2×10÷4 = 3 دنانير.
6) حدّد نوع التناسب: (أ) الأجر وعدد ساعات العمل (ب) السرعة والزمن عند ثبات المسافة (ج) عدد العمال والزمن لإنجاز عمل واحد.
(أ) طردي (ب) عكسي (ج) عكسي.
7) حافلة تسير بسرعة 60 كم/س وتقطع المسافة في 4 ساعات. ما الزمن بسرعة 80 كم/س؟
عكسي: 60×4÷80 = 3 ساعات.
الدرس 4-2: استخدام المعادلات لحل مسائل تتضمن نسبًا مئوية
1) أوجد 25% من 80.
0.25×80 = 20.
2) ما النسبة المئوية التي تمثلها 18 من 72؟
18÷72 = 0.25 = 25%.
3) عدد 20% منه 30. ما العدد؟
30×100÷20 = 150.
4) ما العدد الذي يمثل 150% من 40؟
1.5×40 = 60.
5) ما نسبة 45 إلى 60 بالنسبة المئوية؟
45÷60 = 0.75 = 75%.
6) بيع قميص بتخفيض 25% وثمنه بعد التخفيض 45 دينارًا. ما ثمنه الأصلي؟
75% × س = 45 ⟹ س = 60 دينارًا.
7) تناول 63 متعلمًا الإفطار وهم 70% من متعلمي الصف. كم عدد متعلمي الصف؟
63×100÷70 = 90 متعلمًا.
الدرس 4-3: النسبة المئوية التزايدية والنسبة المئوية التناقصية
1) ارتفع سعر سلعة من 40 دينارًا إلى 50 دينارًا. ما النسبة المئوية للزيادة؟
1040 × 100% = 25%.
2) انخفض عدد الطلاب من 80 إلى 60. ما النسبة المئوية للنقصان؟
2080 × 100% = 25%.
3) راتب 200 دينار زاد 10%. ما الراتب الجديد؟
200 + 20 = 220 دينارًا.
4) سعر جهاز 250 دينارًا بخصم 20%. ما سعره بعد الخصم؟
250 - 50 = 200 دينارًا.
5) كان وزن علبة 50 غ فزاد 20%. ما وزنها؟
50 + 10 = 60 غ.
6) خصم 15% على سلعة مقداره 150 دينارًا. ما ثمن السلعة قبل الخصم؟
150×100÷15 = 1000 دينار.
7) أضيف 5% رسوم خدمة إلى فاتورة 80 دينارًا. ما المجموع؟
80 + 4 = 84 دينارًا.
الدرس 4-4: الانعكاس – التناظر حول نقطة
1) أوجد صورة النقطة (5، -3) بالانعكاس في (أ) محور السينات (ب) محور الصادات (ج) نقطة الأصل.
(أ) (5، 3) (ب) (-5، -3) (ج) (-5، 3).
2) أوجد صورة النقطة (-2، 7) بالانعكاس في (أ) محور السينات (ب) محور الصادات (ج) نقطة الأصل.
(أ) (-2، -7) (ب) (2، 7) (ج) (2، -7).
3) ما النقطة الصامدة في الانعكاس في محور الصادات؟ في الانعكاس في نقطة م؟
كل نقطة على محور الصادات؛ والنقطة الصامدة الوحيدة في الانعكاس في نقطة هي مركز الانعكاس م.
4) ما صورة (0، 6) بالانعكاس في محور الصادات؟ ولماذا؟
(0، 6)؛ لأنها على محور الصادات فهي صامدة.
5) أيّ الأشكال متناظر حول نقطة ملتقى قطريه: مربع، معين، طائرة ورقية، مستطيل؟
المربع والمعين والمستطيل نعم؛ الطائرة الورقية لا.
6) بالانعكاس في نقطة الأصل، ل(0، 2): ما ل′؟ وإذا كانت صورة نقطة (-3، -4) فما النقطة الأصلية؟
ل′(0، -2) · الأصلية (3، 4).
7) اذكر ثلاث خواص يحافظ عليها الانعكاس في محور، وخاصية لا يحافظ عليها.
يحافظ على الأطوال وقياس الزوايا والتوازي (والاستقامة والبينية)، ولا يحافظ على الاتجاه الدوراني فيعكسه.
8) أوجد أ′ ب′ جـ′ صور أ(1، 2) ، ب(3، -1) ، جـ(-2، 4) بالانعكاس في محور السينات.
أ′(1، -2) ، ب′(3، 1) ، جـ′(-2، -4).
الدرس 4-5: الإزاحة في المستوى الإحداثي
1) أوجد صورة (3، -2) بإزاحة (س + 4، ص + 5).
(7، 3).
2) أوجد صورة (-1، 6) بإزاحة وحدتين يسارًا و3 وحدات لأعلى.
(س - 2، ص + 3) ⟹ (-3، 9).
3) إزاحة ينقل (4، 1) إلى (-1، 5). اكتب القاعدة.
-1 - 4 = -5 و5 - 1 = 4 ⟹ (س - 5، ص + 4).
4) هل تغيّر الإزاحة أطوال الشكل أو قياسات زواياه؟
لا؛ الإزاحة تحافظ على الأطوال وقياس الزوايا.
5) اكتب قاعدة إزاحة 7 وحدات يمينًا ووحدتين لأسفل.
(س + 7، ص - 2).
6) صورة النقطة أ تحت الإزاحة (س - 3، ص + 1) هي (0، 5). أوجد أ.
س = 0 + 3 = 3 ص = 5 - 1 = 4 ⟹ أ(3، 4).
7) أوجد صورة المثلث أ(0، 0) ، ب(2، 0) ، جـ(1، 3) بإزاحة (س + 1، ص - 2).
أ′(1، -2) ، ب′(3، -2) ، جـ′(2، 1).
✎
اختبر نفسك
اختر الإجابة وسيظهر الصواب فورًاالنتيجة: 0 / 0