🎨 المسألة والسؤال باللون الأزرق · الحل والخطوات باللون الأخضر. المصدر الوحيد للمحتوى الرياضي هو كتاب الرياضيات المرفوع. المسائل والحلول مكتوبة نصيًا دون إدراج صور صفحات الكتاب.
١
النهايات والاتصال
الصف الثاني عشر علمي · صفحات الوحدة الأولى في الكتاب1-1 النهايات
النهاية تصف سلوك قيم الدالة عندما تقترب قيمة المتغير المستقل من عدد محدد، ولا يشترط أن تكون الدالة معرّفة عند تلك النقطة.
ما المقصود بجوار العدد c؟
فترة مفتوحة حول c، وتكتب على الصورة (c−a, c+a) حيث a عدد موجب؛ ويُسمّى a المعيار.
ما الجوار الناقص؟
جوار للعدد c مع استثناء العدد c نفسه؛ وقد تكون الدالة معرّفة في هذا الجوار دون أن تكون معرّفة عند c.
عرّف نهاية الدالة عند نقطة.
نكتب lim f(x)=L عندما x→c إذا كانت قيم f(x) تقترب من L كلما اقتربت x من c، سواء كانت الدالة معرّفة عند c أم لا.
هل وجود قيمة للدالة عند c شرط لوجود النهاية؟
لا؛ فالنهاية تتعلق بسلوك الدالة قرب c، وقد توجد حتى إذا لم تكن الدالة معرّفة عند c أو كانت قيمة الدالة مختلفة عن النهاية.
ما الفرق بين النهاية من اليمين والنهاية من اليسار؟
من اليسار: x تقترب من c بقيم أصغر من c، ويرمز لها x→c−. ومن اليمين: x تقترب من c بقيم أكبر من c، ويرمز لها x→c+.
متى تكون النهاية من الجهتين موجودة؟
إذا كانت النهاية من اليمين تساوي النهاية من اليسار؛ وإذا اختلفتا فالنهاية من الجهتين غير موجودة.
ما خطوات قراءة النهاية من الرسم؟
نتتبع ارتفاع منحنى الدالة عند الاقتراب من x=c من اليسار ثم من اليمين؛ إذا اتجه الطرفان إلى الارتفاع نفسه فهذه قيمة النهاية، ولا نعتمد على النقطة المملوءة وحدها.
كيف نحسب نهاية كثيرة حدود؟
بالتعويض المباشر عن x بالقيمة التي تؤول إليها، فتكون النهاية مساوية لقيمة كثيرة الحدود عندها.
متى نستخدم قاعدة نهاية القسمة؟
عندما توجد نهايتا البسط والمقام وتكون نهاية المقام لا تساوي صفرًا؛ عندها نهاية الكسر تساوي حاصل قسمة النهايتين.
ما معنى النهاية من جهة واحدة في الدالة متعددة التعريف؟
نستخدم قاعدة التعريف الذي ينطبق على جهة الاقتراب، ثم نقارن النتيجتين من اليمين واليسار لتحديد وجود النهاية الكلية.
مسائل الكتاب وحلولها الكاملة — الدرس 1-1: النهايات
المسائل المكتوبة أدناه مفرغة نصيًا. يجب مراجعة النقل الحرفي مع الكتاب الأصلي عند استكمال بقية المسائل.
مثال (2) — قواعد النهايات
بفرض أن lim (x→1) f(x)=-2، وlim (x→1) g(x)=5، أوجد:
- lim (x→1)[f(x)-g(x)]
- lim (x→1)(2f(x))/(g(x)
- lim (x→1)(g(x)+4)/(f(x)g(x)
الحل الكامل
(أ) بقاعدة نهاية الفرق:
lim[f(x)-g(x)]=lim f(x)-lim g(x)=-2-5=-7.
(ب) باستخدام قاعدة الضرب في ثابت وقاعدة القسمة، لأن نهاية المقام 5≠0:
(lim 2f(x))/(lim g(x)) = (2(-2))/5 = -4/5 = -0.8.
(ج) نهاية البسط =5+4=9، ونهاية المقام =(-2)(5)=-10≠0، إذن:
lim [g(x)+4]/[f(x)g(x)] = 9/(-10) = -0.9.
حاول أن تحل (2)
بفرض أن lim (x→−2) f(x)=7، وlim (x→−2)g(x)=-3، أوجد:
- lim (x→−2)[f(x)+g(x)]
- lim (x→−2)[f(x)g(x)]
- lim (x→−2) [8f(x)g(x)]/[f(x)+g(x)]
الإجابة والحل
(أ) 7+(-3)=4.
(ب) 7(-3)=-21.
(ج) نهاية البسط =8(7)(-3)=-168، ونهاية المقام =7-3=4≠0، لذلك النهاية =-168/4=-42.
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
٢
الاشتقاق
الصف الثاني عشر علمي · صفحات الوحدة الثانية في الكتاب2-1 معدلات التغير وخطوط المماس
معدل التغير المتوسط يصف تغير قيمة الدالة بالنسبة إلى تغير x على فترة، أما المعدل اللحظي فيُستخرج من نهاية معدل التغير عندما يقترب طول الفترة من الصفر.
ما قانون معدل التغير المتوسط؟
للدالة f على الفترة من a إلى b: [f(b)−f(a)]/(b−a)، بشرط b≠a.
كيف نصل إلى معدل التغير اللحظي؟
نحسب نهاية معدل التغير عندما h→0: lim [f(a+h)−f(a)]/h، إذا كانت النهاية موجودة.
ما المقصود بخط المماس؟
خط يلامس منحنى الدالة عند نقطة، وميله يساوي المشتقة عند تلك النقطة إذا كانت المشتقة موجودة.
كيف نحسب ميل القاطع؟
نأخذ نقطتين على المنحنى ونقسم فرق الإحداثيين y على فرق الإحداثيين x؛ وعند اقتراب النقطتين من بعضهما يتجه الميل إلى ميل المماس.
2-2 المشتقة
المشتقة هي نهاية نسبة التغير، وتمثل معدل التغير اللحظي وميل المماس لمنحنى الدالة عند النقطة.
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
٣
تطبيقات على الاشتقاق
الصف الثاني عشر علمي · صفحات الوحدة الثالثة في الكتاب3-1 القيم القصوى (العظمى والصغرى) للدوال
القيمة القصوى المحلية ترتبط بسلوك الدالة قرب نقطة؛ وتُستخدم المشتقة لتحديد النقاط الحرجة وفحصها.
ما النقطة الحرجة؟
قيمة x في مجال الدالة تكون عندها f′(x)=0 أو تكون المشتقة غير موجودة.
ما القيمة العظمى المحلية؟
قيمة للدالة أكبر من أو تساوي قيمها في جوار مناسب حول النقطة.
ما القيمة الصغرى المحلية؟
قيمة للدالة أصغر من أو تساوي قيمها في جوار مناسب حول النقطة.
كيف نبحث عن القيم القصوى؟
١) أوجد المشتقة. ٢) حل f′(x)=0. ٣) أضف نقاط المجال التي لا توجد عندها المشتقة. ٤) افحص سلوك الدالة أو استخدم اختبار المشتقة الأولى/الثانية.
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
٤
الإحصاء
الصف الثاني عشر علمي · صفحات الوحدة الرابعة في الكتاب4-1 التقدير
يُستخدم التقدير للاستدلال على معلمة المجتمع من بيانات عينة، ويُعرض التقدير مع هامش الخطأ ومستوى الثقة وفق المعطيات.
ما المقصود بالتقدير الإحصائي؟
استخدام بيانات العينة لتقدير قيمة معلمة مجهولة للمجتمع.
ما الفرق بين تقدير نقطي وتقدير بفترة؟
التقدير النقطي قيمة واحدة تقدّر المعلمة، أما التقدير بالفترة فيعطي مجالًا متوقعًا للمعلمة وفق مستوى ثقة محدد.
ما معنى هامش الخطأ؟
مقدار يضاف إلى التقدير النقطي ويطرح منه لتكوين فترة التقدير.
كيف تكتب فترة الثقة بصورة عامة؟
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
✎
اختبر نفسك
اختر الإجابة وسيظهر الصواب فورًاباقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
★ نصائح ليلة الاختبار
١) راجع تعريف النهاية والاتصال والمشتقة، واكتب شروط كل تعريف بدقة.
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة