اضغط «إظهار الإجابة» تحت كل سؤال للتحقق من إجابتك، ثم جرّب «اختبر نفسك» في النهاية.
٠
مدخل الوحدة الأولى: الحركة · ومدخل الفصل الأول: الطاقة
صفحات 12–13فصول الوحدة وأهدافها
ما فصول الوحدة الأولى (الحركة)؟
إظهار الإجابة
١) الفصل الأول: الطاقة · ٢) الفصل الثاني: ميكانيكا الدوران · ٣) الفصل الثالث: كمية الحركة الخطية.
عدّد أهداف الوحدة الأولى.
إظهار الإجابة
١) يعرّف مفهوم الشغل · ٢) يستنتج العلاقة بين الشغل والطاقة · ٣) يعرّف قانون حفظ (بقاء) الطاقة الميكانيكية · ٤) يطبّق قوانين نيوتن الثلاثة في الحركة الدورانية · ٥) يعرّف كمية الحركة الخطية ودورها في تغيير حركة الأجسام · ٦) يعرّف كمية الحركة الدورانية ودورها في تغيير حركة الأجسام.
اذكر معالم الوحدة.
إظهار الإجابة
الفيزياء والتكنولوجيا: الدفع ووسائل الأمان · الفيزياء في المختبر: تطبيق عزم الدوران على مكوك الخيط · الفيزياء في المختبر: أرجح قلمك · الفيزياء والتكنولوجيا: الطائرة المروحية · الربط بعلم الفلك: المجرات الحلزونية.
ما الذي تتناوله الوحدة الأولى؟
إظهار الإجابة
تتناول الحركة وأسبابها من منظور آخر يرتكز على الطاقة ودورها في تحريك الأجسام وإنجاز الشغل، ومفهوم كمية الحركة وتأثيره في تغيير الحركة الخطية والدورانية، وفي نهايتها ديناميكا الدوران ومسبباتها من خلال قوانين نيوتن الثلاثة في الحركة الدورانية. (حركة الكرة حركة مركّبة من حركة خطية وأخرى دورانية.)
اكتشف بنفسك: طاقة الرياح والحركة الدورانية
(١) اذكر نوعين من تحولات الطاقة أُشير إليهما في النص.
إظهار الإجابة
١) طاقة الرياح ← طاقة حركية دورانية (طحن الحبوب ورفع المياه) · ٢) طاقة الرياح ← طاقة كهربائية في التوربينات الهوائية.
(٢) احسب كمية الطاقة الكهربائية التي ينتجها التوربين في ثانية واحدة.
إظهار الإجابة
E = 30% × 144000 = 0.3 × 144000 = 43200 J.
(٣) عندما تنخفض سرعة الرياح لا يستطيع التوربين تقديم الطاقة الكهربائية اللازمة. اشرح السبب.
إظهار الإجابة
لأن الطاقة التي يتلقاها التوربين من الرياح تقل بانخفاض سرعتها، فتقل الطاقة المتحولة (30% منها) إلى طاقة كهربائية.
(٤) استنتج بعضًا من سلبيات طاقة الرياح وإيجابياتها.
إظهار الإجابة
إيجابيات: مصدر بديل للطاقة يُحوَّل إلى كهرباء لتلبية الحاجات المتزايدة · سلبيات: تعتمد على سرعة الرياح فتنخفض عند ضعفها، ولا يتحوّل منها إلى كهرباء إلا جزء (30%).
مدخل الفصل الأول: الطاقة
ما دروس الفصل الأول؟
إظهار الإجابة
١) الشغل · ٢) الشغل والطاقة · ٣) حفظ (بقاء) الطاقة.
كيف تنوعت مصادر الطاقة مع تطور الإنسان؟
إظهار الإجابة
استخدم الإنسان الخشب والفحم الحجري والبترول في توليد الطاقة، ثم تقدّم في بحثه لاكتشاف طاقات بديلة وتعلّم تحويل الطاقة من شكل إلى آخر، فأصبحنا نستخدم الطاقة الشمسية والنووية وطاقة الرياح لتلبية حاجاتنا المتزايدة من الطاقة الكهربائية والميكانيكية.
لماذا تُعدّ الطاقة الميكانيكية من أهم أشكال الطاقة؟
إظهار الإجابة
لأنها المساهم الأول في التقدم التكنولوجي الذي شهدته آلات كثيرة ومحركات ومصانع في كافة المجالات.
١
الدرس 1-1: الشغل (Work)
الفصل الأول: الطاقة · صفحات 14–22الأهداف العامة والمدخل
ما أهداف درس الشغل؟
إظهار الإجابة
١) يعرّف مفهوم الشغل · ٢) يعرّف الجول · ٣) يميّز بين الشغل الناتج عن قوة ثابتة والشغل الناتج عن قوة متغيرة · ٤) يحسب مقدار الشغل الناتج عن قوة ثابتة · ٥) يحسب مقدار الشغل الناتج عن قوة متغيرة.
هل يبذل العامل شغلًا عندما يحاول دفع صندوق (شكل 1) من دون أن يتمكن من تحريكه؟ ولماذا؟
إظهار الإجابة
لا يبذل شغلًا من وجهة نظر الفيزيائيين رغم أنه يجهد نفسه؛ لأن الصندوق لم يتحرك. فالشغل ليس الجهد والتعب وبذل القوة كما يعتقد الكثيرون.
هل تبذل شغلًا وأنت واقف تحمل حقيبتك الثقيلة على جانب الطريق؟
إظهار الإجابة
لا؛ مع أنك تبذل قوة لتبقيها مرفوعة وقد تشعر بالتعب، لكنك من وجهة نظر الفيزيائيين لم تبذل شغلًا.
ما المعنى الشائع لمفهوم الشغل في الحياة اليومية؟
إظهار الإجابة
القيام بعمل بجهد جسدي أو فكري، وهو يختلف عن المفهوم الفيزيائي.
من هو جيمس جول، وما أثره؟ (شكل 2)
إظهار الإجابة
جيمس جول (24 ديسمبر 1818 – 11 أكتوبر 1889) كان له أثر بارز في تطور مفهوم الطاقة، وأثبت التكافؤ بين أشكال الطاقة المختلفة (الميكانيكية والكهربائية والحرارية)، وأنه يمكن تحويلها من شكل إلى آخر.
1. تعريف الشغل
ما وحدة قياس الشغل في النظام الدولي؟ وما رمزها؟
إظهار الإجابة
الجول (Joule) ويرمز لها بـ (J).
لو تمكّن العامل من إزاحة الصندوق ببذل قوة أكبر، فهل بذل شغلًا؟
إظهار الإجابة
نعم، يكون من وجهة نظر الفيزيائيين قد بذل شغلًا.
ما الحالتان اللتان يدفعنا اختلاف أنواع القوى إلى دراستهما؟ ولماذا؟
إظهار الإجابة
١) الشغل الناتج عن قوة منتظمة (ثابتة المقدار والاتجاه) · ٢) الشغل الناتج عن قوة متغيرة؛ لأن هناك اختلافًا كبيرًا في حساب مقدار كلٍّ منهما.
1.2 قوة منتظمة موازية لاتجاه الحركة
ما الشغل الناتج عن قوة منتظمة F موازية للسطح تحرّك صندوقًا من A إلى B مسافة d (شكل 3)؟
إظهار الإجابة
الشغل W يساوي حاصل الضرب العددي لمتجه القوة المؤثرة على الجسم ومتجه الإزاحة: W = F⃗ · d⃗ ، حيث F بوحدة (N) والإزاحة d بوحدة (m) والشغل W بوحدة (J).
2.2 قوة منتظمة تصنع زاوية مع اتجاه الحركة
كيف يُحسب الشغل إذا كانت القوة F تصنع زاوية θ مع اتجاه الحركة (شكل 4)؟
إظهار الإجابة
نحلّل القوة إلى مركبتين: أفقية في اتجاه الحركة F cos θ، وعمودية F sin θ لا تسبب إزاحة في اتجاه الحركة؛ فيكون الشغل ناتجًا عن المركبة الموازية فقط: W = F⃗ · d⃗ = F × d × cos θ ، حيث θ الزاوية بين اتجاه القوة واتجاه الحركة.
علّل: المركبة العمودية F sin θ لا تبذل شغلًا.
إظهار الإجابة
لأنها عمودية على اتجاه الحركة فلا تسبّب أي إزاحة في اتجاهها.
3.2 الشغل كمية موجبة أو سالبة
لماذا لا تبذل شغلًا عندما ترفع حقيبتك بقوة إلى أعلى وتتحرك أفقيًا؟
إظهار الإجابة
لأن القوة عمودية على اتجاه الحركة، θ = 90° فإن cos θ = 0 وبالتالي W = 0.
4.2 محصّلة الشغل لمجموعة من القوى المنتظمة
كيف يُحسب الشغل إذا أثّرت على الجسم مجموعة من القوى المنتظمة؟
إظهار الإجابة
نوجد محصّلة القوى المؤثرة؛ فالشغل الكلي = الضرب العددي لمتجه المحصلة والإزاحة: WNet = F⃗Net · d⃗ = FNet × d cos θ.
ماذا تعني إشارة الشغل الكلي؟
إظهار الإجابة
تأثير الشغل الكلي هو تغيير سرعة الجسم: الإشارة الموجبة تعني زيادة في سرعته، والسالبة تعني انخفاضًا (نقصًا) فيها.
مثال (1): الكرة الساقطة من النافذة
(أ) ما الشغل المبذول على الكرة نتيجة قوة إمساك الولد لها؟
إظهار الإجابة
صفر؛ لأن الإزاحة تساوي صفرًا.
(ب) ما الشغل الناتج عن الجاذبية إذا سقطت الكرة 3m؟
إظهار الإجابة
F = mg = 1.5 × 10 = 15N باتجاه الإزاحة ← W = 15 × 3 × cos 0 = 45J.
(ج) ما الشغل الناتج عن قوة الاحتكاك خلال سقوط 3m؟
إظهار الإجابة
الاحتكاك معاكس للحركة: W = 1 × 3 × cos 180 = 1 × 3 × (−1) = −3J.
(د) احسب الشغل الكلي على الكرة.
إظهار الإجابة
FNet = 15 − 1 = 14N باتجاه السقوط ← WNet = 14 × 3 × cos 0 = 42J · ويساوي مجموع الأشغال: 45 − 3 = 42J. والنتيجة مقبولة: الشغل يتناسب مع الكتلة والإزاحة، موجب عندما تكون القوة باتجاه الإزاحة وسالب عندما تعاكسها.
5.2 الشغل الناتج عن قوة منتظمة على مسار منحنٍ
كيف يُحسب شغل قوة منتظمة F تحرّك نقطة تأثيرها على مسار منحنٍ من A إلى B (شكل 8)؟
إظهار الإجابة
نقسّم المسار إلى إزاحات صغيرة ΔL، ولكلٍّ منها ΔW = F⃗ · ΔL⃗، والشغل الكلي W = ΔW₁ + ΔW₂ + … + ΔWₙ = F⃗ · ΔL⃗₁ + … + F⃗ · ΔL⃗ₙ = F⃗ · AB⃗.
استنتج الشغل الناتج عن وزن جسم ينتقل من ارتفاع hA إلى hB (شكل 9).
إظهار الإجابة
Ww = W⃗ · d⃗ = mg · d · cos θ ، ولكن d cos θ = hA − hB ، فيكون W = mg (hA − hB). أي أن الشغل الناتج عن الوزن لا يرتبط بالمسار بل بمقدار الإزاحة الرأسية بين النقطتين.
مثال (2): صندوق على مستوى مائل
احسب الشغل الناتج عن وزن الصندوق.
إظهار الإجابة
لا يرتبط بالمسار بل بالارتفاع: h = d sin 30 = 0.5 × ½ = 0.25m ← W = m g h = 0.1 × 10 × 0.25 = 0.25J ، موجب لأن الصندوق يتحرك إلى أسفل.
كيف يمكن التحقق من النتيجة بطريقة أخرى؟
إظهار الإجابة
نحلّل الوزن إلى مركبتين: موازية للسطح Wt = mg sin 30 ، وعمودية Wn = mg cos 30. شغل المركبة العمودية صفر لأنها عمودية على الإزاحة، فالشغل = mg sin 30 × AB = 0.1 × 10 × 0.5 × 0.5 = 0.25J ، وهذا يتوافق مع النتيجة السابقة.
3. الشغل الناتج عن قوة متغيرة
اذكر مثالًا على القوى المتغيرة، واكتب علاقتها.
إظهار الإجابة
قوة الشد على الزنبرك وفق قانون هوك: F⃗ = k Δx⃗ ، حيث k ثابت هوك بوحدة N/m ، و Δx استطالة أو انضغاط الزنبرك بوحدة m.
كيف يُحسب الشغل الناتج عن قوة متغيرة؟
إظهار الإجابة
يُمثَّل بالمساحة تحت المنحنى (F–x). نأخذ إزاحة صغيرة Δx تكون فيها القوة منتظمة تقريبًا: ΔW = Fₓ Δx ، ثم نجمع الأجزاء (شكل 13): W = Σ Fₓ Δx.
استنتج الشغل الناتج عن قوة الزنبرك F = kΔx.
إظهار الإجابة
نرسم F بدلالة الاستطالة x (شكل 14)؛ الشغل = مساحة المثلث تحت المنحنى = ½ × القاعدة × الارتفاع: W = ½ (kΔx)(Δx) = ½ k (Δx)².
مثال (3): كتلة معلقة بزنبرك
عُلّقت كتلة 0.15kg بزنبرك رأسي فاستطال 4.6cm (شكل 15). احسب الشغل المبذول لاستطالة الزنبرك.
إظهار الإجابة
في وضع الاتزان الوزن = قوة الشد: mg = kΔx ← k = 0.15 × 10 / 0.046 = 32.6N/m ← W = ½ kΔx² = ½ (32.6)(0.046)² = 0.034J. والنتيجة مقبولة لأن الشغل يتناسب مع الإزاحة الصغيرة والقوة المؤثرة.
مسألتان مع إجابات
(١) قوتان تعملان على صندوق خشبي على سطح أفقي أملس فينزلق 2.5m بالاتجاه الموجب: F₁ = 10N تصنع 30° مع الأفقي، و F₂ = 7N تصنع 150°. احسب شغل كلٍّ منهما وحدّد إن كان مساعدًا أو مقاومًا.
إظهار الإجابة
W₁ = 21.65J شغل مساعد على الحركة · W₂ = −15J شغل مقاوم.
(٢) يدفع شخص عربة حديقة بقوة 45N تصنع 40° مع الأفقي. احسب الشغل إذا دفع العربة 15m.
إظهار الإجابة
W = 517J.
الأنشطة والتقويم (مراجعة الدرس 1-1)
أولًا: عندما تقف وأنت تحمل حقيبة التخييم على ظهرك، ما مقدار الشغل الناتج عن قوة الحمل؟ فسّر.
إظهار الإجابة
صفر؛ لأن الحقيبة لا تتحرك (الإزاحة صفر)، كما أن قوة الحمل رأسية.
ثانيًا: احسب الشغل الذي يجب بذله على حجر وزنه 100N لرفعه 1m عن سطح الأرض.
إظهار الإجابة
W = F d = 100 × 1 = 100J.
ثالثًا: زنبرك ثابت مرونته 40N/m. ما الشغل اللازم لجعله يستطيل 2cm؟
إظهار الإجابة
W = ½ kΔx² = ½ × 40 × (0.02)² = 0.008J.
رابعًا: إذا كان الشغل اللازم لاستطالة زنبرك 8cm يساوي 400J، احسب ثابت مرونته.
إظهار الإجابة
k = 2W/Δx² = 2 × 400 / (0.08)² = 125000N/m.
خامسًا: ضُغط زنبرك (k = 100N/m) 2cm ثم 6cm إضافية. ما الشغل الإضافي في المرحلة الثانية مقارنة بالأولى؟
إظهار الإجابة
الأولى: ½ × 100 × (0.02)² = 0.02J · حتى 8cm: ½ × 100 × (0.08)² = 0.32J · الإضافي = 0.32 − 0.02 = 0.30J ، أي 15 ضعف شغل المرحلة الأولى.
سادسًا: احسب الشغل الناتج عن القوة المتغيرة وفق الرسم البياني (شكل 16): تزداد القوة من 0 إلى 3N حتى x = 2m ثم تتناقص خطيًا لتصبح −3N عند x = 6m.
إظهار الإجابة
المساحة فوق المحور (0 إلى 4m) = ½ × 4 × 3 = 6J · المساحة تحت المحور (4 إلى 6m) = −½ × 2 × 3 = −3J · الشغل الكلي = 6 − 3 = 3J.
٢
الدرس 1-2: الشغل والطاقة (Work and Energy)
الفصل الأول: الطاقة · صفحات 23–33الأهداف العامة والمدخل
ما أهداف درس الشغل والطاقة؟
إظهار الإجابة
١) يعدّد أنواعًا مختلفة من الطاقة · ٢) يعرّف الطاقة · ٣) يعرّف الطاقة الحركية · ٤) يستنتج العلاقة بين الشغل والطاقة الحركية · ٥) يستخدم قانون الشغل والطاقة في حل مسائل · ٦) يعرّف الطاقة الكامنة · ٧) يعرّف طاقة الوضع · ٨) يستنتج العلاقة بين الشغل الناتج عن الوزن وتغيّر طاقة الوضع · ٩) يعرّف الطاقة الميكانيكية.
كيف تطور استخدام الإنسان لمصادر الطاقة؟
إظهار الإجابة
استخدم طاقة الحيوانات بأنشطته الزراعية وللتنقل، وطاقة النار في الطهو والإنارة، وطاقة المياه والرياح في تشغيل المطاحن، ثم اكتشف مع تطور العلم أنواعًا جديدة كالطاقة الكيميائية والكهربائية والميكانيكية حتى توصّل في يومنا هذا إلى اكتشاف الطاقة النووية واستخدامها (شكل 17).
لماذا يتناول الدرس الطاقة الميكانيكية؟
إظهار الإجابة
لأنها كمية يمتلكها الجسم أو النظام، ولأنها أكثر أنواع الطاقة ارتباطًا بالشغل؛ فنتذكر الطاقة الحركية لنفسّر نتيجة الشغل المبذول في حركة الجسم والتغير في طاقته، ونتعرف الطاقة الكامنة كجزء آخر من الطاقة الميكانيكية.
1. تعريف الطاقة
عند دفعك صندوقًا لإزاحته، من أين تأتي الطاقة وإلى أين تنتقل؟
إظهار الإجابة
تعطي الصندوق جزءًا من طاقتك الكيميائية التي اكتسبتها من الطعام وحوّلتها إلى طاقة حركية، أي تنتقل الطاقة منك إلى الصندوق من أجل القيام بشغل.
علّل: الكرة المقذوفة بسرعة أفقية كبيرة تقطع مسافة أكبر قبل أن تتوقف من كرة مماثلة قُذفت بسرعة أقل.
إظهار الإجابة
لأن مقدار الشغل المنجز يتوقف على مقدار الطاقة التي يصرفها الجسم، والكرة الأولى تمتلك طاقة حركية أكبر.
علّل: المطرقة الساقطة من مكان مرتفع تغرز المسمار أكثر من سقوطها من مكان أقل ارتفاعًا.
إظهار الإجابة
لأنها تمتلك في الحالة الأولى طاقة أكبر، فتنجز شغلًا أكبر.
2. الطاقة الحركية (Kinetic Energy)
علامَ تتوقف الطاقة الحركية لجسم يتحرك على مسار مستقيم؟
إظهار الإجابة
على كتلة الجسم ومقدار سرعته الخطية؛ وكلما تحرك الجسم بسرعة أكبر امتلك طاقة حركية أكبر.
ما الطاقة الحركية لنظام مؤلف من أكثر من جسم مصمت؟
إظهار الإجابة
تساوي مجموع الطاقات الحركية لكل الأجسام المصمتة المكوّنة له.
استنتج الطاقة الحركية لجسم صلب يدور حول محور.
إظهار الإجابة
جميع نقاطه تمتلك السرعة الدورانية نفسها ω، وسرعة أي نقطة كتلتها m على بعد r من المحور v = rω ، فيكون KE = ½Σmv² = ½Σm(rω)² = ½ω²(Σmr²). والكمية (Σmr²) تمثل القصور الذاتي الدوراني I ، إذن KE = ½ I ω².
علامَ يعتمد القصور الذاتي الدوراني لجسم ما؟
إظهار الإجابة
يختلف باختلاف شكل الجسم ومحور دورانه (يُدرس تفصيليًا في الدرس الثاني من الفصل الثاني).
مسألة: استخدم الجدول (1) لإيجاد الطاقة الحركية الدورانية لعصا كتلتها 500g وطولها 50cm تدور حول محور يمر في الوسط بسرعة 10rad/s.
إظهار الإجابة
الإجابة: 0.52J.
3. العلاقة بين الطاقة الحركية والشغل
استنتج قانون الطاقة الحركية باستخدام قرص على طاولة هوائية تؤثر فيه قوة منتظمة F (شكل 21).
إظهار الإجابة
القوة منتظمة فحركة القرص منتظمة العجلة (قانون نيوتن الثاني)، فتتغير سرعته من vᵢ إلى v_f خلال إزاحة Δx: W = ΣF · Δx = m a Δx ، ومن معادلة الحركة v_f² − vᵢ² = 2aΔx ⇐ aΔx = (v_f² − vᵢ²)/2 ، فيكون W = ½ m v_f² − ½ m vᵢ² أي W = ΔKE.
مثال (1): سرعة كرة ساقطة
استخدم قانون الطاقة الحركية لإيجاد سرعة كرة سقطت من سكون من ارتفاع 50cm لحظة ارتطامها بالأرض (أهمل الاحتكاك، g = 10m/s²).
إظهار الإجابة
القوة الوحيدة هي الوزن: mgh = ½mv_f² − ½mvᵢ² ⇐ v_f² = 2gh ⇐ v_f = √(0.5 × 10 × 2) = 3.162m/s ، وهي قيمة مقبولة عمليًا.
مسألتان مع إجابات
(١) انزلق جسم من سكون من A على مستوى أملس يميل 30° ليصل إلى B حيث AB = 2m. احسب سرعته عند B باستخدام قانون الطاقة الحركية (g = 10m/s²).
إظهار الإجابة
v_B = 4.47m/s.
(٢) قُذف جسم كتلته 200g رأسيًا إلى أعلى بسرعة v_A = 20m/s ليصل في غياب الاحتكاك إلى أقصى ارتفاع B. احسب: (أ) الطاقة الحركية عند A (ب) الطاقة الحركية عند B (ج) المسافة التي قطعها.
إظهار الإجابة
(أ) 40J · (ب) 0J · (ج) 20m.
4. الطاقة الكامنة (Potential Energy)
اذكر أمثلة على الطاقة الكامنة.
إظهار الإجابة
١) طاقة كامنة داخل المركبات الكيميائية: في الفحم الحجري والبطاريات الكهربائية والغذاء · ٢) طاقة كامنة تثاقلية مرتبطة بموقع الجسم بالنسبة إلى سطح مرجعي · ٣) طاقة كامنة مرنة تسمح للجسم المرن بالعودة إلى وضع مستقر بعد أن يتخلص من طاقة أكسبته وضعًا جديدًا (انكماش أو استطالة).
1.4 الطاقة الكامنة المرنة
ما الطاقة الكامنة المرنة في زنبرك مشدود مسافة Δx (شكل 22)؟
إظهار الإجابة
الشغل المبذول عليه W = ½kΔx² يُختزن على شكل طاقة كامنة مرنة تجعله يعود لوضعه الأصلي عند إفلاته: PEe = ½ k Δx².
ما الطاقة الكامنة المرنة المختزنة في خيط مطاطي عند ليّ جسم مثبت به بزاوية Δθ (شكل 23)؟
إظهار الإجابة
PEe = ½ C Δθ² ، حيث C ثابت مرونة الجسم المرن ويعتمد على طول الخيط وسماكته وخصائصه الميكانيكية، ويُقاس بوحدة N.m/rad².
2.4 الطاقة الكامنة (الوضع) التثاقلية
متى يكتسب الجسم طاقة كامنة تثاقلية؟ واذكر مثالًا.
إظهار الإجابة
إذا رُفع إلى ارتفاع h عن سطح الأرض فيستطيع بذل شغل إذا سُمح له بالسقوط. ومن أشهر الأمثلة الشلالات؛ فالمياه في أعلاها تمتلك طاقة كامنة تمكّنها من بذل شغل أثناء هبوطها.
ما المستوى المرجعي؟ وهل تحديده إلزامي؟
إظهار الإجابة
هو المستوى الذي نبدأ منه قياس الطاقة الكامنة وتساوي الطاقة الكامنة عنده صفرًا لأي جسم (عادةً سطح الأرض h = 0). وتحديده اختياري بحت؛ ففي مختبر المدرسة يمكن اعتبار أرضية المختبر هي المستوى المرجعي ولو كان في الطبقة الثانية.
ماذا تستنتج من الشكل (24) لحجر وزنه 100N رُفع 2m بثلاث طرق؟
إظهار الإجابة
(a) رفعه مرة واحدة بقوة 100N · (b) بقوة 50N على سطح مائل طوله 4m · (c) بقوة 100N على درجات سلّم ارتفاع كل منها 0.5m؛ وفي كل الحالات الطاقة الكامنة = 200J. فالطاقة الكامنة التثاقلية لا ترتبط بكيفية الوصول إلى الارتفاع، بل بالمسافة الرأسية بين المكان والمستوى المرجعي.
مثال (2): الطاقة الكامنة بالنسبة لمستويات مرجعية
كرة 0.1kg على المستوى الأفقي المار بـ B (شكل 25). احسب طاقتها الكامنة بالنسبة للمستوى B إذا كانت: (أ) عند مستوى A أعلى من B بـ 40cm (ب) عند B (ج) عند مستوى C أسفل B بـ 50cm.
إظهار الإجابة
(أ) PE = +0.1 × 10 × 0.4 = +0.4J (موجبة لأنها أعلى المرجع) · (ب) h = 0 ⇐ PE = 0J · (ج) PE = −0.1 × 10 × 0.5 = −0.5J (سالبة لأنها أسفل المرجع). فالطاقة الكامنة التثاقلية قد تكون موجبة أو سالبة بحسب موضع الجسم بالنسبة إلى المستوى المرجعي.
مثال (3): رفع كتلة من A إلى B
رُفعت كتلة 5kg رأسيًا من A (2m) إلى B (12m) (شكل 26)، g = 10m/s². احسب: (أ) شغل الوزن (ب) ΔPE (ج) قارن بينهما.
إظهار الإجابة
(أ) W = mgh cos 180 = 5 × 10 × 10 × (−1) = −500J · (ب) ΔPE = mg(hf − hi) = 5 × 10 × (12 − 2) = +500J · (ج) ΔPE = −W ، والنتيجة مقبولة لأنها تؤكد ما سبق.
الأنشطة والتقويم (مراجعة الدرس 1-2)
أولًا: اذكر قانون الطاقة الحركية.
إظهار الإجابة
الشغل الناتج عن محصلة القوى الخارجية المؤثرة في الجسم في فترة زمنية محددة يساوي التغير في طاقته الحركية في الفترة نفسها: W = ΔKE = ½mv_f² − ½mvᵢ².
ثانيًا: احسب الطاقة الحركية لسيارة كتلتها 1500kg تتحرك بسرعة 72km/h.
إظهار الإجابة
v = 72 ÷ 3.6 = 20m/s ⇐ KE = ½ × 1500 × 20² = 300000J.
ثالثًا: احسب الطاقة الكامنة التثاقلية لكرة 100g على ارتفاع 80cm (g = 10N/kg).
إظهار الإجابة
PE = mgh = 0.1 × 10 × 0.8 = 0.8J.
رابعًا: تفاحة 150g على غصن ارتفاعه 3m (الأرض مرجع). احسب: (أ) KE على الغصن (ب) PE على الغصن (ج) سرعتها بعد سقوط 2m (د) طاقتها الميكانيكية على بعد 2m أسفل موضعها (هـ) KE لحظة اصطدامها بالأرض.
إظهار الإجابة
(أ) KE = 0 (ساكنة) · (ب) PE = 0.15 × 10 × 3 = 4.5J · (ج) mgh = ½mv² ⇐ v = √(2 × 10 × 2) = √40 ≈ 6.32m/s · (د) KE = 0.15 × 10 × 2 = 3J و PE = 0.15 × 10 × 1 = 1.5J ⇐ ME = 4.5J · (هـ) KE = mgh = 4.5J.
خامسًا: كتلة 5kg مربوطة بخيط يمر على بكرة كتلتها 2kg ونصف قطرها 25cm تدور بلا احتكاك (شكل 27)، أُفلتت من ارتفاع 1.5m من سكون. I = ½mr². (أ) اكتب معادلة الطاقة الحركية للنظام عند زمن t (ب) اكتب معادلة شغل الوزن (ج) ما شغل وزن البكرة؟ (د) احسب سرعة الجسم لحظة ارتطامه بالأرض.
إظهار الإجابة
(أ) KE = ½ m v² + ½ I ω² ، ومع v = rω و I = ½Mr²: KE = ½(5)v² + ½(½ × 2)v² = 3v² · (ب) W = m g h (للجسم الساقط) · (ج) صفر؛ لأن مركز البكرة على المحور لا يتحرك · (د) W = ΔKE: 5 × 10 × 1.5 = 75 = 3v² ⇐ v = 5m/s.
سادسًا: إطار درّاجة I = 20kg.m² يدور بسرعة 20rad/s ثم انخفضت إلى 10rad/s بسبب الاحتكاك. احسب: (أ) KE الدورانية الابتدائية (ب) التغير فيها (ج) شغل قوة الاحتكاك.
إظهار الإجابة
(أ) KE = ½ × 20 × 20² = 4000J · (ب) KEf = ½ × 20 × 10² = 1000J ⇐ ΔKE = −3000J · (ج) W = ΔKE = −3000J.
٣
الدرس 1-3: حفظ (بقاء) الطاقة (Conservation of Energy)
الفصل الأول: الطاقة · صفحات 34–43الأهداف العامة والمدخل
ما أهداف درس حفظ الطاقة؟
إظهار الإجابة
١) يعرّف الطاقة الميكانيكية الماكروسكوبية · ٢) يعرّف الطاقة الداخلية للنظام · ٣) يعرّف مفهوم الطاقة الكلية · ٤) يعرّف قانون حفظ (بقاء) الطاقة الكلية في الأنظمة المعزولة · ٥) يستنتج قانون حفظ الطاقة الميكانيكية في الأنظمة المعزولة · ٦) يستنتج شغل قوى الاحتكاك في غياب حفظ الطاقة الميكانيكية في الأنظمة المغلقة.
إلى أي قسمين تنقسم الطاقة الميكانيكية في هذا الدرس؟
إظهار الإجابة
طاقة ميكانيكية ماكروسكوبية، وطاقة ميكانيكية ميكروسكوبية. ونتعرف مبدأ حفظ الطاقة وتحولها من شكل إلى آخر دون أن تتولد أو تفقد (شكل 28: توليد الكهرباء باستخدام سقوط المياه من السدود).
1. الطاقة الميكانيكية الماكروسكوبية
ما الفرق بين الجسم الماكروسكوبي والأجسام الميكروسكوبية؟
إظهار الإجابة
الماكروسكوبي: يملك أبعادًا يمكن قياسها ورؤيتها بالعين · الميكروسكوبية: أجسام صغيرة جدًا لا تُرى بالعين المجردة. وكل الأجسام التي تناولناها سابقًا ماكروسكوبية.
2. الطاقة الميكانيكية الميكروسكوبية (الطاقة الداخلية U)
هل يختزن كوب الماء الموضوع على الطاولة طاقة (شكل 29)؟
إظهار الإجابة
نعم؛ تتألف الأجسام الصلبة والسائلة والغازية من جزيئات تتحرك عشوائيًا وبشكل دائم، وتزداد سرعتها بارتفاع درجة حرارة الجسم، فتمتلك طاقة حركية ميكروسكوبية، كما أن قوى التجاذب بين الجزيئات ترتبط بطاقة الوضع.
ما الطاقة الكامنة الميكروسكوبية؟
إظهار الإجابة
الطاقة التي تتبادلها جسيمات النظام وتؤدي إلى تغيير حالته بتغيير طاقة الربط بين أجزائه، وتنتج عن مختلف التأثيرات بين جسيمات النظام. (تتغير الروابط بين الجزيئات إذا تغيرت حالة المادة كانصهار الجليد.)
علّل: نستخدم مصطلح الطاقة الداخلية U بدلًا من MEmicro.
إظهار الإجابة
منعًا للالتباس (الخلط) بين ميكرو وماكرو.
3. حفظ (بقاء) الطاقة الكلية
من أول من تناول حفظ الطاقة الكلية؟ وماذا قال؟
إظهار الإجابة
العالم الألماني هرمان فون هلمهولتز (شكل 30) قال إن الطبيعة تحتوي على مصادر طاقة لا يمكن بأي طريقة أن تزيد أو تنقص. وكتب عالم الرياضيات الفرنسي بوانكاريه في أوائل القرن التاسع عشر أن هناك شيئًا ثابتًا لا يتغير هو الطاقة.
من هو هلمهولتز؟
إظهار الإجابة
هرمان فون هلمهولتز (1821 – 1894) طبيب وفيزيائي ألماني حقق إنجازات هامة في مجال الفيزياء وفي مواضيع مختلفة منها حفظ الطاقة، الديناميكا المائية، الديناميكا الكهربائية، ووضع نظريات في الكهرباء، وكانت له إسهامات مهمة في البصريات والأرصاد الجوية.
ماذا يحدث للطاقة الكلية في الأنظمة المعزولة المغلقة؟
إظهار الإجابة
لا تتبادل طاقة مع محيطها فتكون الطاقة الكلية محفوظة، وتحدث فقط تحولات للطاقة من شكل إلى آخر.
وضّح حفظ الطاقة في لعبة السيارة (شكل 31).
إظهار الإجابة
الطاقة الكامنة المرنة (10J) تحوّل جزء منها إلى طاقة حركية (8J) والباقي إلى طاقة حرارية (2J) بسبب الاحتكاك؛ فلا فقدان للطاقة والطاقة الكلية للنظام (الأرض والسيارة والهواء) لم تتغير.
فسّر هبوط المظلي بسرعة حدّية ثابتة (شكل 32).
إظهار الإجابة
في النظام (المظلي والأرض والهواء) يصل المظلي إلى سرعة حدية ثابتة فلا تتغير طاقته الحركية (ΔKE = 0)، بينما تتناقص الطاقة الكامنة التثاقلية فتتناقص الطاقة الميكانيكية، ويتحول الجزء المفقود إلى طاقة حرارية تؤدي لارتفاع درجة حرارة المظلة والهواء المحيط؛ فالطاقة الكلية محفوظة لا تفنى ولا تزيد.
4. حفظ (بقاء) الطاقة الميكانيكية في نظام معزول
استنتج قانون حفظ الطاقة الميكانيكية لكرة تسقط سقوطًا حرًا (شكل 33).
إظهار الإجابة
في النظام المعزول (الأرض والكرة) الطاقة الكلية محفوظة ΔE = 0، وبإهمال الاحتكاك مع الهواء لا تتغير الطاقة الداخلية ΔU = 0، إذن ΔME = 0: MEi = MEf ⇐ KEi + PEi = KEf + PEf ⇐ ΔPE = −ΔKE.
البندول البسيط
استنتج الطاقة الميكانيكية لبندول بسيط سُحب بزاوية θm وارتفع مسافة h.
إظهار الإجابة
PEg = mgh ، و cos θ = L′/L ⇐ L′ = L cos θm ، و h = L − L′ = L(1 − cos θm) ⇐ PEg = mgL(1 − cos θm). والبندول ساكن فطاقته الحركية صفر، إذن ME = mgL(1 − cos θm).
ما الطاقة الميكانيكية للبندول في أي لحظة بعد إفلاته وعند G₀؟
إظهار الإجابة
في أي لحظة: ME = ½mv² + mgL(1 − cos θ) · عند G₀: طاقة الوضع صفر والحركية عظمى KEmax = ½mv² ⇐ MEG₀ = ½mv². وفي غياب الاحتكاك حول O′ ومع الهواء تكون ME = MEG₀ محفوظة.
صف التمثيل البياني لتبادل الطاقة في البندول بدلالة θ (شكل 35).
إظهار الإجابة
الخط الأفقي: حفظ الطاقة الميكانيكية · المنحنى الأخضر: الطاقة الحركية وتساوي صفرًا عند أكبر زاوية θ · المنحنى الأحمر: طاقة الوضع التثاقلية وتساوي صفرًا عند موضع الاستقرار G₀ حيث h = 0.
مثال (1): كرة تسقط من 2m
كرة على ارتفاع 2m من الأرض (مرجع) سقطت من سكون بلا احتكاك (شكل 36). احسب سرعتها لحظة الاصطدام بحفظ الطاقة الميكانيكية.
إظهار الإجابة
ΔME = 0 ⇐ KEi + PEi = KEf + PEf ، و KEi = 0 و PEf = 0 ⇐ mgh = ½mvf² ⇐ vf = √(2gh) = √40 = 6.32m/s ، وهي معادلة السرعة نفسها التي توصلنا إليها بقانون الطاقة الحركية.
5. عدم حفظ الطاقة الميكانيكية في نظام معزول
ما العلاقة بين ΔME و ΔU مع حفظ الطاقة الكلية؟
إظهار الإجابة
ΔE = ΔME + ΔU = 0 ⇐ ΔME = −ΔU ؛ أي التغير في الطاقة الميكانيكية يساوي معكوس التغير في الطاقة الداخلية.
علّل: يمكن استبدال ΔU بشغل الاحتكاك.
إظهار الإجابة
لأن الشغل الناتج عن قوى الاحتكاك المؤثرة على أجزاء النظام يتحول إلى طاقة داخلية تغيّر درجة حرارته أو حالته الفيزيائية أو الاثنين معًا، فنكتب ΔME = −Wf.
مسألة مع إجابة
ما الطاقة الكامنة التثاقلية لحجر وزنه 8N على ارتفاع 6m؟ وما الطاقة التي يفقدها عند ارتفاع 4.5m؟
إظهار الإجابة
48J · و −12J.
مثال (2): صندوق على مستوى مائل خشن
صندوق 100g أُفلت من سكون من A على مستوى مائل خشن AB = 4m بزاوية 30° (شكل 37) فوصل B بسرعة 6m/s. احسب قوة الاحتكاك (ثابتة).
إظهار الإجابة
ΔME ≠ 0 ⇐ MEf − MEi = −Wf ⇐ (½mvf² + 0) − (0 + mghi) = f × AB × cos 180 ، و hi = AB sin 30 = 2m ⇐ (½ × 0.1 × 36) − (0.1 × 10 × 2) = −4f ⇐ −0.2 = −4f ⇐ f = 0.05N ، ومقدار معقول يمكن التحقق منه بقانون الطاقة الحركية.
مسائل مع إجابات
(١) احسب سرعة انطلاق جسم 50g على سطح أملس ملاصق لزنبرك أفقي مضغوط 20cm، k = 100N/m (الطاقة الكامنة التثاقلية صفر).
إظهار الإجابة
8.94m/s.
(٢) اكتب معادلة تعبّر عن الطاقة الكلية للنظام في الحالتين: (أ) طاقة داخلية ثابتة وميكانيكية متغيرة (ب) داخلية متغيرة وميكانيكية ثابتة.
إظهار الإجابة
(أ) ΔET = ΔME · (ب) ΔET = ΔU.
(٣) كتلة نقطية 10g أُطلقت رأسيًا إلى أعلى من O بسرعة 10m/s (أهمل الاحتكاك، O مرجع). (أ) الطاقة الميكانيكية عند O (ب) عند أعلى نقطة (ج) الارتفاع الأقصى.
إظهار الإجابة
(أ) 0.5J · (ب) 0.5J · (ج) 5m.
الأنشطة والتقويم (مراجعة الدرس 1-3)
أولًا: عرّف الطاقة الكلية.
إظهار الإجابة
هي مجموع الطاقة الداخلية U والطاقة الميكانيكية ME لنظام ما: E = ME + U.
ثانيًا: قارن بين الطاقة الداخلية والطاقة الميكانيكية لنظام ما.
إظهار الإجابة
الداخلية U: طاقة ميكانيكية ميكروسكوبية = مجموع طاقات الحركة والوضع لجسيمات النظام الناتجة عن التأثيرات بينها · الميكانيكية ME: طاقة ماكروسكوبية = مجموع الطاقة الحركية والكامنة للجسم الماكروسكوبي.
ثالثًا: جسم c كتلته 0.1kg يتحرك على مسار خشن (احتكاك ثابت 0.5N) مؤلف من أفقي OA = 2m ومائل AB = 1m بزاوية 30° (شكل 38)، أُطلق من O بسرعة v₀ (O مرجع). (أ) أوجد علاقة بين v₀ و vA (ب) استنتج v₀ إذا كانت vB = 1m/s.
إظهار الإجابة
(أ) ½mvA² − ½mv₀² = −f × OA ⇐ vA² = v₀² − (2 × 0.5 × 2)/0.1 = v₀² − 20 · (ب) من A إلى B: h = 1 × sin 30 = 0.5m ، ½ × 0.1 (1 − vA²) = −0.1 × 10 × 0.5 − 0.5 × 1 = −1 ⇐ vA² = 21 ⇐ v₀² = 41 ⇐ v₀ ≈ 6.4m/s.
رابعًا: جسم S (100g) أُفلت من A على مسار ABC: AB مائل أملس 30° طوله L₁، و BC أفقي خشن f = 0.1N طوله L₂ (شكل 39). (أ) إذا كانت vB = 4m/s أوجد طول AB (ب) أكمل الجسم ليتوقف عند C، احسب BC.
إظهار الإجابة
(أ) mgh = ½mvB² ⇐ h = 16/20 = 0.8m ⇐ AB = h / sin 30 = 1.6m · (ب) ½ × 0.1 × 16 = 0.8J = f × L₂ ⇐ L₂ = 0.8/0.1 = 8m.
خامسًا: جسم c (200g) على مستوى مائل أملس 30°، أُطلق من O عند t = 0 بسرعة v₀ = 4m/s (شكل 40)، x = OA و O مرجع. (أ) الطاقة الميكانيكية (ب) صيغة الطاقة الكامنة بدلالة x (ج) مثّل ME و PE بيانيًا (د) ارتفاع الجسم عندما سرعته 1m/s.
إظهار الإجابة
(أ) ME = ½ × 0.2 × 16 = 1.6J · (ب) PE = mg x sin 30 = 0.2 × 10 × 0.5 x = x (بالجول) · (ج) ME خط أفقي ثابت عند 1.6J ، و PE خط مستقيم يمر بالأصل ميله 1 يصل إلى 1.6J عند x = 1.6m · (د) KE = ½ × 0.2 × 1 = 0.1J ⇐ PE = 1.5J ⇐ h = 1.5/(0.2 × 10) = 0.75m.
سادسًا: بندول بسيط m = 200g ، L = 1m أُزيح بزاوية θm = 60° وأُفلت من سكون (المرجع عند الاتزان) (شكل 41)، ورُسمت ME و KE و PE بدلالة θ (شكل 42). (أ) حدّد نوع الطاقة لكل منحنى (ب) استنتج ME (ج) صيغة PE بدلالة θ (د) صيغة KE بدلالة θ (هـ) الزاوية التي تتساوى عندها KE و PE.
إظهار الإجابة
(أ) (1) الخط الأفقي: الطاقة الميكانيكية لأنها محفوظة · المنحنى الذي يساوي صفرًا عند θ = 0 ويبلغ قيمته العظمى عند ±60°: طاقة الوضع · المنحنى الأعظم عند θ = 0 والصفري عند ±60°: الطاقة الحركية · (ب) ME = mgL(1 − cos 60) = 0.2 × 10 × 1 × 0.5 = 1J · (ج) PE = mgL(1 − cos θ) = 2(1 − cos θ) · (د) KE = ME − PE = 2cos θ − 1 · (هـ) 2(1 − cos θ) = 2cos θ − 1 ⇐ cos θ = 0.75 ⇐ θ ≈ 41.4°.
م١
مراجعة الفصل الأول وأسئلة مراجعته
الفصل الأول: الطاقة · صفحات 44–47خريطة مفاهيم الفصل
رتّب المصطلحات في خريطة مفاهيم: الطاقة الميكانيكية، الطاقة الكامنة، الطاقة الداخلية، ΔME = 0، الطاقة الكلية، ΔME = −ΔU، الطاقة الحركية، الطاقة المرنة.
إظهار الإجابة
الطاقة الكلية ← تتكون من: الطاقة الميكانيكية + الطاقة الداخلية · الطاقة الميكانيكية ← الطاقة الحركية + الطاقة الكامنة (ومنها الطاقة المرنة والتثاقلية) · في نظام معزول بلا احتكاك: ΔME = 0 · مع الاحتكاك: ΔME = −ΔU.
تحقق من فهمك (اختر الإجابة الأنسب)
(١) الطاقة الحركية كمية فيزيائية: متجهة / موجبة / موجبة أو سالبة / سالبة.
إظهار الإجابة
موجبة (KE = ½mv² و v² موجبة دائمًا، وهي كمية عددية).
(٢) جسم 1kg على مسافة 10m أسفل المستوى المرجعي، g = 9.8N/kg، طاقته الكامنة التثاقلية: 98J / −98J / −89J / 0.
إظهار الإجابة
−98J (PE = 1 × 9.8 × (−10)).
(٣) الطاقة الكامنة الميكروسكوبية: تتغير أثناء تغير حالة النظام / تتغير أثناء تغير درجة حرارته / لا تتغير بتغير حالة النظام / تتغير مع تغير الطاقة الحركية الميكروسكوبية.
إظهار الإجابة
تتغير أثناء تغير حالة النظام (لأنها مرتبطة بطاقة الربط بين أجزائه).
(٤) الطاقة الكامنة التثاقلية لجسم يسقط سقوطًا حرًا بلا احتكاك: تزداد / تتناقص على طول المسار / تبقى ثابتة / تتناقص ثم تصبح منتظمة.
إظهار الإجابة
تتناقص على طول المسار (لنقصان الارتفاع، وتتحول إلى طاقة حركية).
تحقق من معلوماتك
(١) ما الشروط الواجب توفرها لإنجاز شغل؟
إظهار الإجابة
أن تؤثر قوة في الجسم، وأن تُزيحه، وألا تكون القوة عمودية على الإزاحة (أن يكون للقوة مركبة في اتجاه الإزاحة).
(٢) يدور قمر صناعي حول الأرض بمدار دائري مركزه مركز الأرض، فما شغل الجاذبية الأرضية فيه؟ ولماذا؟
إظهار الإجابة
صفر؛ لأن قوة الجاذبية (نحو المركز) عمودية على اتجاه الحركة (θ = 90°)، ولا يتغير ارتفاعه عن المركز.
(٣) هل يتغير شغل رفع جسم إلى مرتفع معين بمستوى مائل بتغير زاوية الميل في غياب الاحتكاك؟
إظهار الإجابة
لا؛ لأن الشغل W = mgh يرتبط بالارتفاع الرأسي فقط لا بشكل المسار.
(٤) ما الشرط الذي ينبغي توفره لتكون الطاقة الميكانيكية لنظام معزول محفوظة؟
إظهار الإجابة
غياب قوى الاحتكاك (فلا تتغير الطاقة الداخلية ΔU = 0).
(٥) متى تكون الطاقة الكلية للنظام محفوظة؟
إظهار الإجابة
عندما يكون النظام معزولًا لا يتبادل طاقة مع محيطه.
تحقق من مهاراتك (g = 10m/s²)
(١) بندول بسيط كتلته 100g وطوله 40cm، أُزيح بزاوية 60° وأُفلت بلا احتكاك، والمرجع عند G₀ (شكل 43). (أ) احسب ME (ب) سرعته عند G₀ (ج) الزاوية التي تتساوى عندها KE و PE.
إظهار الإجابة
(أ) ME = mgL(1 − cos 60) = 0.1 × 10 × 0.4 × 0.5 = 0.2J · (ب) ½ × 0.1 × v² = 0.2 ⇐ v = 2m/s · (ج) PE = ½ME ⇐ mgL(1 − cos θ) = 0.1 ⇐ 1 − cos θ = 0.25 ⇐ cos θ = 0.75 ⇐ θ ≈ 41.4°.
(٢) سقط جسم 10kg من سكون بلا احتكاك من ارتفاع h. (أ) سرعته بعد 10m (ب) القوة المنتظمة التي توقفه بعد أن يقطع 1m من لحظة تأثيرها.
إظهار الإجابة
(أ) v = √(2 × 10 × 10) = √200 ≈ 14.14m/s · (ب) KE = ½ × 10 × 200 = 1000J ، وخلال 1m: Wg + WF = 0 − 1000 ⇐ 100 − F × 1 = −1000 ⇐ F = 1100N (إلى أعلى).
(٣) استخدم قانون الطاقة الحركية لحساب القوة المنتظمة التي جعلت كتلة 0.5kg تنطلق من سكون لتبلغ 60m/s بعد 100m على سطح خشن احتكاكه 93N.
إظهار الإجابة
F × 100 − 93 × 100 = ½ × 0.5 × 60² = 900 ⇐ F = 10200/100 = 102N.
(٤) قرص حديدي مصمت 10kg ونصف قطره 1m يدور 20 دورة في الثانية حول محور عمودي في مركزه. (أ) طاقته الحركية (I = ½MR²) (ب) الطاقة الحرارية التي يطلقها إذا قلّت سرعته الزاوية إلى النصف.
إظهار الإجابة
ω = 20 × 2π = 40π rad/s ، I = ½ × 10 × 1² = 5kg.m² · (أ) KE = ½ × 5 × (40π)² = 4000π² ≈ 39478J · (ب) KEf = 1000π² ⇐ الطاقة الحرارية = 3000π² ≈ 29609J.
(٥) جسم m₁ = 80g على مستوى مائل أملس 30°، مربوط بخيط يمر فوق بكرة عديمة الكتلة نصف قطرها 20cm وبطرفه الآخر m₂ = 60g (شكل 44)، أُفلت النظام من سكون. (أ) سرعة m₁ بعد صعوده 40cm (ب) السرعة الدورانية للبكرة.
إظهار الإجابة
(أ) W = ΔKE: m₂gd − m₁gd sin 30 = ½(m₁ + m₂)v² ⇐ 0.24 − 0.16 = 0.08 = ½ × 0.14 × v² ⇐ v ≈ 1.07m/s · (ب) ω = v/r = 1.07/0.2 ≈ 5.35rad/s.
(٦) لإطلاق جسم 200g على مستوى مائل أملس (شكل 45)، زنبرك طوله الحقيقي L₀ = 25cm ضُغط حتى L = 20cm، فوصل الجسم إلى A على ارتفاع h = 20cm بسرعة 1m/s. (أ) احسب ثابت المرونة (ب) أقصى ارتفاع يبلغه الجسم.
إظهار الإجابة
(أ) ½k(0.05)² = mgh + ½mvA² = 0.2 × 10 × 0.2 + ½ × 0.2 × 1² = 0.5J ⇐ k = 400N/m · (ب) 0.5 = mghmax ⇐ hmax = 0.5/2 = 0.25m.
التواصل ونشاط بحثي
التواصل: اكتب مقالًا لا يزيد عن عشرة أسطر تبيّن فيه دور الطاقة الداخلية في تغيّر حالة المادة.
إظهار الإجابة
عناصر المقال من الدرس: المادة تتألف من جزيئات تتحرك عشوائيًا وتمتلك طاقة حركية ميكروسكوبية، وبينها قوى تجاذب ترتبط بطاقة كامنة ميكروسكوبية · عند تغير حالة المادة (كانصهار الجليد) تتغير الروابط بين الجزيئات بتغيير طاقة الربط بين أجزائها، أي تتغير الطاقة الداخلية U · الشغل الناتج عن الاحتكاك يتحول إلى طاقة داخلية تغير درجة الحرارة أو الحالة الفيزيائية أو الاثنين.
نشاط بحثي: ما المطلوب في بحث الكتلة والطاقة؟
إظهار الإجابة
الكتلة والطاقة مرتبطتان بمعادلة وضعها أينشتاين عام 1905م، وتتغير الكتلة بتغير السرعة إلى أن تكتسب طاقة. المطلوب: بحث يبيّن صعوبة تعجيل الجسم والوصول به إلى سرعة الضوء لأن كتلته تصبح لا نهائية · الإشارة إلى المعادلة التي تُظهر تغيّر الكتلة بالنسبة للسرعة واستخدامها لتوضيح ذلك · الإشارة إلى دور تحوّل جزء من الكتلة إلى طاقة في توليد الطاقة النووية.
٤
الدرس 2-1: عزم الدوران (عزم القوة) τ
الفصل الثاني: ميكانيكا الدوران · صفحات 48–57مدخل الفصل الثاني: ميكانيكا الدوران
ما دروس الفصل الثاني؟
إظهار الإجابة
١) عزم الدوران · ٢) القصور الذاتي الدوراني · ٣) ديناميكا الدوران · ٤) كمية الحركة الزاوية.
ماذا درسنا سابقًا عن الحركة الدورانية، وما الذي سيضيفه هذا الفصل؟
إظهار الإجابة
الحركة بشكل عام خطية أو دورانية أو الاثنان معًا. درسنا الحركة الدورانية (الزاوية) والإزاحة الزاوية والسرعة الزاوية والعجلة الزاوية، والحركة الدورانية منتظمة السرعة (كالأقمار الصناعية) ومنتظمة العجلة؛ واقتصرت الدراسة على كينماتيكا (علم الحركة) الدوران دون البحث في تأثير القوة. ويتمحور هذا الفصل حول ميكانيكا الدوران: تأثير القوة في تدوير الأجسام، وكتابة قوانين نيوتن الثلاثة للحركة الدورانية، ومفاهيم الطاقة الدورانية وكمية الحركة.
ما الأسئلة التي يجيب عنها الفصل؟
إظهار الإجابة
هل للقوة تأثير في الحركة الدورانية؟ متى تجعل القوة الجسم ينتقل ومتى تجعله يدور؟ هل يمكن استخدام قوانين الحركة الخطية في دراسة الحركة الدورانية؟ (حركة كرات البلياردو بعد الاصطدام: خطية أو دورانية أو الاثنان معًا؟)
أهداف الدرس ومدخله
ما أهداف درس عزم الدوران؟
إظهار الإجابة
١) يعرّف عزم القوة · ٢) يميّز بين عزم القوة والقوة · ٣) يذكر شرط اتزان عزمين · ٤) يعرّف الازدواج.
ماذا يحدث عند دفع جسم حرًا ليتحرك؟ ومن أمثلة ذلك؟
إظهار الإجابة
ستتحرك بعض الأجسام دون دوران، وبعضها يدور دون حركة انتقالية (شكل 46: الباب)، وبعضها خطيًا ودورانيًا معًا؛ فعند ركل كرة قدم غالبًا ما تنقلب من جانب لآخر. والدرس يوضح العوامل المؤثرة في الدوران التي تفسر معظم تقنيات لاعبي الجمباز ورياضة تقوية العضلات والتزلج على الجليد والغطس.
1. تعريف عزم الدوران (عزم القوة) τ
ما الفرق بين القوة وعزم القوة من حيث الأثر؟
إظهار الإجابة
القوة هي المسبب لتسارع الأجسام (تحريكها)، أما عزم القوة فهو مسبب الدوران (عند فتح الباب أو الصنبور أو ربط صامولة بمفتاح ربط – شكل 47).
2. حساب مقدار عزم القوة
ما فعل الرافعة؟ واذكر أمثلة.
إظهار الإجابة
عزم القوة ينتج عن استخدام القوة وما يُعرف بفعل الرافعة: مطرقة مخلبية لسحب مسمار (كلما طال المقبض زاد فعل الرافعة وكانت المهمة أسهل)، استخدام مفك أو سكين لفتح غطاء علبة دهان، فتح الباب.
علّل: يوضع مقبض الباب بعيدًا عن محور دورانه عند المفصلات.
إظهار الإجابة
ليمدّنا بفائدة ميكانيكية أعلى مكتسبة من فعل الرافعة عند سحب المقبض أو دفعه.
علّل: عند فتح الباب ندفعه دفعًا عموديًا على مستواه ولا نسحبه جانبًا.
إظهار الإجابة
لأن الدفع أو السحب العمودي يعطيان دورانًا أكثر بجهد أقل.
علّل: استخدام مفتاح ربط ذي مقبض طويل يحتاج جهدًا أقل (شكل 48).
إظهار الإجابة
لأن المقبض الطويل يؤدي إلى فعل رافعة أكبر (ذراع قوة أطول).
عند فتح الباب بقوة شد مائلة (شكل 49)، ما ذراع الرافعة؟
إظهار الإجابة
المسافة بين مقبض الباب وحافة الرافعة المرتبطة بالمفصلة، والأثر الدوراني ينتج عن المركبة العمودية فقط.
ما وحدة عزم القوة؟
إظهار الإجابة
N.m (القوة بـ N والمسافة بـ m).
كيف يمكن إنتاج نفس عزم القوة؟ ومتى يكون العزم كبيرًا؟
إظهار الإجابة
بقوة كبيرة مع ذراع قصيرة، أو قوة صغيرة مع ذراع طويلة · ويكون كبيرًا عندما تكون القوة وذراع الرافعة كبيرتين.
فقرة إثرائية: الفيزياء وجسم الإنسان
كيف يطبّق جسم الإنسان مبدأ العزوم؟
إظهار الإجابة
تطبيق مبدأ العزوم بالحركة الدائرية للعظام حول المفاصل، وحركة العظام تطبيق لمبدأ الرافعة بأنواعها الثلاثة، وتعتمد على ثلاثة عناصر: العضلة التي تقوم بالجهد، والمفاصل التي تؤدي دور محور الدوران، والقوة المقاومة لدوران العظمة. في الرأس تشد عضلات الرقبة الجمجمة لمنعه من الميل مكوّنة رافعة من النوع الأول (مركز الارتكاز بين الجهد والمقاومة)، وفي الساق والذراع أنواع أخرى من الروافع.
مثال (1): ساق عليها أربع قوى
(أ) احسب عزم كل قوة حول O وحدّد اتجاهه.
إظهار الإجابة
τ₁ = F₁ d₁ sin 0 = 0 · τ₂ = 20 × 0.9 × sin 30 = +9N.m (عكس عقارب الساعة) · τ₃ = −60 × 0.5 × sin 90 = −30N.m (مع عقارب الساعة) · τ₄ = 0 لأن المسافة بين نقطة تأثيرها والمحور صفر.
(ب) و(ج) احسب محصلة العزوم واتجاه دوران الساق.
إظهار الإجابة
Στ = 0 + 9 − 30 + 0 = −21N.m ، سالبة فتدور الساق مع عقارب الساعة؛ لأن ثقل الساق F₃ أكثر تأثيرًا في تدويرها من F₂.
4. العزوم المتزنة
كيف يتوازن الأطفال على الأرجوحة رغم اختلاف أوزانهم (شكل 52)؟
إظهار الإجابة
لأن الوزن لا يسبب الدوران بل يسببه العزم؛ فالأثقل يجلس على مسافة قصيرة من نقطة الارتكاز والأخف على مسافة أبعد، فيتساوى العزمان (مثال الشكل: 400N على بعد 1.5m و200N على بعد 3m).
علامَ يعتمد اتزان الميزان ذي الأوزان المنزلقة (شكل 53)؟
إظهار الإجابة
على اتزان العزوم وليس اتزان الأوزان؛ فتُضبط الأوزان المنزلقة حتى يتزن عزم القوة عكس عقارب الساعة مع العزم في اتجاهها وتبقى ذراع الميزان أفقية.
مثال (2): طفلان على أرجوحة
طفلان وزناهما 300N و450N على طرفي أرجوحة طولها 3m مهملة الكتلة (شكل 54). حدّد موقع محور الدوران ليتزن النظام.
إظهار الإجابة
ΣτC.W = ΣτA.C.W ⇐ 300d₁ = 450d₂ ، و d₁ + d₂ = 3 ⇐ 300d₁ = 450(3 − d₁) ⇐ 750d₁ = 1350 ⇐ d₁ = 1.8m عن الطفل الأول (300N) و d₂ = 1.2m عن الثاني؛ ومركز الاتزان أقرب إلى الجسم الأكبر.
5. عزم القوة ومركز الثقل
متى ينقلب الجسم؟ مثّل لذلك (شكل 55).
إظهار الإجابة
عندما يصبح مركز الثقل خارج المساحة الحاملة للجسم ينشأ عزم قوة يسبب الانقلاب؛ فالشكل القائم L سينقلب، وعندما تلمس أصابع قدميك وظهرك وكعبا قدميك ملاصقان للحائط ينتج عزم دوران إذ يقع مركز ثقلك أمام قدميك.
بعد ركل كرة القدم، متى تتحرك فقط ومتى تدور (شكل 56)؟
إظهار الإجابة
إذا مرّ خط عمل القوة بمركز ثقل الكرة فإنها تتحرك دون دوران · أما إذا لم يمر به فالكرة إضافة إلى حركة مركز ثقلها ستدور حوله بفعل عزم القوة.
ما سبب دوران الجسم حول محوره؟ وما سبب الاتزان الدوراني للجسم المعلق حول مركز ثقله؟
إظهار الإجابة
سبب الدوران هو محصلة عزوم القوى؛ وعندما لا يدور الجسم تكون محصلة العزوم صفرًا، وهذا يفسر اتزانه الدوراني حول مركز ثقله.
6. عزم الازدواج
اذكر أمثلة على عزم الازدواج C.
إظهار الإجابة
فتح الصنبور أو إغلاقه بالإبهام والسبابة · تدوير مقود الدراجة الهوائية باليدين · المفتاح الرباعي لفك صواميل إطار السيارة.
استنتج عزم الازدواج (شكل 57).
إظهار الإجابة
C⃗ = τ⃗₁ + τ⃗₂ = F⃗₁ × d⃗₁ + F⃗₂ × d⃗₂ ، و F₁ = F₂ = F ⇐ C = F(d₁ + d₂) ، و d₁ + d₂ = d (المسافة العمودية بين القوتين) ⇐ C = F × d.
مثال (3): المفك
مفك قطر مقبضه 3cm وعرض رأسه 7mm، أثّرت عليه قوتان متساويتان متعاكستان 49N (شكل 58). (أ) عزم الازدواج في المقبض (ب) القوة التي تدير البرغي.
إظهار الإجابة
(أ) C = F × d = 49 × 0.03 = 1.47N.m · (ب) العزم نفسه يؤثر في البرغي: F′ = C/d = 1.47 / (7 × 10⁻³) = 210N. وهذا يفسر أهمية المفك: القوة المؤثرة في البرغي أكبر من القوة المبذولة على المقبض.
الأنشطة والتقويم (مراجعة الدرس 2-1)
أولًا: ما اتجاه القوة بالنسبة لذراعها لإنتاج أكبر عزم؟
إظهار الإجابة
عموديًا على ذراع القوة (θ = 90° فيكون sin θ = 1).
ثانيًا: احسب العزم عند ربط صامولة بمفك ربط طول ذراعه 200mm والقوة 100N بزاوية 45° (شكل 59).
إظهار الإجابة
τ = F d sin θ = 100 × 0.2 × sin 45 ≈ 14.14N.m.
ثالثًا: مسطرة متجانسة معلقة من منتصفها (50cm)، عُلّقت بها صخرة m عند 25cm وكتلة 1kg عند 100cm (شكل 60). ما كتلة الصخرة إذا كان النظام متزنًا؟
إظهار الإجابة
وزن المسطرة يؤثر في المحور فلا عزم له: m × g × 0.25 = 1 × g × 0.5 ⇐ m = 2kg.
رابعًا: صامولة تحتاج عزمًا 40N.m، بمفتاح ربط طوله 25cm وقوة تصنع 60° مع المفتاح (شكل 61). احسب القوة.
إظهار الإجابة
F = τ / (d sin 60) = 40 / (0.25 × 0.866) ≈ 184.8N.
خامسًا: (أ) احسب عزم وزني الولد (600N على 1.5m) والفتاة (300N على 3m) على اللوح المتأرجح (شكل 62) (ب) ما المسافة التي يجب أن تجلس عليها فتاة وزنها 400N ليتزن النظام؟
إظهار الإجابة
(أ) عزم الولد = 600 × 1.5 = 900N.m · عزم الفتاة = 300 × 3 = 900N.m (متساويان فالنظام متزن) · (ب) 400 × d = 900 ⇐ d = 2.25m.
٥
الدرس 2-2: القصور الذاتي الدوراني (I)
الفصل الثاني: ميكانيكا الدوران · صفحات 58–65الأهداف العامة والمدخل
ما أهداف درس القصور الذاتي الدوراني؟
إظهار الإجابة
١) يعرّف القصور الذاتي الدوراني (I) · ٢) يعدّد العوامل التي يتوقف عليها مقداره · ٣) يعرّف معادلات أو قوانين القصور الذاتي الدوراني لبعض الأجسام · ٤) يطبّق قانون المحاور المتوازية لإيجاد القصور الذاتي الدوراني.
ما مقياس القصور الذاتي في الحركة الخطية؟ ولماذا؟
إظهار الإجابة
الكتلة؛ لأن كتلة الجسم تعمل على مقاومة التغير في حركته، وتغيير الحركة يحتاج (بحسب قانون نيوتن الثاني) قوة يختلف مقدارها باختلاف الكتلة؛ فكلما كانت الكتلة أكبر احتجنا قوة أكبر. (شكل 63: يعتمد القصور الذاتي الدوراني على بعد الكتلة عن المحور.)
1. القصور الذاتي الدوراني (I)
ما قانون الدوران الشبيه بقانون القصور الذاتي الخطي؟
إظهار الإجابة
«عندما يدور جسم حول محور فإنه يميل إلى أن يبقى دائرًا حول هذا المحور».
ما المطلوب لتغيير الحالة الدورانية لحركة الجسم؟ وماذا يحدث في غيابه؟
إظهار الإجابة
عزم القوة، كما يحتاج الجسم إلى قوة ليغير حالته الخطية · وفي غياب محصلة القوة (العزم) فإن الأجسام التي تدور تحتفظ بدورانها.
2. العوامل المؤثرة في القصور الذاتي الدوراني
بمَ يختلف القصور الذاتي الدوراني عن الخطي؟
إظهار الإجابة
الخطي يعتمد على الكتلة، أما الدوراني فيعتمد على توزيع الكتل؛ فكلما زادت المسافة بين كتلة الجسم والمحور زاد القصور الذاتي الدوراني (شكل 64).
علّل: يمسك لاعب البيسبول أحيانًا المضرب من نهايته بإحكام (شكل 65).
إظهار الإجابة
ليقلل قصوره الذاتي الدوراني فيسهل استعماله في الحركة الدورانية؛ فإمساك المضرب الطويل قرب طرفه يجعل قصوره أكبر وميله للبقاء متحركًا كبيرًا ويصعب تسريعه، والمضرب القصير قصوره الذاتي أقل.
قارن بين البندول القصير والطويل (شكل 66).
إظهار الإجابة
البندول القصير يتحرك إلى الأمام والخلف أكثر من البندول الطويل الذي لا يميل إلى التأرجح بسرعة.
علّل: الحيوانات ذات القوائم القصيرة (كالكلب الألماني الصغير والفئران) تتحرك أسرع من ذات القوائم الطويلة (الزرافات والخيول والنعام) (شكل 67).
إظهار الإجابة
لأن قصورها الذاتي الدوراني أقل؛ فالقصور الذاتي الدوراني يكون أكبر عندما تتوزع الكتلة نفسها داخل الجسم بتباعد عن محور الدوران.
علّل: يُعتبر ثني الساقين عند الجري مهمًا (شكل 68).
إظهار الإجابة
لأنه يقلّل عزم القصور الذاتي الدوراني فيسهّل تأرجحهما إلى الأمام والخلف.
علّل: يمد البهلوان يديه أو يمسك عصًا طويلة أثناء سيره على سلك رفيع (شكل 69).
إظهار الإجابة
ليزيد قصوره الذاتي الدوراني فيساعده على مقاومة الدوران، ويحظى بوقت أطول لضبط مركز ثقله والحفاظ على اتزانه.
فقرة إثرائية: تطبيق عزم الدوران على مكوك الخيط
عند سحب خيط مكوك على الطاولة أفقيًا، متى يكون عزم القوة أكبر؟ وهل توجد زاوية لا ينتج عندها عزم؟
إظهار الإجابة
(أ) يكون العزم أكبر عندما تكون ذراع الرافعة أكبر (الخيط فوق قمة المحور) · (ب) أصغر عندما تكون ذراع الرافعة صغيرة وأقرب إلى سطح الطاولة (الخيط أسفل المحور) · (ج) تغيّر الزاوية بين القوة وذراع الرافعة يؤثر في مقدار العزم. (تذكّر: عزم القوة = مركبة القوة العمودية × ذراع القوة؛ وينعدم العزم إذا صارت ذراع القوة صفرًا.)
فقرة إثرائية: الفيزياء في المختبر – أرجح قلمك
أرجح قلم الرصاص من منتصفه ومن أحد طرفيه، ثم أدره حول محوره الطولي (شكل 70). أي الحالات أسهل؟ وهل يتناسب العزم مع نصف القطر الصغير؟
إظهار الإجابة
الدوران حول المحور الطولي أسهل، ثم الأرجحة من المنتصف، وأصعبها من الطرف؛ لأن القصور الذاتي الدوراني يصغر كلما توزعت الكتلة أقرب إلى المحور (نصف القطر r صغير).
3. قوانين القصور الذاتي الدوراني
متى يكون القصور الذاتي I = mr²؟ ومتى يكون أقل؟
إظهار الإجابة
عندما تكون الكتلة m كلها مركزة على المسافة r من المحور (كرة صغيرة معلقة بخيط بندول، أو عجلة رفيعة حول مركزها) · وعندما تكون الكتلة أكثر توزيعًا (كالساق) يكون أقل وتختلف صيغته. ووحدته kg.m².
هل يجب حفظ كل هذه القيم؟
إظهار الإجابة
ليس من المهم أن تعرف كل القيم، ولكن يمكنك رؤية كيف تتغير الصيغة الرياضية مع تغير الشكل والمحور.
4. نظرية المحور الموازي
ما فائدة نظرية المحاور المتوازية (هوغنس Huyghens)؟
إظهار الإجابة
تسمح بحساب القصور الذاتي الدوراني لجسم يدور حول أي محور موازٍ للمحور المار بمركز ثقله ويبعد عنه مسافة d، بمعرفة القصور الذاتي I₀ حول المحور المار بمركز ثقله، دون حاجة إلى آلاف المعادلات عند تغيير موقع المحور.
ملاحظة: هل نحتاج إلى معرفة كيفية حساب I₀؟
إظهار الإجابة
لا؛ فمقدار القصور الذاتي حول محور يمر بمركز الثقل يكون دائمًا معطى في المسألة.
مثال (1): كرتان على طرفي عصا
كرتان حديديتان كتلة كل منهما 5kg ونصف قطرها 5cm على طرفي عصا كتلتها 2kg، والمسافة بين مركزيهما 2m، يدور النظام حول محور عمودي في وسط العصا (شكل 73). I₀ للكرة = (2/5)mr² ، وللعصا = (1/12)mL². احسب I للنظام.
إظهار الإجابة
Isystem = 2Isphere + Irod · Isphere = (2/5)mr² + m(d/2)² = (2/5) × 5 × (5 × 10⁻²)² + 5 × 1² = 0.005 + 5 = 5.005kg.m² · L = d − 2r = 1.9m ⇐ Irod = (1/12) × 2 × 1.9² = 0.60kg.m² · Isystem = 2(5.005) + 0.6 = 10.6kg.m².
الأنشطة والتقويم (مراجعة الدرس 2-2)
أولًا: قارن بين الكتلة والقصور الذاتي الدوراني.
إظهار الإجابة
الكتلة: مقياس القصور الذاتي في الحركة الخطية (مقاومة تغيّر الحركة الخطية) وتعتمد على مقدار الكتلة · القصور الذاتي الدوراني: مقاومة الجسم لتغير حركته الدورانية، ويعتمد على الكتلة وتوزيعها (شكل الجسم) وموضع محور الدوران، ووحدته kg.m².
ثانيًا: احسب القصور الذاتي الدوراني لأسطوانة مصمتة كتلتها 3kg وقطرها 20cm تتدحرج على منحدر (I₀ = ½mr²).
إظهار الإجابة
r = 0.1m ⇐ I₀ = ½ × 3 × (0.1)² = 0.015kg.m².
ثالثًا: كرتان لهما الكتلة والقطر نفسه، إحداهما مصمتة والأخرى مجوفة تتركز كتلتها على سطحها. هل لهما القصور الذاتي الدوراني نفسه حول محور يمر بمركزيهما؟ لماذا؟
إظهار الإجابة
لا؛ المجوفة قصورها أكبر ((2/3)mr² مقابل (2/5)mr²) لأن كتلتها تتوزع بعيدًا عن محور الدوران.
رابعًا: عصا مهملة الكتلة طولها 65cm تنتهي بكتلتين نقطيتين 0.30kg لكل منهما. (أ) I حول أحد طرفيها (شكل 74) (ب) I حول مركز كتلتها (ج) قارن.
إظهار الإجابة
(أ) الكتلة عند المحور r = 0: I = 0.3 × (0.65)² ≈ 0.127kg.m² · (ب) I = 2 × 0.3 × (0.325)² ≈ 0.063kg.m² · (ج) القصور حول الطرف ضعف القصور حول المركز؛ لأن الكتلة أبعد عن المحور.
٦
الدرس 2-3: ديناميكا الدوران (Rotational Dynamics)
الفصل الثاني: ميكانيكا الدوران · صفحات 66–75الأهداف العامة والمدخل
ما أهداف درس ديناميكا الدوران؟
إظهار الإجابة
١) يطبّق معادلات الحركة الدورانية المنتظمة · ٢) يعرّف الجسم المصمت · ٣) يطبّق معادلات الحركة الدورانية منتظمة العجلة · ٤) يقارن بين معادلات وقوانين الحركة الخطية والدورانية · ٥) يذكر قوانين نيوتن الثلاثة في الحركة الدورانية · ٦) يطبّقها · ٧) يحسب مقدار الشغل والطاقة الحركية في الحركة الدورانية · ٨) يعرّف القدرة.
ماذا يتناول هذا الدرس؟
إظهار الإجابة
ديناميكا الحركة الدورانية ونصوص قوانين نيوتن الثلاثة للحركة الدورانية ومقارنتها بقوانين الحركة الخطية، واستخدامها لتفسير مسائل عملية مرتبطة بحياتنا اليومية (شكل 75: تنتج الحركة الخطية من الحركة الدورانية).
1. الحركة الدورانية المنتظمة والمنتظمة العجلة
كيف نستنتج معادلات الحركة الدورانية من الخطية؟
إظهار الإجابة
بإبدال الإزاحة الخطية x بالإزاحة الزاوية θ، والسرعة الخطية v بالسرعة الزاوية ω = v/r، والعجلة الخطية a بالعجلة الزاوية θ″ = a/r: ω = ω₀ + θ″t · ω² = ω₀² + 2θ″θ · θ = ω₀t + ½θ″t².
2. الكتلة النقطية والجسم المصمت في الحركة الدورانية
علّل: لا نفرّق في الحركة الخطية بين كتلة نقطية وجسم مصمت، بينما نفرّق في الحركة الدورانية.
إظهار الإجابة
في الخطية تتمثل حركة الجسم بحركة الكتلة النقطية أو بحركة مركز ثقله · أما في الدورانية فلشكل الجسم وكيفية توزيع كتلته بالنسبة إلى المحور تأثير على حركته؛ فزمن وصول أسطوانة مفرغة إلى أسفل المنحدر يختلف عن أسطوانة مصمتة لها الكتلة ونصف القطر نفسيهما لاختلاف قصورهما الذاتي الدوراني، فلا نستطيع القول إن الحركة الدورانية لجسم مصمت تتمثل بحركة مركز ثقله.
3. قوانين نيوتن للحركة الدورانية
هل تُطبّق قوانين نيوتن الثلاثة على الحركة الدورانية؟
إظهار الإجابة
نعم، رغم الاختلاف في طريقة دراسة الحركة بين الخطية والدورانية وتحليلها.
1.3 القانون الأول لنيوتن للحركة الدورانية
هل يستطيع دولاب ساكن أن يدير نفسه؟
إظهار الإجابة
لا؛ فالجسم الساكن لا يستطيع تدوير نفسه أو تغيير حركته الدورانية دون تأثير عزم قوة خارجية، كما يعجز الجسم في الحركة الخطية عن تغيير حالته دون قوى خارجية.
2.3 القانون الثاني لنيوتن للحركة الدورانية
استنتج القانون الثاني لكتلة نقطية مربوطة بخيط بالنقطة O تؤثر فيها قوة مماسية F (شكل 77).
إظهار الإجابة
F = ma ، والعجلة الدورانية θ″ = a/r ⇐ F = m r θ″ ، وبضرب الطرفين في r: F × r = m r² θ″ ، و mr² = I و F × r = τ ⇐ τ = I × θ″ ، وتعميمًا لنظام: Στ = I × θ″.
ماذا نستنتج بمقارنة Στ = Iθ″ بـ F = ma؟
إظهار الإجابة
عزم القوة حلّ مكان القوة، والقصور الذاتي الدوراني حلّ مكان الكتلة، والعجلة الزاوية حلّت مكان العجلة الخطية؛ وعزم القوة والعجلة الزاوية كميتان متجهتان لهما الاتجاه نفسه مثل القوة والعجلة الخطية.
مثال (1)
كتلة نقطية 2kg تدور حول محور يبعد 50cm (شكل 78)، بدأت من سكون واكتسبت تردد 2rev/s خلال 3.14s. احسب: (أ) العجلة الزاوية (ب) محصلة العزوم.
إظهار الإجابة
ω = 2πf = 12.566rad/s · (أ) θ″ = ω/t = 12.566/3.14 = 4rad/s² · (ب) I = mr² = 2 × 0.5² = 0.5kg.m² ⇐ Στ = Iθ″ = 0.5 × 4 = 2N.m.
مثال (2): البرغي
برغي يدور بتردد 3600rev/min، أثّر عليه عزم ازدواج ثابت بعكس اتجاه الدوران فأوقفه بعد دقيقة، I = 0.2kg.m². احسب: (أ) العزم (ب) عدد الدورات حتى توقفه.
إظهار الإجابة
f = 60rev/s ⇐ ω₀ = 2πf = 120π rad/s · (أ) θ″ = −ω₀/t = −120π/60 = −2π rad/s² ⇐ τ = Iθ″ = 0.2 × (−2π) = −1.256N.m · (ب) Δθ = ½θ″t² + ω₀t = ½(−2π)(60²) + (120π)(60) = 3600π rad ⇐ N = 3600π/2π = 1800 دورة. والإشارة السالبة تؤكد أن الحركة منتظمة العجلة تناقصية.
3.3 القانون الثالث لنيوتن للحركة الدورانية
اذكر مثالًا على القانون الثالث في الحركة الدورانية (شكل 79).
إظهار الإجابة
تدوير عجلة مسنّنة في اتجاه معين يجعل عجلة مسنّنة أخرى متداخلة معها تدور في اتجاه معاكس؛ أي أن العزم الذي أدار الأولى أثّر بعزم معاكس على الثانية، وهذه الظاهرة في كثير من المحركات.
1.4 الشغل الناتج عن عزم قوة منتظمة
استنتج الشغل الناتج عن عزم قوة منتظمة (شكل 80).
إظهار الإجابة
كتلة نقطية تتحرك بقوة مماسية F بإزاحة على المنحنى Δs = rΔθ: W = F Δs = F r Δθ = F r (θ − θ₀) = F r θ (θ₀ = 0)، و F × r = τ ⇐ W = τ × θ.
مثال (3): الحبل الملفوف
حبل ملفوف حول قرص حديدي قطره 2m وكتلته 5kg. احسب شغل سحب الحبل بقوة ثابتة 50N مسافة 2m إلى الأسفل (شكل 81).
إظهار الإجابة
W = τθ = F × r × (d/r) = 50 × 2 = 100J ، ونتحقق من صحتها بمعادلة الأبعاد.
2.4 الطاقة الحركية في الحركة الدورانية
برهن أن KE = ½ I ω² لكتلة نقطية تدور بسرعة مماسية v (شكل 82).
إظهار الإجابة
KE = ½mv² ، وباستبدال v = rω: KE = ½ m r² ω² ، و mr² = I ⇐ KE = ½ I ω² (بإبدال الكتلة بالقصور الذاتي والسرعة الخطية بالزاوية).
مثال (4): قدرة عزم على قرص
قرص مصمت 1kg ونصف قطره 50cm (I = ½mr²) طُبّق عليه عزم 5N.m فبدأ الدوران من سكون. احسب القدرة بعد ثانيتين.
إظهار الإجابة
θ″ = τ/I ، ω = θ″t ⇐ P = τω = τ(τ/I)t = τ² t / (½mr²) = 2τ²t/(mr²) = (2 × 5² × 2)/(1 × 0.5²) = 400W.
الأنشطة والتقويم (مراجعة الدرس 2-3) g = 10m/s²
أولًا: اشرح لماذا حاصل جمع العزوم المؤثرة في جسم يدور بسرعة زاوية ثابتة يساوي صفرًا.
إظهار الإجابة
لأن السرعة الزاوية ثابتة فالعجلة الزاوية θ″ = 0، ومن القانون الثاني Στ = Iθ″ = 0 (القانون الأول: يستمر في حركته الدورانية المنتظمة ما لم يؤثر عليه عزم خارجي).
ثانيًا: عجلة دراجة قطرها 1.5m وكتلتها 4kg مركزة على سطحها الخارجي، تحت عزم قوة مماسية 6N، تبدأ من السكون. احسب عدد الدورات خلال 5s.
إظهار الإجابة
r = 0.75m ⇐ I = mr² = 4 × 0.75² = 2.25kg.m² · τ = Fr = 6 × 0.75 = 4.5N.m ⇐ θ″ = τ/I = 2rad/s² · θ = ½θ″t² = ½ × 2 × 25 = 25rad ⇐ N = 25/2π ≈ 3.98 ≈ 4 دورات.
ثالثًا: صخرة كروية قطرها 30cm تُطلق صعودًا على منحدر 15° بسرعة زاوية 40rad/s وتتدحرج دون انزلاق. احسب الارتفاع h الذي تصل إليه (I = (2/5)mr²).
إظهار الإجابة
r = 0.15m ⇐ v = ωr = 6m/s · KE الكلية = ½mv² + ½ × (2/5)mr²ω² = 0.7mv² · mgh = 0.7mv² ⇐ h = 0.7 × 36/10 = 2.52m.
رابعًا: كتلتان m₁ = 4kg و m₂ = 3kg على مستويين مائلين (30° مع الأفق) بحبل يمر في بكرة نصف قطرها 0.60m وقصورها 0.5kg.m² (شكل 83). احسب: (أ) تسارع الكتلتين (ب) T₁ و T₂.
إظهار الإجابة
(أ) بإهمال الاحتكاك: a = (m₁ − m₂)g sin 30 / (m₁ + m₂ + I/r²) = (1 × 10 × 0.5)/(7 + 0.5/0.36) = 5/8.39 ≈ 0.60m/s² · (ب) T₁ = m₁g sin 30 − m₁a = 20 − 4 × 0.6 ≈ 17.6N · T₂ = m₂g sin 30 + m₂a = 15 + 3 × 0.6 ≈ 16.8N.
خامسًا: بكرة قطرها 1.2m وكتلتها 5kg (I = ½mr²) لإنزال وعاء 3kg، يسقط من السكون 4s. احسب: (أ) العجلة الخطية للوعاء (ب) المسافة خلال 4s (ج) العجلة الزاوية للبكرة.
إظهار الإجابة
r = 0.6m ، I = ½ × 5 × 0.36 = 0.9kg.m² · (أ) a = mg/(m + I/r²) = 30/(3 + 2.5) ≈ 5.45m/s² · (ب) d = ½at² = ½ × 5.45 × 16 ≈ 43.6m · (ج) θ″ = a/r ≈ 9.09rad/s².
٧
الدرس 2-4: كمية الحركة الزاوية (L)
الفصل الثاني: ميكانيكا الدوران · صفحات 76–84الأهداف العامة والمدخل
ما أهداف درس كمية الحركة الزاوية؟
إظهار الإجابة
١) يعرّف كمية الحركة الزاوية لكتلة تدور حول محور · ٢) يعرّفها لنظام يدور حول محور · ٣) يستنتج العلاقة بين كمية الحركة الزاوية والسرعة الزاوية · ٤) يذكر نص قانون كمية الحركة الزاوية · ٥) يذكر العلاقة بين كمية الحركة الزاوية وعزم الدوران · ٦) يستنتج قانون حفظ (بقاء) كمية الحركة الزاوية · ٧) يفسّر بعض المشاهدات اعتمادًا عليه · ٨) يطبّقه في حل مسائل عددية.
ما الذي يضيفه هذا الدرس؟
إظهار الإجابة
درسنا أن لكل جسم متحرك على مسار خطي قصورًا ذاتيًا للحركة هو كمية الحركة الخطية، وتعرفنا قوانين نيوتن للحركة الدورانية والقصور الذاتي الدوراني وكيف تستمر الأجسام في دورانها حتى يطرأ ما يوقفها؛ ويضيف الدرس مفهوم كمية الحركة الزاوية للأجسام الدوارة لتكتمل كافة المفاهيم المتعلقة بالحركة الخطية والدورانية والمركبة (شكل 84: المروحة).
1.1 كمية الحركة الزاوية لكتلة نقطية تدور حول محور ثابت
استنتج كمية الحركة الزاوية لكتلة نقطية m تدور حول محور ثابت بسرعة زاوية ω (شكل 85).
إظهار الإجابة
L = m v r ، و v = rω (r المسافة العمودية بين الكتلة والمحور) ⇐ L = m r² ω = I ω. أي أن كمية الحركة الزاوية تساوي حاصل ضرب كمية الحركة الخطية في نصف قطر المسار الدائري.
3.1 كمية الحركة الزاوية لنظام يدور حول محور ثابت
اكتب كمية الحركة الزاوية لنظام من كتل نقطية لها السرعة الدورانية نفسها.
إظهار الإجابة
Lsystem = L₁ + L₂ + … + Lₙ = Σmᵢrᵢ²ωᵢ ، وبما أن كل الكتل لها السرعة نفسها: Lsystem = Isystem ω ، حيث Isystem = Σmᵢrᵢ².
فقرة إثرائية: الطائرة المروحية
ماذا يحدث إذا كان للطائرة المروحية مروحة واحدة؟ وكيف تُعالج المشكلة؟
إظهار الإجابة
يُصدر محرك الطائرة عزمًا داخليًا للنظام فتكون كمية الحركة الزاوية محفوظة وتساوي صفرًا، أي أن جسم الطائرة سيدور عند الإقلاع باتجاه معاكس لدوران المروحة. لذا تُثبَّت على جانب الذيل مروحة صغيرة تدور رأسيًا متعامدة على المروحة الرئيسة للتحكم في الاتجاه والتغلب على رد الفعل المضاد، أو تُجهّز الطائرة بمروحة كبيرة أخرى تدور عكس الأولى فتصبح محصلة كمية الحركة الزاوية صفرًا ويمتنع دورانها.
مثال (1): كتلتان متعاكستان
كتلتان قصور كل منهما 1 × 10⁻³kg.m²، الأولى تدور 5rad/s بالاتجاه الموجب والثانية 8rad/s بالاتجاه المعاكس. احسب (أ) L لكل كتلة (ب) L للنظام.
إظهار الإجابة
(أ) L₁ = 1 × 10⁻³ × 5 = 5 × 10⁻³kg.m²/s (موجبة) · L₂ = 1 × 10⁻³ × (−8) = −8 × 10⁻³kg.m²/s (سالبة) · (ب) Lsystem = L₁ + L₂ = −3 × 10⁻³kg.m²/s ؛ فالمحصلة باتجاه الكتلة ذات السرعة الزاوية الأكبر لأن L تتناسب طرديًا مع السرعة الزاوية.
2. كمية الحركة الزاوية (L) وعزم الدوران (τ)
استنتج العلاقة بين محصلة العزوم وكمية الحركة الزاوية.
إظهار الإجابة
كما تسبب محصلة القوى تغير كمية الحركة الخطية، فإن محصلة العزوم تسبب تغيير السرعة الزاوية: Στ = Iθ″ = I dω/dt = d(Iω)/dt ، و L = Iω ⇐ Στ = dL/dt.
4. تطبيقات على حفظ كمية الحركة الزاوية
اذكر ثلاثة تطبيقات عملية على حفظ كمية الحركة الزاوية.
إظهار الإجابة
(1) تغيّر السرعة الدورانية للمتزلّج على الجليد عندما يغيّر قصوره الذاتي بتغيير وضعية جسمه (شكل 88) · (2) لاعب الجمباز يدور بحرية في غياب عزم قوة غير متوازن، فتبقى كمية حركته الزاوية ثابتة عند تحريك أجزاء جسمه نحو المحور أو بعيدًا عنه مما يغير قصوره الذاتي (شكل 89: الشقلبة الأمامية) · (3) صعوبة سقوط راكب الدراجة وهي تتحرك بسرعة أكبر وسهولته عندما تكون ساكنة.
علّل: يصعب سقوط راكب الدراجة عندما تتحرك بسرعة كبيرة.
إظهار الإجابة
لأن العجلة التي تدور بمستوى معين لا يمكن تغيير مستوى دورانها بسهولة ما لم يؤثر فيها عزم جانبي خارجي؛ فهي تملك استمرارية في الدوران في مستواها لامتلاكها كمية حركة زاوية كبيرة تساعد الراكب على التوازن.
5. تغيّر القصور الذاتي الدوراني للنظام
رجل على منضدة دوارة يحمل أوزانًا في يديه الممدودتين (شكل 90). ماذا يحدث لسرعته إذا ثنى يديه نحو جسمه؟ ولماذا؟
إظهار الإجابة
تزداد سرعته الدورانية. القوى الخارجية (وزن الجسم والأوزان رأسيًا إلى أسفل، ورد فعل المنضدة رأسيًا إلى أعلى) عزومها حول المحور صفر، فـ Στ = 0 وكمية الحركة الزاوية محفوظة: Iᵢωᵢ = I_fω_f ⇐ ω_f = Iᵢωᵢ / I_f ، وبما أن I_f < Iᵢ فإن ω_f > ωᵢ.
مثال (2): كرة مربوطة بخيط يمر في ثقب
كرة 100g بخيط يمر في ثقب على سطح أملس، تدور في مسار نصف قطره 60cm بسرعة مماسية 2.8m/s، ثم يُشد الخيط ليصبح نصف القطر 30cm (شكل 91). احسب السرعة الزاوية النهائية.
إظهار الإجابة
الحركة منتظمة فمحصلة العزوم صفر و L محفوظة: Iᵢωᵢ = I_fω_f ⇐ ω_f = (mr²)ωᵢ/(mr′²) ، و v = rω ⇐ ω_f = r v / r′² = (0.6 × 2.8)/(0.3)² = 18.66rad/s ، بينما ωᵢ = v/r = 4.7rad/s ؛ فتقصير الخيط يقلل القصور الذاتي ويزيد السرعة الزاوية.
فقرة إثرائية: الربط بعلم الفلك – المجرات الحلزونية
كيف يفسّر حفظ كمية الحركة الزاوية شكل المجرات الحلزونية؟
إظهار الإجابة
كتلة كروية من الغاز في الفضاء تتقلص تحت تأثير جاذبيتها، ولو كانت تدور دورانًا خفيفًا فلديها كمية حركة زاوية يجب أن تبقى ثابتة؛ فكلما انكمش الغاز قلّ عزم قصوره الدوراني فتدور كرة الغاز أسرع (كالمتزلجة التي تطوي ذراعيها) وتتسطح عند قطبيها كالأرض. فإذا كانت للكرة الكبيرة المستديرة كمية تحرك زاوي فإنها تدور في سطح أفقي نصف قطره أكبر من سمكها ويمكن أن تصبح مجرة حلزونية، مثل مجرتنا درب التبانة.
الأنشطة والتقويم (مراجعة الدرس 2-4)
أولًا: متزلجة تثني ذراعيها فيقل قصورها الذاتي إلى النصف، فبأي قدر يزداد معدل دورانها؟
إظهار الإجابة
Iᵢωᵢ = (½Iᵢ)ω_f ⇐ ω_f = 2ωᵢ ، أي يتضاعف.
ثانيًا: ماذا يحدث لكمية الحركة الزاوية للاعب الجمباز عندما يغيّر ترتيب جسمه أثناء شقلبته؟ وماذا يحدث لسرعته الزاوية؟
إظهار الإجابة
تبقى كمية الحركة الزاوية ثابتة (محفوظة)، بينما تتغير سرعته الزاوية: تزداد عند ضم أجزاء جسمه نحو المحور (يقل قصوره) وتقل عند مدها بعيدًا عنه.
ثالثًا: ولد 45kg على حافة منضدة دوارة 200kg نصف قطرها 3m تدور بسرعة 4rad/s (للجسم I = mr² ، للقرص I = ½mr²). احسب السرعة الزاوية حين يقف الولد على بعد 1.5m من المحور.
إظهار الإجابة
Iᵢ = 45 × 9 + ½ × 200 × 9 = 1305kg.m² · I_f = 45 × 2.25 + 900 = 1001.25kg.m² · ω_f = 1305 × 4 / 1001.25 ≈ 5.21rad/s.
رابعًا: الزمن الدوري للمشتري حول محوره tᵢ = 9.8h. ما الزمن الدوري إذا أصبح نصف قطره نصف قطره الحالي وكتلته ثلاثة أرباع كتلته الحالية؟ (I = (2/5)mr²).
إظهار الإجابة
L = Iω = I × 2π/T ثابتة ⇐ T ∝ I · I_f = (¾)(½)² Iᵢ = (3/16) Iᵢ ⇐ T_f = 9.8 × 3/16 ≈ 1.84h.
خامسًا: عصا رفيعة M₁ وطولها L تدور حول أحد طرفيها بسرعة ωᵢ، وُضعت كتلة m على طرفها الآخر (شكل 92). احسب السرعة الزاوية النهائية (Iعصا = ⅓ML² ، Iجسم = mr²).
إظهار الإجابة
⅓M₁L²ωᵢ = (⅓M₁L² + mL²)ω_f ⇐ ω_f = M₁ωᵢ / (M₁ + 3m).
م٢
مراجعة الفصل الثاني وأسئلة مراجعته
الفصل الثاني: ميكانيكا الدوران · صفحات 85–89خريطة مفاهيم الفصل
نظّم: العزم، العزم المضاد، القانون الأول/الثاني/الثالث لنيوتن، كمية الحركة الزاوية، العجلة الزاوية، القصور الذاتي الدوراني.
إظهار الإجابة
العزم ← يسبب الدوران · القانون الأول: بغياب العزم يبقى الجسم على حالته (القصور الذاتي الدوراني) · القانون الثاني: العزم = القصور الذاتي الدوراني × العجلة الزاوية · القانون الثالث: لكل عزم عزم مضاد · كمية الحركة الزاوية = القصور الذاتي الدوراني × السرعة الزاوية، ومعدل تغيرها = العزم.
تحقق من فهمك
(١) يكون عزم قوة ثابتة مساويًا للصفر عندما: تتغير السرعة الزاوية / تكون القوة متعامدة مع ذراعها / يكون اتجاه القوة موازيًا لذراعها / تكون العجلة الزاوية لا تساوي صفرًا.
إظهار الإجابة
يكون اتجاه القوة موازيًا لذراعها (sin 0 = 0).
(٢) اختر العبارة الخاطئة: تكون الحركة الدائرية منتظمة إذا كانت العجلة المماسية صفرًا / إذا كان حاصل جمع القوى المؤثرة في الجسم صفرًا / إذا كان حاصل جمع العزوم صفرًا / إذا كانت السرعة الزاوية ثابتة.
إظهار الإجابة
الخاطئة: «إذا كان حاصل جمع القوى المؤثرة في الجسم صفرًا»؛ فالشرط هو انعدام محصلة العزوم (العجلة الزاوية صفر).
(٣) مسطرة مقسمة عليها 30kg عند الطرف الأيسر و90kg عند الطرف الأيمن، والمحاور A ، B ، C ، D. حول أي محور يكون حاصل جمع العزوم صفرًا؟
إظهار الإجابة
B (بإهمال كتلة المسطرة): الكتلة 30kg تبعد عن B خمسة عشر قسمًا والكتلة 90kg تبعد عنه خمسة أقسام: 30 × 15 = 90 × 5.
(٤) يدور إلكترون حول نواة الهيدروجين بسرعة مماسية 2200km/s. ما نصف قطر المسار؟ (m = 9.11 × 10⁻³¹kg ، e = 1.6 × 10⁻¹⁹C ، 1/4πε₀ = 9 × 10⁹N.m²/C²)
إظهار الإجابة
قوة الجذب الكهربائية = القوة المركزية: k e²/r² = m v²/r ⇐ r = k e²/(m v²) = (9 × 10⁹ × 2.56 × 10⁻³⁸)/(9.11 × 10⁻³¹ × 4.84 × 10¹²) ≈ 5.22 × 10⁻¹¹m.
تحقق من معلوماتك
(١) في أي مكان يجب أن تُركل كرة القدم لتنطلق دون أن تنقلب؟
إظهار الإجابة
في نقطة على خط مستقيم مع مركز ثقلها، بحيث يمر خط عمل القوة بمركز الثقل.
(٢) عندما تتأرجح ساقك من مفصل الفخذ، لماذا يقل القصور الذاتي الدوراني عند ثنيها؟
إظهار الإجابة
لأن كتلة الساق تتوزع أقرب إلى محور الدوران (مفصل الفخذ).
(٣) كيف يمكن مقارنة العزم مع اتجاه عقارب الساعة وعكسه في النظام المتزن؟
إظهار الإجابة
يتساويان: ΣτC.W = ΣτA.C.W (محصلة العزوم صفر).
(٤) فسّر لماذا لا تستطيع، وأنت ملاصق للحائط، أن تميل لتلمس أصابع قدميك دون أن تنقلب.
إظهار الإجابة
لأن مركز الثقل ينتقل إلى الأمام خارج المساحة الحاملة (القدمين)، فينشأ عزم لوزنك حول القدمين يسبب الانقلاب.
(٥) ما الكميتان اللتان تؤثران في القصور الذاتي الدوراني؟
إظهار الإجابة
كتلة الجسم، وتوزيع هذه الكتلة (بعدها) بالنسبة إلى محور الدوران.
تحقق من مهاراتك
(١) كتلتان لهما I = 4 × 10⁻³kg.m²، الأولى تدور 5rad/s موجبًا والثانية 8rad/s معاكسًا. احسب (أ) L لكل منهما (ب) L للنظام.
إظهار الإجابة
(أ) L₁ = 4 × 10⁻³ × 5 = 2 × 10⁻²kg.m²/s · L₂ = 4 × 10⁻³ × (−8) = −3.2 × 10⁻²kg.m²/s · (ب) L = −1.2 × 10⁻²kg.m²/s.
(٢) (أ) احسب L لكرة حديد 5kg تتأرجح في دائرة أفقيًا بسرعة 3m/s عند نهاية حبل طوله 4m (ب) ما L عند مضاعفة كل من السرعة وطول الخيط؟
إظهار الإجابة
(أ) L = m v r = 5 × 3 × 4 = 60kg.m²/s · (ب) L = 5 × 6 × 8 = 240kg.m²/s (أربعة أضعاف).
(٣) كرة غاز تنكمش فيقل قصورها الذاتي الدوراني إلى العُشر. احسب سرعتها الزاوية.
إظهار الإجابة
Iᵢωᵢ = (Iᵢ/10)ω_f ⇐ ω_f = 10ωᵢ (عشرة أضعاف).
(٤) (أ) عزم قوة عمودية 50N عند نهاية مفتاح طوله 0.2m (ب) العزم نفسه عند وصل أنبوبة ليصبح الطول 0.5m.
إظهار الإجابة
(أ) τ = 50 × 0.2 = 10N.m · (ب) τ = 50 × 0.5 = 25N.m.
(٥) وعاء للزهور 60kg معلق بحبل يمر في تجويف بكرة نصف قطرها 0.60m (شكل 93). احسب عزم وزن الوعاء حول محور البكرة.
إظهار الإجابة
τ = m g r = 60 × 10 × 0.6 = 360N.m (باعتبار g = 10m/s²).
(٦) أسطوانة تحت محصلة عزوم 50N.m تدور من السكون فتتغير إزاحتها الزاوية من صفر إلى 100rad في 2s، ثم يُوقف العزم فتتوقف بفعل عزم الاحتكاك في 80s. احسب (أ) قصورها الذاتي (ب) عزم الاحتكاك.
إظهار الإجابة
(أ) θ = ½θ″t² ⇐ θ″ = 2 × 100/4 = 50rad/s² ⇐ I = τ/θ″ = 50/50 = 1kg.m² · (ب) ω = 50 × 2 = 100rad/s ، θ″ = −100/80 = −1.25rad/s² ⇐ τf = Iθ″ = −1.25N.m.
التواصل ونشاط بحثي
التواصل: (١) اكتب مقالًا عن استخدام الجيروسكوب في الطائرات (٢) اكتب مقالًا تقارن فيه الكتلة والقصور الذاتي الدوراني.
إظهار الإجابة
(١) يُبنى على مبدأ حفظ كمية الحركة الزاوية: الجسم الذي يدور في مستوى معين يحتفظ بمستوى دورانه ما لم يؤثر فيه عزم خارجي (كما في عجلة الدراجة) · (٢) الكتلة مقياس القصور الذاتي الخطي وتعتمد على مقدار المادة، والقصور الذاتي الدوراني يعتمد على الكتلة وتوزيعها وموضع المحور ووحدته kg.m²، ويحل محل الكتلة في قوانين نيوتن الدورانية (جدول 2).
نشاط بحثي: ما المطلوب؟
إظهار الإجابة
سعى الإنسان قديمًا لإيجاد آلات تساعده على القيام بأعماله بشكل أسهل فاكتشف الآلات البسيطة واستخدمها؛ والمطلوب بحث يُظهر أنواع الآلات البسيطة وأهمية الحركة الدائرية (الدورانية) في عملها.
٨
الدرس 3-1: كمية الحركة والدفع (Momentum and Impulse)
الفصل الثالث: كمية الحركة الخطية · صفحات 90–98مدخل الفصل الثالث: كمية الحركة الخطية
ما دروس الفصل الثالث؟
إظهار الإجابة
١) كمية الحركة والدفع · ٢) حفظ (بقاء) كمية الحركة والتصادمات.
لماذا تُعد كمية الحركة مفتاح نجاح كثير من الألعاب الرياضية؟
إظهار الإجابة
في البيسبول وكرة القدم والهوكي على الجليد والتنس يحلم كل لاعب بضرب الكرة لمسافة طويلة جدًا؛ وخلال تصادم الكرة بالمضرب يحدث تغيّر في سرعة كل منهما وبالتالي تغير في كمية الحركة، وهذا التغير يحدد نجاح الضربة وسرعة انطلاقها من جديد.
أهداف الدرس ومدخله
ما أهداف درس كمية الحركة والدفع؟
إظهار الإجابة
١) يعرّف كمية الحركة · ٢) يعرّف الدفع I · ٣) يستنتج العلاقة بين الدفع والتغير في كمية الحركة · ٤) يستخدم قانون الدفع وكمية الحركة في حل التطبيقات العددية وتفسير الظواهر والمشاهدات الحياتية · ٥) يستنتج القانون الثاني لنيوتن بدلالة التغير في كمية الحركة.
ما الأسئلة التي يثيرها الدرس؟ وما المفهوم المطلوب لفهمها؟
إظهار الإجابة
كيف يكسر لاعب الكاراتيه مجموعة ألواح خشبية بضربة بحرف يده (شكل 94)؟ ولماذا السقوط على أرض خشبية أقل ألمًا من السقوط على أرض إسمنتية؟ ولفهمها نتذكر مفهوم القصور الذاتي: بالنسبة إلى جسم ساكن، وبالنسبة إلى جسم متحرك؛ ويهتم الدرس بالقصور الذاتي أثناء حركة الجسم الخطية وهو كمية الحركة الخطية.
1. كمية الحركة
علّل: إيقاف شاحنة كبيرة أصعب من إيقاف سيارة صغيرة تسير بنفس السرعة (شكل 95).
إظهار الإجابة
لأن القصور الذاتي للشاحنة المتحركة (بسبب كتلتها الكبيرة) أكبر من القصور الذاتي للسيارة، أي أن كمية حركة الشاحنة أكبر رغم تساوي سرعتيهما.
سيارتان لهما الكتلة نفسها وتسيران بسرعتين مختلفتين؛ أيهما إيقافها أسهل؟
إظهار الإجابة
السيارة الأبطأ؛ فللسرعة تأثير في كمية الحركة. فكمية الحركة تتوقف على كتلة الجسم المتحرك وسرعته.
تذكير بجمع المتجهات ومتجه الوحدة
ما متجهات الوحدة في النظام الكارتيزي؟ وما خواص ضربها النقطي؟
إظهار الإجابة
i⃗ على محور x′x ، j⃗ على y′y ، k⃗ على z′z · الضرب النقطي لمتجهين متعامدين صفر: i⃗·j⃗ = i⃗·k⃗ = j⃗·k⃗ = 0 · ولمتجه الوحدة بنفسه 1: i⃗·i⃗ = j⃗·j⃗ = k⃗·k⃗ = 1 · ومتجه الوحدة لأي متجه v⃗ هو u⃗ = v⃗ / v.
مثال (1): كمية حركة نظام من ثلاث كتل
P⃗₁ = 5i⃗ ، P⃗₂ = −8i⃗ ، P⃗₃ = 4j⃗ (شكل 97). احسب كمية الحركة المتجهة للنظام.
إظهار الإجابة
P⃗ = P⃗₁ + P⃗₂ + P⃗₃ = 5i⃗ − 8i⃗ + 4j⃗ = −3i⃗ + 4j⃗ (ويمكن التحقق بيانيًا بمقياس رسم مناسب).
2. الدفع يغيّر كمية الحركة
ماذا يعني تغيّر كمية حركة جسم كتلته ثابتة؟
إظهار الإجابة
يعني تغير سرعته المتجهة، أي حدوث عجلة للحركة، وهذا يعني وجود قوة تؤثر في الجسم وتغير كمية حركته؛ وكلما كان تأثير القوة أكبر كان التغير في السرعة وفي كمية الحركة أكبر، وكلما طالت مدة تأثير القوة كان التغير أكبر. فالقوة والزمن عاملان ضروريان لإحداث تغير في كمية الحركة.
كيف يُحسب الدفع إذا كانت القوة متغيرة خلال فترة تأثيرها (شكل 98)؟
إظهار الإجابة
كما في كرة القدم: تزداد القوة من صفر لحظة التماس إلى قيمة عظمى ثم تتناقص إلى أن تتلاشى لحظة انفصال الكرة؛ والمساحة تحت منحنى (القوة – الزمن) تمثل عدديًا مقدار الدفع.
ملاحظة: ما المقصود بالسؤال عن القوة المسببة للدفع في هذا الدرس؟
إظهار الإجابة
يُقصد به دائمًا متوسط القوة وليس القوة المتغيرة.
ما الدور الذي يؤديه زمن تغير كمية الحركة (شكل 100)؟
إظهار الإجابة
(أ) إذا حدث التغير في فترة زمنية أطول (سيارة تصطدم بكومة قش) يكون تأثير قوة الدفع أقل · (ب) إذا حدث في فترة قصيرة (اصطدام بحائط إسمنتي) يكون تأثير القوة أكبر.
فقرة إثرائية: الدفع ووسائل الأمان
كيف تحمي الحقيبة الهوائية (Air Bag) قائد السيارة؟
إظهار الإجابة
توجد داخل عجلة القيادة وتُفتح آليًا عند اصطدام السيارة بشيء، فتزيد زمن التلامس، وبالتالي يقل تأثير القوة ويقل احتمال إصابة القائد بأذى.
علّل: السقوط على أرض خشبية أقل ألمًا من السقوط على أرض إسمنتية.
إظهار الإجابة
لأن الأرض الخشبية تزيد زمن التلامس فيحدث التغير في كمية الحركة في زمن أطول فيقل تأثير القوة (F = ΔP/Δt).
3. القانون الثاني لنيوتن
استنتج القانون الثاني لنيوتن بدلالة كمية الحركة.
إظهار الإجابة
ΣF⃗ = m a⃗ و a⃗ = Δv⃗/Δt ⇐ ΣF⃗ = mΔv⃗/Δt = Δ(mv⃗)/Δt = ΔP⃗/Δt ⇐ F⃗Δt = ΔP⃗ (معادلة الدفع نفسها)، وإذا كانت Δt صغيرة جدًا وتؤول إلى الصفر: ΣF⃗ = dP⃗/dt.
مثال (2)
كتلة 1kg تتحرك بسرعة 10m/s في الاتجاه الموجب لمحور x، أثّرت عليها قوة منتظمة 4s فخفّضت سرعتها إلى 2m/s دون تغيير اتجاهها. احسب: (أ) كمية الحركة قبل وبعد (ب) الدفع (ج) القوة واتجاهها.
إظهار الإجابة
(أ) P⃗ᵢ = 1 × 10i⃗ = 10i⃗kg.m/s · P⃗f = 2i⃗kg.m/s · (ب) I⃗ = m(v⃗f − v⃗ᵢ) = 1(2 − 10)i⃗ = −8i⃗N.s ، والإشارة السالبة تعني أن الدفع معاكس لاتجاه الحركة ومقداره 8N.s · (ج) F⃗ = I⃗/Δt = −8i⃗/4 = −2i⃗N ، اتجاهها معاكس للحركة.
الأنشطة والتقويم (مراجعة الدرس 3-1)
أولًا: عرّف كمية الحركة لكتلة نقطية كتلتها m.
إظهار الإجابة
حاصل ضرب الكتلة ومتجه السرعة P⃗ = m v⃗ ، كمية متجهة بنفس اتجاه السرعة ووحدتها kg.m/s.
ثانيًا: عرّف الدفع على كتلة نقطية.
إظهار الإجابة
حاصل ضرب مقدار القوة في زمن تأثيرها على الجسم I⃗ = F⃗Δt ، ويساوي التغير في كمية الحركة، ووحدته N.s.
ثالثًا: استخدم ΣF⃗ = m a⃗ لاستنتاج معادلة تربط بين (أ) القوة وكمية الحركة (ب) الدفع وكمية الحركة.
إظهار الإجابة
(أ) ΣF⃗ = ΔP⃗/Δt (أو dP⃗/dt) · (ب) F⃗Δt = I⃗ = ΔP⃗.
رابعًا: جسم ساكن 100g تعرّض لقوة 100N لمدة 0.01s. احسب (أ) التغير في كمية الحركة (ب) سرعته النهائية.
إظهار الإجابة
(أ) ΔP = FΔt = 100 × 0.01 = 1kg.m/s · (ب) v = ΔP/m = 1/0.1 = 10m/s.
خامسًا: قوة 30000N لمدة 4s في كتلة 950kg. احسب (أ) الدفع (ب) التغير في كمية الحركة (ج) التغير في السرعة.
إظهار الإجابة
(أ) I = 30000 × 4 = 120000N.s · (ب) ΔP = 120000kg.m/s · (ج) Δv = 120000/950 ≈ 126.3m/s.
سادسًا: كرة 0.15kg سرعتها لحظة اصطدامها بالأرض 6.5m/s (إلى أسفل) وارتدادها 3.5m/s (إلى أعلى) (شكل 101). احسب القوة المؤثرة من الأرض إذا استمر الاصطدام 0.025s.
إظهار الإجابة
باعتبار الأعلى موجبًا: ΔP = 0.15(3.5 − (−6.5)) = 1.5kg.m/s ⇐ F = 1.5/0.025 = 60N ، اتجاهها رأسيًا إلى أعلى.
٩
الدرس 3-2: حفظ (بقاء) كمية الحركة والتصادمات
الفصل الثالث: كمية الحركة الخطية · صفحات 99–109الأهداف العامة والمدخل
ما أهداف درس حفظ كمية الحركة والتصادمات؟
إظهار الإجابة
١) يستنتج قانون حفظ (بقاء) كمية الحركة · ٢) يذكر قانون حفظ كمية الحركة · ٣) يفسّر بعض المشاهدات اعتمادًا عليه · ٤) يطبّقه في حل مسائل عددية · ٥) يعرّف التصادم · ٦) يميّز بين أنواع التصادم · ٧) يحسب سرعة الأجسام الخطية بعد تصادمها بالنسبة إلى سرعتها الابتدائية.
ما الأسئلة التي تثيرها كرة بلياردو تصطدم بكرة ساكنة (شكل 102)؟
إظهار الإجابة
كمية حركة كل كرة تختلف بعد الاصطدام: الساكنة ستتحرك (تزيد كمية حركتها)، والمتحركة قد تنخفض سرعتها فتنقص كمية حركتها. فهل كمية الحركة التي اكتسبتها الأولى تساوي ما خسرته الثانية؟ هل كمية الحركة محفوظة؟ هل ستتوقف الثانية أم تتابع؟ هل لكتلة الكرتين تأثير؟ هل نستطيع معرفة السرعة بعد التصادم؟ وهل لزاوية التصادم أهمية في تحديد الاتجاه والمقدار؟
1. حفظ (بقاء) كمية الحركة
هل تُحدث القوى الداخلية تغييرًا في كمية حركة الجسم؟ مثّل.
إظهار الإجابة
لا؛ فقوى التفاعل بين جزيئات الغاز داخل كرة القدم (شكل 103) ليس لها تأثير في تغيير سرعتها وكمية حركتها، وإذا دفعتَ مقعد السيارة الأمامي وأنت جالس على الخلفي لا تُحدث تغييرًا في كمية حركة السيارة؛ فحسب القانون الثالث لنيوتن هذه قوى داخلية على شكل زوج من القوى المتزنة يلغي تأثيرها داخل الجسم.
اذكر أنظمة تتصف بحفظ كمية الحركة، وأخرى لا تتصف به.
إظهار الإجابة
محفوظة: النشاط الإشعاعي للذرات، تصادم السيارات، انفجار النجوم، التفاعل بين جزيئات الغاز داخل الكرة · غير محفوظة (توجد قوى خارجية): قوة الاحتكاك على سيارة متحركة في خط مستقيم تغير مقدار السرعة، والحركة الدائرية حيث يتغير اتجاه السرعة.
نشاط: الزلاجة وكمية الحركة
قف على زلاجة ساكنة واقذف جسمًا للأمام أو الخلف. ماذا تلاحظ؟ ولماذا؟ وهل يحدث ارتداد إذا كنت متحركًا؟
إظهار الإجابة
ترتد في اتجاه معاكس لقذفك؛ لأن كمية حركة الجسم المقذوف تساوي كمية حركة الارتداد فتكون محصلة التغير صفرًا، أي هناك حفظ لكمية الحركة. وعند التكرار وأنت متحرك يتغير مقدار سرعتك (يحدث ارتداد) مع بقاء كمية حركة النظام ثابتة.
2. سرعة ارتداد المدفع
فسّر ارتداد المدفع عند إطلاق القذيفة (شكل 104).
إظهار الإجابة
قبل الإطلاق النظام ساكن، ووزنه يساوي رد الفعل ΣFext = 0 فـ P⃗ᵢ = 0. عند الإطلاق ينفجر البارود ويولد غازًا يقذف القذيفة للأمام ويرتد المدفع للخلف (رد فعل مساوٍ ومعاكس)، وهذه قوى داخلية فتبقى كمية حركة النظام محفوظة: m₁v⃗′₁ + m₂v⃗′₂ = 0 ⇐ v⃗′₁ = −(m₂/m₁)v⃗′₂ ؛ فالسرعتان متعاكستان في الاتجاه. ويمكن دراسة ارتداد البندقية أو أي سلاح بالطريقة نفسها.
مسألة للتفكير: خلال انفجار القذيفة في نظام مدفع–قذيفة، هل يتغير موضع مركز ثقل النظام؟
إظهار الإجابة
لا؛ لأن القوى المؤثرة داخلية والنظام معزول فكمية حركته محفوظة (صفر)، فيبقى مركز الثقل ثابتًا.
مسألتان مع إجابات
(١) انفجر جسم 200g إلى نصفين متساويين، سرعة الأول v′₁ = −0.1m/s. احسب سرعة الثاني.
إظهار الإجابة
v′₂ = 0.1m/s بالاتجاه الموجب على المحور x′x.
(٢) رجل 76kg على لوح خشبي طافٍ 45kg خطا بعيدًا عنه باتجاه اليابسة بسرعة 2.5m/s. كم سرعة اللوح؟
إظهار الإجابة
v = −4.2m/s (بعكس اتجاه الرجل).
مثال (1): كتلتان وزنبرك
m₁ = 1kg و m₂ = 2kg مربوطتان بخيط تضغطان زنبركًا على سطح أملس، عند حرق الخيط تتحرك m₁ بسرعة v′₁ = 1.8i⃗ m/s (شكل 105). (أ) هل كمية الحركة محفوظة؟ (ب) احسب v′₂.
إظهار الإجابة
(أ) نعم؛ قوة الزنبرك داخلية، ومحصلة القوى الخارجية (الوزنان وردّا الفعل) صفر · (ب) P⃗ᵢ = 0 ⇐ 0 = m₁v′₁ + m₂v′₂ ⇐ v′₂ = −(1 × 1.8i⃗)/2 = −0.9i⃗ m/s ؛ الكتلة الكبيرة أبطأ وتتحرك بالاتجاه المعاكس.
3. التصادمات
علّل: يُعتبر نظام الأجسام المتصادمة (أو المنفجرة) نظامًا معزولًا.
إظهار الإجابة
لأن التصادم أو الانفجار يستمر لفترة زمنية قصيرة جدًا تكون خلالها القوى الخارجية مهملة مقارنة بالقوى الداخلية المسببة للتصادم أو الانفجار.
4. أنواع التصادمات
اذكر أمثلة على التصادم المرن.
إظهار الإجابة
تصادم الجزيئات الصغيرة والذرات، وتصادم كرتين من المطاط (شكل 107) حيث لا يحدث تشوه في شكلهما وتُنقل كمية الحركة أو يُعاد توزيعها بلا فقدان، ويُدرس على مضمار هوائي (شكل 108: بوابات ضوئية، ركاب، ساعة إيقاف، أسلاك توصيل).
فقرة إثرائية: اشتقاق سرعتي التصادم المرن
كيف نستنتج سرعتي الجسمين بعد التصادم المرن؟
إظهار الإجابة
من حفظ كمية الحركة: m₁(v₁ − v′₁) = m₂(v′₂ − v₂) … (1) · ومن حفظ الطاقة الحركية: m₁(v₁ − v′₁)(v₁ + v′₁) = m₂(v′₂ − v₂)(v′₂ + v₂) … (2) · بقسمة (2) على (1): v₁ + v′₁ = v′₂ + v₂ ، وبحل المعادلتين: v′₁ = [(m₁ − m₂)/(m₁ + m₂)]v₁ + [2m₂/(m₁ + m₂)]v₂ ، v′₂ = [2m₁/(m₁ + m₂)]v₁ + [(m₂ − m₁)/(m₁ + m₂)]v₂.
مثال (2): نيوترون يصطدم بجسيم ساكن
نيوترون m = 1.67 × 10⁻²⁷kg بسرعة 10⁸i⃗ m/s يصطدم مرنًا في بعد واحد بجسيم ساكن كتلته ضعف كتلته (شكل 109). احسب السرعتين بعد التصادم.
إظهار الإجابة
كمية الحركة: v′₁ + 2v′₂ = 10⁸ … (1) · الطاقة: v′₁² + 2v′₂² = 10¹⁶ … (2) · الحل: v′₁ = −⅓ × 10⁸ i⃗ m/s ، v′₂ = ⅔ × 10⁸ i⃗ m/s ؛ الإشارة السالبة تدل على ارتداد النيوترون بعد اصطدامه بكتلة أكبر بمرتين.
مسألتان مع إجابات
(١) كرة 0.25kg سرعتها 6m/s تصادمت مع كرة ساكنة 0.95kg (نظام معزول). احسب سرعة الصغيرة بعد التصادم إذا كانت سرعة الكبيرة 3m/s.
إظهار الإجابة
v = −5.4m/s (بعكس اتجاهها قبل التصادم).
(٢) كرة 200g بسرعة 2i⃗ m/s اصطدمت مرنًا بكرة ساكنة مماثلة. احسب سرعتيهما.
إظهار الإجابة
v′₁ = 0m/s ، v′₂ = 2m/s.
(ب) التصادم اللامرن واللامرن كليًا
ما البندول القذفي؟ وعلامَ يقوم مبدأ عمله (شكل 110)؟
إظهار الإجابة
جهاز يُستخدم لقياس سرعة القذائف السريعة مثل الرصاصة، قد يحتاجه محققو الشرطة لتحديد مكان وسرعة إطلاق الرصاصة. يقوم على قوانين حفظ كمية الحركة والطاقة الميكانيكية: تُطلق الرصاصة نحو مكعب خشب كبير معلق بحبال خفيفة غير قابلة للشد فتستقر داخله وتجعله ينحرف بزاوية ليصل إلى ارتفاع h يشير إلى سرعة الرصاصة الأولية.
عربة شحن m بسرعة 4m/s تصطدم بعربة ساكنة مساوية وتلتحمان (شكل 111). احسب السرعة وقارن الطاقة.
إظهار الإجابة
mv₁ + 0 = 2mv′ ⇐ v′ = v₁/2 = 2m/s ؛ و KEᵢ > KEf ، فلا يتساوى مجموع الطاقة الحركية قبل التصادم وبعده في التصادمات اللامرنة كما هو الحال في المرنة.
مثال (3): كرتا صلصال
كرة صلصال 0.5kg تتحرك يمينًا بـ 4m/s وأخرى 0.25kg يسارًا بـ 3m/s، تصادمتا تصادمًا لامرنًا كليًا. احسب (أ) سرعة النظام (ب) التغير في الطاقة الحركية.
إظهار الإجابة
(أ) 0.5(4i⃗) + 0.25(−3i⃗) = 0.75v⃗ ⇐ v⃗ = 1.67i⃗ m/s · (ب) KEᵢ = ½(0.5)(16) + ½(0.25)(9) = 5.125J ، KEf = ½(0.75)(1.67²) = 1.05J ⇐ ΔKE = −4.079J ؛ الإشارة السالبة خسارة في الطاقة الحركية لأن التحام الجسمين يؤدي إلى ظهور جزء كبير منها طاقة حرارية.
الأنشطة والتقويم (مراجعة الدرس 3-2)
أولًا: اذكر نص قانون حفظ كمية الحركة.
إظهار الإجابة
كمية حركة النظام، في غياب القوى الخارجية المؤثرة، تبقى ثابتة ومنتظمة ولا تتغير.
ثانيًا: عرّف التصادم المرن.
إظهار الإجابة
تصادم تكون فيه الطاقة الحركية للنظام محفوظة (إضافة إلى كمية الحركة)، ولا ينتج تشوهًا ولا حرارة.
ثالثًا: قارن بين التصادم اللامرن والتصادم اللامرن كليًا.
إظهار الإجابة
في الحالتين الطاقة الحركية غير محفوظة وكمية الحركة محفوظة · اللامرن: ترتد الأجسام بعيدًا عن بعضها بسرعات مختلفة · اللامرن كليًا: تلتحم الأجسام لتصبح جسمًا واحدًا يتحرك بسرعة واحدة.
رابعًا: جسم 0.3kg يتحرك بـ 2m/s يصطدم مرنًا خطيًا بكتلة ساكنة 0.7kg. (أ) السرعتان بعد التصادم (ب) المسافة بينهما بعد 2.5s.
إظهار الإجابة
(أ) v′₁ = [(0.3 − 0.7)/1] × 2 = −0.8m/s (يرتد) · v′₂ = [0.6/1] × 2 = 1.2m/s · (ب) d = (1.2 + 0.8) × 2.5 = 5m.
خامسًا: كرة 200g بسرعة 1m/s على x′x تصادمت مرنًا في بعدين بكرة ساكنة 150g، فاتجهت الأولى بزاوية 50° فوق المحور والثانية 40° أسفله (شكل 112). احسب السرعتين.
إظهار الإجابة
بحفظ كمية الحركة على المحورين: y: 0.2v′₁ sin 50 = 0.15v′₂ sin 40 · x: 0.2 × 1 = 0.2v′₁ cos 50 + 0.15v′₂ cos 40 ⇐ v′₁ ≈ 0.64m/s ، v′₂ ≈ 1.02m/s.
سادسًا: سمكة كبيرة 5kg تتحرك بـ 1m/s تبتلع سمكة صغيرة ساكنة 1kg. (أ) سرعة الكبيرة بعد الابتلاع (ب) سرعتها إذا كانت الصغيرة تسبح بعكس اتجاهها بـ 4m/s.
إظهار الإجابة
(أ) 5 × 1 = 6v ⇐ v ≈ 0.83m/s · (ب) 5 × 1 − 1 × 4 = 6v ⇐ v ≈ 0.17m/s باتجاه حركة الكبيرة.
سابعًا: كرتان m₁ = 200g و m₂ = 400g معلقتان بخيطين طول كل منهما 1m، سُحبت الثانية بزاوية 60° وتُركت تتحرك نحو الأولى الساكنة (شكل 113). (أ) سرعة m₂ قبل التصادم (ب) السرعتان بعد تصادم مرن (ج) الارتفاع الذي تصل إليه كل كرة.
إظهار الإجابة
(أ) h = L(1 − cos 60) = 0.5m ⇐ v = √(2 × 10 × 0.5) = √10 ≈ 3.16m/s · (ب) v′₂ = [(0.4 − 0.2)/0.6] × 3.16 ≈ 1.05m/s ، v′₁ = [0.8/0.6] × 3.16 ≈ 4.22m/s · (ج) h = v²/2g: m₁ ≈ 0.89m ، m₂ ≈ 0.056m.
ثامنًا: رصاصة 20g أُطلقت على بندول قذفي ساكن 5kg فارتفع 10cm بعد أن انغرزت فيه (شكل 114). (أ) سرعة الرصاصة (ب) هل التصادم مرن؟
إظهار الإجابة
(أ) V = √(2gh) = √(2 × 10 × 0.1) ≈ 1.414m/s ⇐ v = (5.02/0.02) × 1.414 ≈ 355m/s · (ب) لا؛ إنه تصادم لامرن كليًا لأن الرصاصة التحمت بالمكعب ولم تُحفظ الطاقة الحركية.
م٣
مراجعة الفصل الثالث وأسئلة مراجعته
الفصل الثالث: كمية الحركة الخطية · صفحات 110–114خريطة مفاهيم الفصل
نظّم: تغيّر كمية الحركة، أنظمة معزولة ΣF = 0، منتظمة السرعة، ΣF = dP/dt، أنظمة غير معزولة، حفظ كمية الحركة، القوة × الزمن، الدفع.
إظهار الإجابة
أنظمة معزولة (ΣF = 0) ← حفظ كمية الحركة ← منتظمة السرعة · أنظمة غير معزولة ← ΣF = dP/dt ← تغيّر كمية الحركة = الدفع = القوة × الزمن.
تحقق من فهمك
(١) مقدار الدفع لجسم متحرك (خلال نفس الزمن) يتناسب طرديًا مع: الطاقة الحركية / متوسط القوة / الطاقة المرنة / متوسط الكتلة.
إظهار الإجابة
متوسط القوة (I = FΔt).
(٢) أثناء تصادم جسمين، الكمية المحفوظة: كمية الحركة / الطاقة الحركية / الطاقة الحركية وكمية الحركة / الطاقة الميكانيكية.
إظهار الإجابة
كمية الحركة (محفوظة في كل التصادمات، أما الطاقة الحركية فتُحفظ في المرن فقط).
(٣) كمية الحركة الخطية لقمر صناعي يدور حول الأرض بسرعة خطية v: تتغير في الاتجاه على المسار / تبقى ثابتة لحفظ كمية الحركة / تتغير في المقدار لتغير دفع القوة / تساوي صفرًا لانعدام قوة الدفع.
إظهار الإجابة
تتغير في الاتجاه على المسار (لأن اتجاه السرعة يتغير في الحركة الدائرية).
(٤) القوى الداخلية في النظام هي: من أسباب التغير في كمية الحركة / من أسباب التغير في الطاقة الحركية / نتيجة التفاعل بين مكونات النظام / من أسباب حفظ كمية تحركه.
إظهار الإجابة
نتيجة التفاعل بين مكونات هذا النظام.
تحقق من معلوماتك
(١) هل يملك جسمان كمية الحركة نفسها إذا ملكا مقدار الطاقة الحركية نفسه؟
إظهار الإجابة
ليس بالضرورة؛ فـ P = √(2m·KE) تعتمد على الكتلة أيضًا، فيتساويان فقط إذا تساوت كتلتاهما (وتحرّكا بالاتجاه نفسه).
(٢) كيف تحمي الدفاعات المطاطية سيارات اللعب في مدينة الملاهي أثناء التصادم؟
إظهار الإجابة
تزيد زمن التصادم فيقل متوسط القوة المؤثرة (F = ΔP/Δt).
(٣) ما الشرط الضروري لتكون كمية الحركة محفوظة؟
إظهار الإجابة
أن يكون النظام معزولًا: محصلة القوى الخارجية المؤثرة فيه صفر ΣFext = 0.
تحقق من مهاراتك
(١) سيارة 1500kg تتحرك بـ 120km/h وقرر السائق إيقافها بالمكابح. (أ) هل كمية حركة النظام محفوظة؟ (ب) متوسط قوة المكابح لإيقافها في 8s.
إظهار الإجابة
(أ) لا؛ لوجود قوة خارجية (احتكاك المكابح) تغير كمية الحركة · (ب) v = 33.3m/s ⇐ F = ΔP/Δt = 1500 × 33.3/8 ≈ 6250N (عكس اتجاه الحركة).
(٢) جسم طاقته الحركية 150J وكمية حركته 30kg.m/s. احسب كتلته وسرعته.
إظهار الإجابة
KE = ½Pv ⇐ v = 2KE/P = 300/30 = 10m/s ⇐ m = P/v = 3kg.
(٣) تدور الأرض حول الشمس بسرعة 30km/s، كتلتها 6 × 10²⁴kg. (أ) كمية حركة مركز كتلتها (ب) هل كمية الحركة محفوظة؟
إظهار الإجابة
(أ) P = 6 × 10²⁴ × 3 × 10⁴ = 1.8 × 10²⁹kg.m/s · (ب) مقدارها ثابت لكن متجهها غير محفوظ لأن اتجاه السرعة يتغير باستمرار بسبب جذب الشمس (قوة خارجية).
(٤) متزلج 60kg ساكن، اتجه نحوه متزلج 40kg بسرعة 12km/h ليمسك به ويتحركا معًا. (أ) احسب v (ب) الطاقة الحركية قبل وبعد (ج) هل التصادم مرن؟
إظهار الإجابة
(أ) 12km/h = 3.33m/s ⇐ v = 40 × 3.33/100 ≈ 1.33m/s (4.8km/h) · (ب) KEᵢ = ½ × 40 × 3.33² ≈ 222J ، KEf = ½ × 100 × 1.33² ≈ 89J · (ج) لا؛ لامرن كليًا لأنهما التحما ونقصت الطاقة الحركية.
(٥) كرة حديد 2.5kg بخيط طوله 100cm مثبت عند O، سُحبت أفقيًا وتُركت لتصطدم مرنًا بمكعب ساكن 5kg (شكل 115). (أ) سرعة الكرة قبل الاصطدام (ب) السرعتان بعد التصادم.
إظهار الإجابة
(أ) v = √(2gL) = √20 ≈ 4.47m/s · (ب) v′كرة = [(2.5 − 5)/7.5] × 4.47 ≈ −1.49m/s (ترتد) ، v′مكعب = [5/7.5] × 4.47 ≈ 2.98m/s.
(٦) قوة متغيرة على جسم ساكن 2kg: 4N من 0 إلى 4s ، −2N من 4 إلى 8s ، 2N من 8 إلى 10s. احسب (أ) السرعة عند نهاية الثانية الرابعة (ب) الدفع خلال آخر ثانيتين (ج) الدفع الكلي (د) الطاقة الحركية في النهاية.
إظهار الإجابة
(أ) I = 4 × 4 = 16N.s ⇐ v = 8m/s · (ب) I = 2 × 2 = 4N.s · (ج) 16 − 8 + 4 = 12N.s · (د) v = 6m/s ⇐ KE = ½ × 2 × 36 = 36J.
التواصل ونشاط بحثي
التواصل: اكتب مقالًا (عشرة أسطر) تبين فيه سبب ثني المظلي ركبتيه أثناء ارتطامه بالأرض وانقلابه على جنبه بدلًا من الارتطام وساقاه ممدودتان.
إظهار الإجابة
الفكرة من الفصل: ثني الركبتين والانقلاب يزيدان زمن الاصطدام Δt، فيتحقق التغير نفسه في كمية الحركة في زمن أطول، فيقل متوسط القوة التي تبذلها الأرض على المظلي (F = ΔP/Δt).
نشاط بحثي: ما المطلوب؟
إظهار الإجابة
بحث يبيّن ما هو البندول القذفي وأهميته في تحديد مكان إطلاق الرصاصة وسرعتها (يستخدمه رجال الشرطة في حوادث إطلاق النار)، مع الإشارة إلى كيفية استخدام مبدأ حفظ كمية الحركة فيه، وتضمين القوانين والمعادلات الرياضية، وتأكيد كيفية الاستفادة من قانون حفظ كمية الحركة في حياتنا اليومية.
✎
اختبر نفسك
اختر الإجابة وسيظهر الصواب فورًاالنتيجة: 0 / 0
★ نصائح ليلة الاختبار
١) القوانين الأساسية: W = Fd cos θ · W = ½kΔx² · KE = ½mv² = ½Iω² · PE = mgh · ME = KE + PE · E = ME + U · ΔME = −ΔU · τ = Fd sin θ · C = F × d · I = I₀ + md² · Στ = Iθ″ · W = τθ · P = τω · L = Iω · P⃗ = mv⃗ · I⃗ = F⃗Δt = ΔP⃗.
٢) الوحدات: الشغل والطاقة J · العزم N.m · القصور الذاتي الدوراني kg.m² · كمية الحركة الزاوية kg.m²/s · كمية الحركة kg.m/s · الدفع N.s · القدرة W · ثابت المرونة N/m.
٣) الإشارات: الشغل موجب (0 ≤ θ < 90°) وسالب (90° < θ ≤ 180°) وصفر عند 90° · العزم وكمية الحركة الزاوية موجبان عكس عقارب الساعة · PE سالبة أسفل المستوى المرجعي · ΔKE سالبة في التصادم اللامرن.
٤) جدول القصور الذاتي: نقطية وحلقة mr² · قرص ½mr² · كرة صلبة (2/5)mr² · قشرة كروية (2/3)mr² · عصا من منتصفها (1/12)mL² ومن طرفها (1/3)mL².
٥) في «علّل»: اربط الجواب بالقانون – زيادة زمن التلامس تقلل القوة (F = ΔP/Δt)، وتقريب الكتلة من المحور يقلل I فتزداد ω (Iω ثابتة)، والقوة العمودية على الحركة لا تبذل شغلًا. ولا تنسَ أن التصادم يحفظ كمية الحركة دائمًا والطاقة الحركية في المرن فقط.