اضغط «إظهار الإجابة» تحت كل سؤال للتحقق من إجابتك، ثم جرّب «اختبر نفسك» في النهاية.
١
الوحدة الأولى: التقدير واختبارات الفروض
تمهيد الوحدة والتقدير · صفحات 10–26مشروع الوحدة وما ستتعلمه
ما مشروع الوحدة؟ وما هدفه؟
إظهار الإجابة
مشروع الوحدة: «ما هي أفضل طريقة لإيجاد وظيفة؟». هدفه البحث عن فرص عمل من خلال القيام بعدة خطوات ومحاولات متنوعة واستخدام العديد من الوسائل. اللوازم: حاسوب – شبكة الإنترنت. ثم يكتب الطالب تقريرًا مفصلًا يحدد النسب التي حصل عليها من العينة العشوائية، مكوّنًا جدولًا بالنسب المئوية عن كل وسيلة، ويضمّنه الاقتراحات والنصائح والاستنتاجات.
ما الوسائل التي يقترحها المشروع لإيجاد وظيفة؟
إظهار الإجابة
الأصدقاء والمعارف · الإعلانات في الصحف والمجلات · الوكالات المختصة في الربط بين سوق العمل وطالبي الوظائف · البحث عبر شبكة الإنترنت · التقدم مباشرة لطلب وظيفة من الشركة المختصة.
ما دروس الوحدة الأولى؟
إظهار الإجابة
١-١ التقدير: (١-١-أ) التقدير بنقطة، (١-١-ب) التقدير بفترة الثقة. ٢-١ اختبارات الفروض الإحصائية: (١-٢-أ) σ معلومة، (١-٢-ب) σ غير معلومة، ن > ٣٠، (١-٢-ج) σ غير معلومة، ن ≤ ٣٠.
ماذا سوف تتعلم في هذه الوحدة؟ وما المعارف السابقة المطلوبة؟
إظهار الإجابة
ستتعلم: يُعرّف المعلمة والإحصاء · إيجاد التقدير بنقطة · إيجاد التقدير بفترة ثقة · استكشاف الفروض الإحصائية · يُعرّف الاختبارات الإحصائية · اتخاذ القرار المناسب. المعارف السابقة: مقاييس النزعة المركزية (المتوسط الحسابي – الوسيط – المنوال) · المجتمع الإحصائي · العينة واستخداماتها.
ما المصطلحات الأساسية للوحدة؟
إظهار الإجابة
المعلمة – الإحصاء – التقدير – التقدير بنقطة – فترة الثقة – الفروض الإحصائية – المقياس الإحصائي – فرض العدم – فرض البديل – القرار – مستوى المعنوية – درجات الحرية.
١-١ التقدير (Estimation)
لماذا نلجأ إلى التقدير؟ (دعنا نفكر ونتناقش)
إظهار الإجابة
لأن أخذ العينات لدراسة المجتمع بدلًا من الحصر الشامل يؤدي إلى تقدير الوسط μ أو الانحراف المعياري σ للمجتمع. عادةً يكون الوسط الحسابي μ والانحراف المعياري σ للمجتمع من معالم المجتمع، وتكون هذه المعالم مجهولة؛ فنسحب عينة عشوائية منه ونحسب المتوسط الحسابي x̄ أو الانحراف المعياري s للعينة لتقدير هذه المعالم.
١-١-أ التقدير بنقطة (Point Estimate)
ما الإحصاءة التي تُستخدم لتقدير μ؟ ولتقدير σ؟
إظهار الإجابة
المتوسط الحسابي للعينة العشوائية x̄ يُستخدم كتقدير بنقطة للمتوسط الحسابي للمجتمع μ، والانحراف المعياري للعينة s يُستخدم كتقدير بنقطة للانحراف المعياري للمجتمع σ.
مثال (١): ٤٠ شخصًا بحالة صحية جيدة (معدلات درجات حرارتهم). أوجد أفضل تقدير بنقطة للمتوسط الحسابي μ لدرجة حرارة المجتمع.
إظهار الإجابة
نوجد المتوسط الحسابي للعينة: x̄ = Σx / n = 1472.8 / 40 = 36.82°. إذن القيمة التقديرية للمتوسط الحسابي μ = ٣٦٫٨٢°.
١-١-ب التقدير بفترة الثقة (Confidence Interval Estimation)
ما سبب الحاجة إلى التقدير بفترة؟ وما هي فترة الثقة؟
إظهار الإجابة
لأن التقدير بنقطة هو قيمة وحيدة محسوبة من العينة، فاحتمال الخطأ فيه يكون كبيرًا؛ ولذلك فإن إيجاد فترة معينة يتوقع أن تقع معلمة المجتمع داخلها بنسبة معينة أو باحتمال معين هو الأفضل. فترة الثقة: هي فترة طرفاها متغيران عشوائيان (أي أنها فترة عشوائية) تستخدم لتقدير إحدى معالم المجتمع.
ما مستوى الثقة؟ وما معامل مستوى الثقة؟ وما نسبة الخطأ؟
إظهار الإجابة
هذه الفترة تحوي إحدى معالم المجتمع بنسبة معينة تسمى مستوى الثقة. يرمز لمستوى الثقة بالرمز (1 − α) × 100% حيث (1 − α) هو معامل مستوى الثقة وα هي نسبة الخطأ في التقدير (مستوى المعنوية). مثال: ثقة ٩٠٪ ← α = ٠٫١٠ · ثقة ٩٥٪ ← α = ٠٫٠٥ · ثقة ٩٩٪ ← α = ٠٫٠١.
التوزيع الطبيعي والتوزيع الطبيعي المعياري
ما خواص منحنى التوزيع الطبيعي؟
إظهار الإجابة
المتوسط الحسابي = الوسيط = المنوال · المنحنى على شكل ناقوس (جرس) متماثل حول محوره (س = μ) · يمتد المنحنى من طرفيه إلى +∞ و−∞ (لا يقطع المحور الأفقي) · المساحة تحت المنحنى تساوي الواحد الصحيح (وحدة مساحة) · المستقيم الرأسي س = μ يقسم المساحة تحت المنحنى إلى منطقتين متماثلتين مساحة كل منهما تساوي نصف وحدة مساحة.
متى يسمى التوزيع الطبيعي «المعياري»؟ وما خواص منحناه؟
إظهار الإجابة
إذا كان المتوسط الحسابي μ = صفر والانحراف المعياري σ = ١. المستقيم ز = صفر هو محور التماثل للمنحنى · تأخذ ز قيمًا موجبة وتزداد جهة اليمين، وقيمًا سالبة وتنقص جهة اليسار.
ما القيمة الحرجة؟ وكيف نجدها من جدول التوزيع الطبيعي المعياري؟
إظهار الإجابة
المساحة تحت المنحنى الطبيعي = ١، فالمساحة بين حدّين رأسيين متساويي البعد عن المحور الرأسي هي (1 − α)، وتكون المساحة المتبقية α موزعة على طرفي المنحنى بالتساوي، أي α/2 في كل طرف. نعبّر عن الحدّين بالرمز ±zα/2، وتسمى القيمة الموجبة zα/2 القيمة الحرجة (Critical Value). لإيجادها نحسب المساحة (1 − α)/2 التي تقع بين الصفر ويمين z، ثم نكشف عنها في الجدول، حيث العمود الأول يمثل قيم ز ابتداءً من ٠٫٠ وحتى ٣٫٣ وأكثر، والصف الأول يمثل الأجزاء من المئة لقيم ز.
مثال (٢): أوجد القيمة الحرجة المناظرة لمستوى ثقة ٩٥٪.
إظهار الإجابة
1 − α = ٠٫٩٥ ← (1 − α)/2 = 0.475 ← من الجدول: zα/2 = ١٫٩٦.
مثال (٣): أوجد القيمة الحرجة المناظرة لمستوى ثقة ٩٠٪.
إظهار الإجابة
1 − α = ٠٫٩٠ ← (1 − α)/2 = 0.45. نبحث في الجدول عن ٠٫٤٥٠٠ فنجدها تقع بين ٠٫٤٤٩٥ و٠٫٤٥٠٥، أي أن z تقع بين ١٫٦٤ و١٫٦٥، فنأخذ المتوسط: (1.64 + 1.65)/2 = 1.645. إذن zα/2 = ١٫٦٤٥.
هامش الخطأ (Margin of Error)
ما الخطأ بالتقدير بنقطة؟
إظهار الإجابة
من المتوقع ألا تكون قيمة المتوسط الحسابي للعينة x̄ مساوية لقيمة المتوسط الحسابي للمجتمع μ. القيمة المطلقة للفرق بين القيمتين |x̄ − μ| تسمى الخطأ المعياري، وتساوي σ/√n حيث σ الانحراف المعياري للمجتمع، ن عدد قيم العينة (حجم العينة).
ما الخطأ بالتقدير بفترة؟ وما قانون هامش الخطأ؟
إظهار الإجابة
الخطأ في التقدير هو القيمة المطلقة للفرق بين x̄ وμ ويعرف هامش الخطأ هـ: E = zα/2 × σ/√n باحتمال (1 − α)، حيث α تعبر عن نسبة الخطأ في التقدير. ويكون هامش الخطأ أقل ما يمكن حتى تتحقق المتباينة |x̄ − μ| < E أي x̄ − E < μ < x̄ + E، وعليه تكون فترة الثقة هي (x̄ − E , x̄ + E).
تقدير الوسط الحسابي للمجتمع μ بفترة الثقة
ما الخطوات المتبعة لإيجاد فترة الثقة للمتوسط μ إذا كان σ² معلومًا (ن > ٣٠ أو ن ≤ ٣٠ مع مجتمع طبيعي)؟
إظهار الإجابة
١) نوجد القيمة الحرجة zα/2 المناظرة لمستوى الثقة ٩٥٪ وهي ١٫٩٦. ٢) نوجد هامش الخطأ E = zα/2 × σ/√n. ٣) نوجد فترة الثقة (x̄ − E , x̄ + E).
كيف نفسّر فترة الثقة ٩٥٪؟
إظهار الإجابة
عند اختيار عينات عشوائية مختلفة متساوية في الحجم (ن) وحساب حدود فترة الثقة لكل عينة، نتوقع أن ٩٥٪ من فترات الثقة هذه تحوي القيمة الحقيقية للمتوسط الحسابي للمجتمع (μ). فمثلًا عند اختيار ١٠٠ عينة عشوائية ذات الحجم نفسه نتوقع أن ٩٥ فترة تحوي μ الحقيقية و٥ فترات لا تحويها.
مثال (٤): عينة من الإناث حجمها ٤٠، σ = ١٢٫٥، x̄ = 76.3 (معدل النبض)، مستوى ثقة ٩٥٪. أوجد هامش الخطأ وفترة الثقة وفسّرها.
إظهار الإجابة
z = ١٫٩٦. هـ = ١٫٩٦ × ١٢٫٥/√٤٠ ≈ ٣٫٨٧٣٨. فترة الثقة = (٧٦٫٣ − ٣٫٨٧٣٨ ، ٧٦٫٣ + ٣٫٨٧٣٨) = (٧٢٫٤٢٦٢ ، ٨٠٫١٧٣٨). التفسير: عند اختيار ١٠٠ عينة عشوائية بالحجم نفسه (ن = ٤٠) نتوقع أن ٩٥ فترة تحوي القيمة الحقيقية للمتوسط μ.
مثال (٥): ١٨ طالبًا، σ = ١٫٨، x̄ = 15 (ساعات استخدام الألواح الذكية أسبوعيًّا)، ثقة ٩٥٪.
إظهار الإجابة
هـ = ١٫٩٦ × ١٫٨/√١٨ ≈ ٠٫٨٣١٦. الفترة = (١٥ − ٠٫٨٣١٦ ، ١٥ + ٠٫٨٣١٦) = (١٤٫١٦٨٤ ، ١٥٫٨٣١٦). التفسير: عند اختيار ١٠٠ عينة (ن = ١٨) نتوقع أن ٩٥ فترة تحوي μ.
مثال (٦): عينة عشوائية حجمها ٣٦، x̄ = 60 وتباينها ١٦، ثقة ٩٥٪.
إظهار الإجابة
σ غير معلوم وn > ٣٠. التباين ع² = ١٦ ← ع = ٤. هـ = ١٫٩٦ × ٤/√٣٦ ≈ ١٫٣٠٦٦. الفترة = (٦٠ − ١٫٣٠٦٦ ، ٦٠ + ١٫٣٠٦٦) = (٥٨٫٦٩٣٤ ، ٦١٫٣٠٦٦).
ما خواص توزيع ت (Properties of t Distribution)؟
إظهار الإجابة
١) توزيع متماثل حول متوسطه الحسابي الذي يساوي صفرًا، ويمتد إلى ∞ من جهة اليمين وإلى −∞ من جهة اليسار ويزداد قربًا من الصفر في الجهتين. ٢) انحرافه المعياري أكبر من الواحد. ٣) يعتمد هذا التوزيع على درجات الحرية والتي تساوي (حجم العينة − ١) أي (ن − ١). ٤) التوزيع ت يشبه التوزيع الطبيعي إلا أن قمته أكثر انخفاضًا من التوزيع الطبيعي. ٥) كلما زادت درجات الحرية اقترب هذا التوزيع من التوزيع الطبيعي المعياري ويقترب انحرافه المعياري من الواحد الصحيح.
كيف نجد القيمة الحرجة tα/2 من جدول توزيع ت؟
إظهار الإجابة
العمود الأول يمثل قيم درجات الحرية (ن − ١) وتبدأ من ١ إلى ٣٠ وأكثر، والصف الأول يمثل قيم α/2، ومنه يمكن تحديد قيمة t = tα/2, n−1.
مثال (٧): عينة عشوائية بسيطة حجمها ن = ٢٣ من مجتمع طبيعي. أوجد القيمة الحرجة المناظرة لمستوى ثقة ٩٥٪ باستخدام جدول توزيع ت.
إظهار الإجابة
درجات الحرية = ٢٣ − ١ = ٢٢. 1 − α = ٠٫٩٥ ← α = ٠٫٠٥ ← α/2 = ٠٫٠٢٥. من جدول ت: t0.025,22 = ٢٫٠٧٤.
ما الخطوات المتبعة لإيجاد فترة الثقة للمتوسط μ إذا كان σ² غير معلوم وn ≤ ٣٠؟
إظهار الإجابة
١) نوجد درجات الحرية (ن − ١). ٢) نوجد القيمة الحرجة tα/2 المناظرة لدرجة ثقة ٩٥٪ من جدول توزيع ت. ٣) نوجد هامش الخطأ E = tα/2 × s/√n. ٤) نوجد فترة الثقة (x̄ − E , x̄ + E).
مثال (٨): عينة عشوائية من مجتمع طبيعي حجمها ن = ٢٥، ع = ١٠، x̄ = 15، ثقة ٩٥٪. أوجد هامش الخطأ وفترة الثقة.
إظهار الإجابة
σ² غير معلوم وn ≤ ٣٠ ← نستخدم توزيع ت. درجات الحرية = ٢٥ − ١ = ٢٤. α/2 = ٠٫٠٢٥ ← t = ٢٫٠٦٤. هـ = ٢٫٠٦٤ × ١٠/√٢٥ = ٤٫١٢٨. الفترة = (١٥ − ٤٫١٢٨ ، ١٥ + ٤٫١٢٨) = (١٠٫٨٧٢ ، ١٩٫١٢٨).
ملخص الحالات الثلاث
مثال (٩): عينة حجمها ن = ٦٠، ع = ١٨ (الانحراف المعياري للعينة)، x̄ = 36، ثقة ٩٥٪.
إظهار الإجابة
σ غير معلوم وn > ٣٠ ← z = ١٫٩٦. هـ = ١٫٩٦ × ١٨/√٦٠ ≈ ٤٫٥٠٤٦. الفترة = (٣٦ − ٤٫٥٠٤٦ ، ٣٦ + ٤٫٥٠٤٦) = (٣١٫٤٩٥٤ ، ٤٠٫٥٠٤٦).
الأنشطة والتقويم
حاول أن تحل (١): ٤٠ طالبًا — درجات مادة الرياضيات (النهاية العظمى ٢٠). أوجد تقديرًا بنقطة للمتوسط الحسابي للمجتمع μ.
إظهار الإجابة
القانون: x̄ = Σx / n — يُجمع كل القيم ويُقسم على ٤٠ (التقدير بنقطة للمتوسط μ). (الكتاب يعطي بيانات خام فقط دون ناتج)
حاول أن تحل (٢) و(٣): القيمة الحرجة لمستوى ثقة ٩٧٪ و٩٩٪ باستخدام جدول التوزيع المعياري.
إظهار الإجابة
٩٧٪ ← (١ − α)/٢ = ٠٫٤٨٥ ← z ≈ ٢٫١٧ (استنتاج من الجدول المعياري المتعارف عليه). ٩٩٪ ← (١ − α)/٢ = ٠٫٤٩٥ ← z ≈ ٢٫٥٨. (الكتاب لا يذكر الناتج؛ القيمتان من الجدول المعياري)
تمارين (٤–٩): ماذا يطلب الكتاب؟
إظهار الإجابة
(٤) المثال (٤) بعينة ١٠٠ والانحراف ٣٫٦ والمتوسط ١٨٫٤ بثقة ٩٥٪: هامش الخطأ وفترة الثقة وتفسيرها. (٥) ٢٤ طالبًا، المشاهدة التلفزيونية: σ = ٢٫٥، x̄ = 21. (٦) عينة من مجتمع طبيعي حجمها ٨١، x̄ = 50، ع = ٩. (٧) ن = ٢٠ طبيعي: القيمة الحرجة tα/2 لثقة ٩٥٪. (٨) x̄ = 8.4، ع = ٢٫٣، ن = ١٣. (٩) ٢٠ نبتة، x̄ = 36 سم، ع = ٦٫٤ سم، ثقة ٩٥٪.
أكمل حلول (٥)–(٩) بالقوانين السابقة. (حساب وفق القواعد؛ الكتاب لا يعطي الجواب)
إظهار الإجابة
(٥) σ معلوم: هـ = ١٫٩٦×٢٫٥/√٢٤ ≈ ١٫٠٠٠٢ ← (١٩٫٩٩٩٨ ، ٢٢٫٠٠٠٢). (٦) n > ٣٠، z: هـ = ١٫٩٦×٩/٩ = ١٫٩٦ ← (٤٨٫٠٤ ، ٥١٫٩٦). (٧) df = ١٩ ← t = ٢٫٠٩٣. (٨) df = ١٢ ← t = ٢٫١٧٩ ← هـ = ٢٫١٧٩×٢٫٣/√١٣ ≈ ١٫٣٩٠ ← (٧٫٠١٠ ، ٩٫٧٩٠). (٩) df = ١٩ ← t = ٢٫٠٩٣ ← هـ = ٢٫٠٩٣×٦٫٤/√٢٠ ≈ ٢٫٩٩٥ ← (٣٣٫٠٠٥ ، ٣٨٫٩٩٥).
٢
١-٢ اختبارات الفروض الإحصائية
الوحدة الأولى · صفحات 27–37التعاريف الأساسية
لماذا ندرس الفروض الإحصائية؟ (دعنا نفكر ونتناقش)
إظهار الإجابة
في كثير من الأحيان وفي مواقف معينة نحتاج إلى اتخاذ قرار بناء على معلومات محدودة وحيثيات معقولة لها مبررها؛ لذلك دعت الضرورة إلى دراسة ما يسمى بالفرض الإحصائي واختبارات الفروض الإحصائية.
أعطِ أمثلة على فروض يمكن اختبارها.
إظهار الإجابة
• إدارة الأعمال: تدّعي إحدى الصحف في مقال أن معظم الموظفين يجدون عملًا عن طريق وكالات التوظيف. • الطب: يدّعي باحثون في الطب أن متوسط درجة حرارة جسم أي بالغ معافى ليست ٣٧° سيليزية. • سلامة الطيران المدني: تدّعي إدارة الطيران المدني في الكويت أن متوسط وزن المسافر (مع حقائبه) يتعدّى منذ عشرين سنة الوزن المسموح للبالغ ٨٤ كجم.
الخطوات المتبعة لإجراء اختبار الفروض الإحصائية
ما الخطوات الخمس لاختبار الفروض الإحصائية؟
إظهار الإجابة
١) صياغة الفروض الإحصائية (فرض العدم فـ₀ والفرض البديل فـ₁). ٢) التحقق من الانحراف المعياري σ للمجتمع (معلوم أم غير معلوم) وتحديد حجم العينة (ن)، ومن ثم إيجاد المقياس الإحصائي للاختبار (ز أو ت). ٣) تحديد مستوى المعنوية α وحساب القيمة الجدولية zα/2 من جدول التوزيع الطبيعي المعياري أو القيمة الجدولية tα/2 من جدول ت ذي درجات حرية. ٤) تحديد منطقة القبول: (−zα/2 , zα/2) أو (−tα/2 , tα/2). ٥) اتخاذ القرار الإحصائي: (قبول فرض العدم) أو (رفض فرض العدم وقبول الفرض البديل).
١-٢-أ إذا كان الانحراف المعياري σ معلومًا
مثال (١): شركة تزعم أن متوسط رواتب موظفيها ٤٠٠٠ دينار. عينة من ٢٥ موظفًا متوسط رواتبها ٣٩٥٠ دينارًا، والانحراف المعياري للمجتمع σ = ١٢٥ دينارًا. اختبر الفرض عند ثقة ٩٥٪.
إظهار الإجابة
١) فـ₀ : μ = ٤٠٠٠ مقابل فـ₁ : μ ≠ ٤٠٠٠. ٢) σ معلومة (١٢٥) ← z = (x̄ − μ)/(σ/√n) = (٣٩٥٠ − ٤٠٠٠)/(١٢٥/√٢٥) = −٢. ٣) α = ٠٫٠٥ ← α/٢ = ٠٫٠٢٥ ← z = ١٫٩٦. ٤) منطقة القبول (−١٫٩٦ ، ١٫٩٦). ٥) −٢ ∉ (−١٫٩٦ ، ١٫٩٦) ← القرار: نرفض فرض العدم μ = ٤٠٠٠ ونقبل الفرض البديل μ ≠ ٤٠٠٠.
مثال (٢): قوة تحمل أسلاك μ = ١٨٠٠ كجم، σ = ١٥٠ كجم. عينة من ٤٠ سلكًا متوسط تحملها ١٨٤٠. هل يمكن قبول الفرض بمستوى معنوية α = ٠٫٠٥؟
إظهار الإجابة
فـ₀ : μ = ١٨٠٠ مقابل فـ₁ : μ ≠ ١٨٠٠. σ معلومة: z = (١٨٤٠ − ١٨٠٠)/(١٥٠/√٤٠) ≈ ١٫٦٨٦٥. z الجدولية = ١٫٩٦ ← منطقة القبول (−١٫٩٦ ، ١٫٩٦). ١٫٦٨٦٥ ∈ المنطقة ← القرار: نقبل فرض العدم μ = ١٨٠٠.
١-٢-ب إذا كان σ غير معلوم، ن > ٣٠
مثال (٣): ن = ٨٠، x̄ = 37.2، ع = ١٫٧٩. اختبر الفرض μ = ٣٧ عند α = ٠٫٠٥.
إظهار الإجابة
فـ₀ : μ = ٣٧ مقابل فـ₁ : μ ≠ ٣٧. σ غير معلومة وn > ٣٠ ← z = (٣٧٫٢ − ٣٧)/(١٫٧٩/√٨٠) ≈ ٠٫٩٩٩. z الجدولية = ١٫٩٦ ← ٠٫٩٩٩ ∈ (−١٫٩٦ ، ١٫٩٦) ← القرار: نقبل فرض العدم μ = ٣٧.
١-٢-ج إذا كان σ غير معلوم، ن ≤ ٣٠
مثال (٤): مدير شركة يعتقد أن متوسط الإنفاق الشهري على الطعام في منازل مدينة معينة ٢٩٠ دينارًا. عينة من ١٠ منازل متوسطها ٢٨٣ والانحراف المعياري ٣٢. استخدم ثقة ٩٥٪ (المجتمع طبيعي).
إظهار الإجابة
فـ₀ : μ = ٢٩٠ مقابل فـ₁ : μ ≠ ٢٩٠. σ غير معلومة وn ≤ ٣٠ ← نستخدم ت: t = (٢٨٣ − ٢٩٠)/(٣٢/√١٠) ≈ −٠٫٦٩١٧. درجات الحرية = ١٠ − ١ = ٩ · α/٢ = ٠٫٠٢٥ ← t = ٢٫٢٦٢. منطقة القبول (−٢٫٢٦٢ ، ٢٫٢٦٢). −٠٫٦٩١٧ ∈ المنطقة ← نقبل فرض العدم μ = ٢٩٠، ويمكن الاعتماد على هذه العينة.
المرشد لحل المسائل
مسألة المياه: كل شخص يستهلك متوسط ٢٠٠٠ مل يوميًّا. الدراسة السابقة (ن = ١٠٠، x̄ = 1850، ع = ٩٠٠) والجديدة (ن = ١٠٠، x̄ = 1900، ع = ٣٠٠). هل المؤسسة على حق؟
إظهار الإجابة
الفروض: فـ₀ : μ = ٢٠٠٠ مقابل فـ₁ : μ ≠ ٢٠٠٠ بمستوى ٠٫٩٥. السابقة: z = (١٨٥٠ − ٢٠٠٠)/(٩٠٠/√١٠٠) = −١٫٦٦ ∈ (−١٫٩٦ ، ١٫٩٦) ← قبول فـ₀ μ = ٢٠٠٠ مل. الجديدة: z = (١٩٠٠ − ٢٠٠٠)/(٣٠٠/√١٠٠) = −٣٫٣٣ ∉ المنطقة ← رفض فـ₀ والأخذ بـ فـ₁ : μ ≠ ٢٠٠٠. الاستنتاج: لم تكن الحملة ضرورية، والحصول على قيمة متوسطة أكبر لا يعني الاقتراب من الهدف المنشود.
مسألة إضافية: مؤسسة أخرى على عينة ١٠٠ شخص (x̄ = 2100، ع = ٨٠٠) والهدف μ = ٢٠٠٠. هل كانت الحملة ناجحة؟
إظهار الإجابة
z = (٢١٠٠ − ٢٠٠٠)/(٨٠٠/١٠) = ١٫٢٥ ∈ (−١٫٩٦ ، ١٫٩٦) ← نقبل فرض العدم μ = ٢٠٠٠ (الكتاب لا يذكر الجواب؛ هذا استنتاج من خطوات الاختبار).
الأنشطة والتقويم
حاول أن تحل (١): صانع إطارات يزعم أن متوسط عمر الإطارات μ = ٢٥٠٠٠ كم. عينة ١٥ إطارًا، x̄ = 27000 كم، σ = ٥٠٠٠ كم. اختبر بثقة ٩٥٪.
إظهار الإجابة
σ معلومة: z = (٢٧٠٠٠ − ٢٥٠٠٠)/(٥٠٠٠/√١٥) ≈ ١٫٥٤٩٢ ∈ (−١٫٩٦ ، ١٫٩٦) ← نقبل فرض العدم μ = ٢٥٠٠٠ كم (حساب وفق القواعد).
حاول أن تحل (٢): عينة ١٥٠ مصباحًا، x̄ = 1580 ساعة، σ = ١٢٥ ساعة، μ = ١٦٢٠.
إظهار الإجابة
z = (١٥٨٠ − ١٦٢٠)/(١٢٥/√١٥٠) ≈ −٣٫٩٢ ∉ المنطقة ← نرفض فـ₀ ونقبل فـ₁ : μ ≠ ١٦٢٠ (حساب).
حاول أن تحل (٣): ١٠٠ مصباح، x̄ = 1570 ساعة، ع = ١٢٠، μ = ١٦٠٠ مقابل μ ≠ ١٦٠٠.
إظهار الإجابة
σ غير معلومة وn > ٣٠: z = (١٥٧٠ − ١٦٠٠)/(١٢٠/١٠) = −٢٫٥ ∉ (−١٫٩٦ ، ١٫٩٦) ← نرفض فرض العدم (حساب).
حاول أن تحل (٤): ١٠ منازل، x̄ = 296، ع = ٥، μ = ٢٩٠. هل يبقى افتراض المدير صحيحًا؟
إظهار الإجابة
t = (٢٩٦ − ٢٩٠)/(٥/√١٠) ≈ ٣٫٧٩٥ ∉ (−٢٫٢٦٢ ، ٢٫٢٦٢) ← نرفض فرض العدم؛ لا يبقى افتراض المدير صحيحًا (حساب).
٣
الوحدة الثانية: الارتباط والانحدار — ١-٢ الارتباط
صفحات 38–53مشروع الوحدة وما ستتعلمه
ما مشروع الوحدة الثانية؟ وما هدفه؟
إظهار الإجابة
المشروع: ضغط الدم. يعتبر ضغط الدم عند الإنسان من أهم العوامل المؤثرة في حياة كل شخص؛ وقياس ضغط الدم لجهة ارتفاعه أو انخفاضه عن معدله العام يساعد على المعالجة المبكرة وبالتالي التخفيف قدر الإمكان من حدوث النوبات القلبية المفاجئة، علمًا أن وزارة الصحة في دولة الكويت قد نبهت إلى عوارض ارتفاع ضغط الدم وخصوصًا لدى المسنين وأصحاب السمنة. الهدف: دراسة العلاقة بين وزن عدد من الأفراد (بالكيلوجرام) ومعدل ضغط الدم لديهم (من العيادات الطبية: ذكور، ومن المستشفيات: إناث). اللوازم: آلة حاسبة – ورق رسم بياني. ويُطلب رسم مخطط الانتشار وإيجاد Σس، Σص، Σس²، Σص²، Σس ص، ثم حساب معامل الارتباط واستنتاج العلاقة بين الوزن وضغط الدم.
ما دروس الوحدة؟ وماذا سنتعلم؟
إظهار الإجابة
٢-١ الارتباط: (٢-١-أ) المخطط الانتشاري، (٢-١-ب) معامل الارتباط الخطي. ٢-٢ الانحدار. سنتعلم: الارتباط · مخطط الانتشار · معامل ارتباط بيرسون · تحليل قيمة معامل الارتباط · الانحدار ومعادلته · توقع قيمة أحد المتغيرين. المعارف السابقة: التقدير بنقطة · التقدير بفترة ثقة · الفروض الإحصائية · الاختبارات الإحصائية. المصطلحات: الارتباط – مخطط الانتشار – معامل ارتباط بيرسون – منعدم – ارتباط طردي (موجب) تام – قوي – متوسط – ضعيف – ارتباط عكسي (سالب) – معادلة خط الانحدار.
١-٢ الارتباط (Correlation)
ما الارتباط؟ ولماذا ندرسه؟
إظهار الإجابة
المقاييس السابقة (الحسابي – الوسيط – المنوال – المدى – التباين – الانحراف المعياري) تصف شكل البيانات الحاصل عليها من العينة لمتغير واحد. بينما يقابلنا في حياتنا العملية مواقف كثيرة تتضمن متغيرين (ظاهرتين) أو أكثر: هل هناك علاقة بين هذين المتغيرين وما شكلها؟ وكيف يمكن التنبؤ بقيمة أحدهما إذا علمنا قيمة الآخر؟ أمثلة: الطول والوزن · التدخين والإصابة بمرض السرطان · وزن سيارة واستهلاكها للوقود · الإنفاق والدخل · سعر السلعة والكمية المعروضة منها · العمر وضغط الدم. تعريف الارتباط: هو العلاقة بين متغيرين.
٢-١-أ المخطط الانتشاري (Scatter Plot)
مثال (١): الجدول يوضح العلاقة بين طول اللاعب (س) ومعدّل المتابعات (ص) لسبعة لاعبين. المطلوب رسم المخطط الانتشاري.
إظهار الإجابة
البيانات: (١٧٠،٣)، (١٧٥،٤)، (١٨٠،٥)، (١٨٠،٥)، (١٨٥،٥)، (١٩٠،٧)، (١٩٥،١٠)، (٢٠٠،١١). نرسم كل زوج كنقطة؛ فتظهر نقاط تصعد من اليسار إلى اليمين (كلما زاد الطول زاد معدل المتابعات).
أنواع الارتباط
مثال (٢): (س: ٤،٥،٦،٧،٨،٩،١٠) و(ص: ١٠،٧٫٥،٧،٣٫٥،٣،٦،٩). ارسم المخطط وحدد نوع العلاقة.
إظهار الإجابة
بعد رسم النقاط لا يظهر اتجاه واضح؛ لا توجد علاقة.
مثال (٣): العلاقة بين العمر (س: ١٦،٢٢،٢٨،٣٤،٤٠،٤٦،٥٢) وعدد ساعات التمرينات الرياضية (ص: ٨،٧،٥،٢،٣،١٫٥،١). ارسم المخطط وحدد نوع العلاقة.
إظهار الإجابة
من مخطط الانتشار نلاحظ أنه إذا زادت قيمة س تناقصت تبعًا لها قيمة ص ← الارتباط عكسي (سالب) والعلاقة خطية.
٢-١-ب معامل الارتباط الخطي (Linear Correlation Coefficient)
لماذا نحتاج معامل الارتباط؟ وما تعريفه؟
إظهار الإجابة
الاستنتاجات المبنية على المعاينات البصرية لمخطط الانتشار هي نسبيّة بامتياز، لذا فنحن بحاجة إلى قياسات أكثر دقة وموضوعية، وبالتالي نستخدم مُعامل الارتباط الخطي (ر). تعريفه: هو عبارة عن مقياس عددي لقوّة العلاقة بين متغيّرين يمثّلان بيانات كمّية، حيث −1 ≤ r ≤ 1.
معامل ارتباط بيرسون (Pearson Correlation Coefficient)
ما قانون ر بدلالة الانحرافين المعياريين؟ وما الصيغة المباشرة؟
إظهار الإجابة
حيث sx = √(Σ(x − x̄)² / n) وsy = √(Σ(y − ȳ)² / n). وبالتعويض: r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) / ( √Σ(x − x̄)² · √Σ(y − ȳ)² ).
أمثلة محلولة
مثال (٤): س: ٧،٤،٢،١،١ ؛ ص: ٢٣،١٥،٨،٥،٤. أوجد ر وحدد نوع وقوة الارتباط.
إظهار الإجابة
Σس = ١٥ ، Σص = ٥٥ ← x̄ = 3 , ȳ = 11. Σ(س−س̄)² = ٢٦ ، Σ(ص−ص̄)² = ٢٥٤ ، Σ(س−س̄)(ص−ص̄) = ٨١. r = 81 / (√26 × √254) ≈ 0.9968 ← طردي موجب قوي.
مثال (٥): س: ١،٢،٣،٤،٥ ؛ ص: ١،−١،−٤،−٦،−٥.
إظهار الإجابة
x̄ = 3 , ȳ = −3. Σ(س−س̄)² = ١٠ ، Σ(ص−ص̄)² = ٣٤ ، Σ(س−س̄)(ص−ص̄) = −١٧. r = −17 / (√34 × √10) ≈ −0.9220 ← عكسي سالب قوي.
مثال (٦): س: ١،٢،٣،٤،٥ ؛ ص: ٣،٥،٧،٩،١١.
إظهار الإجابة
x̄ = 3 , ȳ = 7. Σ(س−س̄)² = ١٠ ، Σ(ص−ص̄)² = ٤٠ ، Σ(س−س̄)(ص−ص̄) = ٢٠. r = 20 / (√40 × √10) = 1 ← طردي (موجب) تام (فالعلاقة ص = ٢س + ١).
مثال (٧): جدول أطوال عدد من الدببة وأوزانها: (الطول س، الوزن ص) = (١٣٥،٣٦)، (١٧٠،١٥٦)، (١٨٠،١٨٨)، (١٨٢،١٥٨)، (١٨٧،١١٩)، (١٧٤،١٦٣)، (١٨٠،١٥٠)، (٩٤،١٥). أوجد ر ونوعه وقوته.
إظهار الإجابة
ن = ٨ ، Σس = ١٣٠٧ ، Σص = ٩٨٥ ، Σس ص = ١٧٣٧٥١ ، Σس² = ٢٢٠٩٥٥ ، Σص² = ١٤٩٣٩٥. r = (8×173751 − 1307×985) / (√(8×220955 − 1307²) · √(8×149395 − 985²)) = 102613 / 115582 ≈ 0.8878 ← طردي (موجب) قوي.
مثال (٨): س: ١،٢،٣،٤،٥،٦ ؛ ص: ٤،٧،٨،٣،٥،٥.
إظهار الإجابة
ن = ٦ ، Σس = ٢١ ، Σص = ٣٢ ، Σس ص = ١٠٩ ، Σس² = ٩١ ، Σص² = ١٨٨. r = (6×109 − 21×32) / (√(6×91 − 21²) · √(6×188 − 32²)) = −18 / (√105 × √104) ≈ −0.1723 ← عكسي (سالب) ضعيف.
مثال (٩): س: ٨،١٥،١٠،١٤،٩،١٢،١٣،١١ ؛ ص: ٨،١،٦،٢،٧،٤،٣،٥.
إظهار الإجابة
ن = ٨ ، Σس = ٩٢ ، Σص = ٣٦ ، Σس ص = ٣٧٢ ، Σس² = ١١٠٠ ، Σص² = ٢٠٤. r = (8×372 − 92×36) / (√336 × √336) = −336/336 = −1 ← عكسي (سالب) تام.
مثال (١٠): درجات طلاب في الإحصاء (س: ٥،١٠،٦،١٥،١١،١٣،١٧،١٢) والتاريخ (ص: ١٧،١٧،١٥،٩،١٠،١٠،٦،١٢).
إظهار الإجابة
ن = ٨ ، Σس = ٨٩ ، Σص = ٩٦ ، Σس ص = ٩٦٦ ، Σس² = ١١٠٩ ، Σص² = ١٢٦٤. r = (8×966 − 89×96) / (√(8×1109 − 89²) · √(8×1264 − 96²)) = −816 / (√951 × √896) ≈ −0.8840 ← عكسي (سالب) قوي.
الأنشطة والتقويم
حاول أن تحل (١)–(٣): ارسم مخطط الانتشار للبيانات وحدد نوع العلاقة.
إظهار الإجابة
(١) س: ١٠٠…١٩٠ ، ص: ٢٢،٢٠،٢٠،١٩،١٨،١٧،١٥،١٦،١٤ ← كلما زادت س تناقصت ص ← عكسي (سالب) (استنتاج). (٢) س: ١…٧ ، ص: ٢،٤،٦،٨،١٠،١٢،١٤ ← النقاط على خط مستقيم صاعد ← طردي (موجب) تام (استنتاج). (٣) س: ٢،٣،٤،٥،٦،٧ ، ص: ٧،٥،٤،٣،٢،١ ← عكسي (سالب) (استنتاج).
حاول أن تحل (٤)–(١٠): إيجاد ر ونوع الارتباط وقوته. (الكتاب لا يعطي النتائج؛ الحساب من القانون)
إظهار الإجابة
(٤) الطول/الوزن للمواليد: ر ≈ ٠٫٩٩٣٥ طردي قوي. (٥) ر ≈ ٠٫٨٢٩٤ طردي قوي. (٦) س: ١…٥ ، ص: ٤،٣،٢،١،٠ ← ر = −١ عكسي تام. (٧) ر ≈ ٠٫٠٦٤٦ طردي ضعيف جدًّا. (٨) ر ≈ ٠٫٤١٢٢ طردي ضعيف. (٩) ر ≈ ٠٫٩٧١٣ طردي قوي. (١٠) ر ≈ −٠٫٢٧٧٨ عكسي ضعيف.
٤
٢-٢ الانحدار
الوحدة الثانية · صفحات 54–63ما هو الانحدار؟
دعنا نفكر ونتناقش: جدول أطوال الأمهات (س) وبناتهن (ص). لدينا ر ≈ ٠٫٨٤٤. ما الذي نريده؟
إظهار الإجابة
يوجد علاقة خطية طردية قوية بين طول الأم وطول ابنتها. المتوسط الحسابي لأطوال الأمهات س̄ = ١٦٥ والمتوسط الحسابي لأطوال البنات ص̄ = ١٦٥٫٣٧٥. أضفنا زوج المتوسطين (س̄ ، ص̄) إلى الجدول فلاحظنا أن قيمة ر لم تتغير. ونريد أن نقدّر طول الابنة من خلال العلاقة مع طول أمها؛ فافترضنا زوج المتغيرين (١٥٠ ، ١٧٠) وأضفناه إلى الجدول فأصبحت ر ≈ ٠٫٢١٦ فهو لا يتوافق مع الجدول. والسؤال: هل يمكن التنبؤ بقيمة إحدى الظاهرتين إذا علمنا قيمة الظاهرة الأخرى؟ وكيف؟ — بإيجاد معادلة الخط المستقيم الممثل للعلاقة.
ما الانحدار؟ وماذا يسمى الخط المستقيم؟
إظهار الإجابة
لقد تعلمنا في الدرس السابق مفهوم الارتباط والارتباط الخطي وحساب معامل الارتباط الخطي بين متغيرين وتحديد قوة العلاقة ونوعها. وفي هذا الدرس سوف نتعلم وصف العلاقة بين متغيرين بإيجاد معادلة الخط المستقيم الممثل لهذه العلاقة. يسمى هذا الخط المستقيم بخط الانحدار، وتسمى معادلته بمعادلة خط الانحدار. تعريف الانحدار: هو وصف العلاقة بين متغيرين.
معادلة خط الانحدار (Equation of Linear Regression)
كيف تكتب معادلة المستقيم في الرياضيات وفي الإحصاء؟
إظهار الإجابة
سبق لنا دراسة معادلة الخط المستقيم على الصورة: y = m x + c حيث م ترمز إلى ميل هذا المستقيم، جـ ترمز إلى طول الجزء المقطوع من محور الصادات. أما في الإحصاء فمعادلة خط انحدار مستقيم تكتب: ŷ = a + b x حيث |أ| ترمز إلى طول الجزء المقطوع من محور الصادات، ب ترمز إلى ميل المستقيم.
ما خطوات إيجاد معادلة خط الانحدار ŷ = أ + ب س؟
إظهار الإجابة
١) تعيين قيمة ب. ٢) تعيين قيمة أ. ٣) كتابة معادلة خط الانحدار ص^ = أ + ب س. ٤) التنبؤ بقيمة ص إذا علمت قيمة س (بالتعويض). ٥) تحديد مقدار الخطأ في التنبؤ: مقدار الخطأ = |القيمة الجدولية − القيمة التي تحقق معادلة الانحدار| = |صس − ص^س|.
أمثلة محلولة
مثال (١): سقطت كرة من ارتفاع ٥٠ مترًا وسُجلت المسافات (بالمتر) التي قطعتها كل ٠٫٥ ثانية: الوقت س: ٠، ٠٫٥، ١، ١٫٥، ٢، ٢٫٥، ٣ ؛ المسافة ص: ٠، ١٫٢، ٤٫٩، ١١، ١٩٫٥، ٣٠٫٥، ٤٤. (أ) أوجد معادلة خط الانحدار. (ب) قدّر ص عندما س = ٤. (جـ) مقدار الخطأ عندما س = ٢٫٥.
إظهار الإجابة
ن = ٧ ، Σس = ١٠٫٥ ، Σص = ١١١٫١ ، Σس ص = ٢٦٩٫٢٥ ، Σس² = ٢٢٫٧٥ ← س̄ = ١٫٥ ، ص̄ = ١٥٫٨٧١٤. b = (269.25×7... ) ⇒ b = (7×269.25 − 10.5×111.1) / (7×22.75 − 10.5²) = 718.2/49 ≈ 14.6571. أ = ص̄ − ب س̄ = ١٥٫٨٧١٤ − ١٤٫٦٥٧١×١٫٥ ≈ −٦٫١١٤٣. المعادلة: ص^ = −٦٫١١٤٣ + ١٤٫٦٥٧١ س. (ب) عند س = ٤: ص^ = −٦٫١١٤٣ + ١٤٫٦٥٧١×٤ ≈ ٥٢٫٥١٤١ مترًا. (جـ) عند س = ٢٫٥: ص^ ≈ ٣٠٫٥٢٨٥، والقيمة الجدولية ٣٠٫٥ ← الخطأ = |٣٠٫٥٢٨٥ − ٣٠٫٥| = ٠٫٠٢٨٥.
مثال (٢): س: ٤٣، ٤٨، ٥٦، ٦١، ٦٧، ٧٠ ؛ ص: ١٢٨، ١٢٠، ١٣٥، ١٤٣، ١٤١، ١٥٢. أوجد: (أ) معادلة الانحدار (ب) ص عندما س = ٥٢ (جـ) مقدار الخطأ عندما س = ٦٧.
إظهار الإجابة
ن = ٦ ، Σس = ٣٤٥ ، Σص = ٨١٩ ، Σس ص = ٤٧٦٣٤ ، Σس² = ٢٠٣٩٩ ← س̄ = ٥٧٫٥ ، ص̄ = ١٣٦٫٥. ب = (٦×٤٧٦٣٤ − ٣٤٥×٨١٩)/(٦×٢٠٣٩٩ − ٣٤٥²) ≈ ٠٫٩٦٤٤. أ = ١٣٦٫٥ − ٠٫٩٦٤٤×٥٧٫٥ ≈ ٨١٫٠٤٧. ص^ = ٨١٫٠٤٧ + ٠٫٩٦٤٤ س. (ب) س = ٥٢ ← ص^ ≈ ١٣١٫١٩٥٨. (جـ) من الجدول عند س = ٦٧ نجد ص = ١٤١ ؛ ص^٦٧ ≈ ١٤٥٫٦٦١٨ ← الخطأ = |١٤١ − ١٤٥٫٦٦١٨| = ٤٫٦٦١٨.
مثال (٣): س: ١، ٣، ٥، ٧، ٩ ؛ ص: ٢، ٥، ٩، ١٠، ١٤. أوجد: (أ) معادلة الانحدار (ب) ص عندما س = ١٠ (جـ) مقدار الخطأ عندما س = ٥.
إظهار الإجابة
ن = ٥ ، Σس = ٢٥ ، Σص = ٤٠ ، Σس ص = ٢٥٨ ، Σس² = ١٦٥ ← س̄ = ٥ ، ص̄ = ٨. ب = (٥×٢٥٨ − ٢٥×٤٠)/(٥×١٦٥ − ٢٥²) = ١٫٤٥. أ = ٨ − ١٫٤٥×٥ = ٠٫٧٥. ص^ = ٠٫٧٥ + ١٫٤٥ س. (ب) س = ١٠: ص^ = ٠٫٧٥ + ١٤٫٥ = ١٥٫٢٥. (جـ) عند س = ٥ من الجدول ص = ٩؛ ص^ = ٠٫٧٥ + ١٫٤٥×٥ = ٨ ← الخطأ = |٩ − ٨| = ١.
المرشد لحل المسائل
مسألة المتجر: أسعار آلات التصوير الرقمية بحسب نقاوة الصورة (ميغابيكسل): س: ٥، ٨، ١٠، ١٤، ١٦، ١٨ ؛ ص (دينار): ٢٥، ٣٥، ٥٠، ٨٥، ١٢٠، ١٤٠. أراد جاسم تقدير سعر آلة نقاوتها ٢٠ ميغابيكسل.
إظهار الإجابة
رسم مخطط الانتشار يبيّن أن العلاقة خطية طردية؛ لذا يوجد ر ومعادلة خط الانحدار. القيم: ن = ٦ ، Σس = ٧١ ، Σص = ٤٥٥ ، Σس ص = ٦٥٣٥ ، Σس² = ٩٦٥ ← س̄ = ١١٫٨ ، ص̄ = ٧٥٫٨. ر ≈ ٠٫٩٧٨٨ ← علاقة خطية قوية بين السعر والنقاوة. معادلة الانحدار: ص^ = −٣٣ + ٩٫٢٢ س. عند س = ٢٠: ص^ ≈ ١٥١ دينارًا كويتيًّا.
مسألة إضافية: أُجري في المتجر نفسه تخفيض على الأسعار بنسبة ١٥٪. كيف يتغير تقدير جاسم؟ (ملاحظة الكتاب: استخدم الجدول نفسه، التخفيض ١٥٪ على الأسعار)
إظهار الإجابة
الأسعار الجديدة = ٠٫٨٥ × القديمة، فتصبح معادلة الانحدار = ٠٫٨٥ × (−٣٣٫٢٥٧٧ + ٩٫٢١٩ س) ⇒ ص^ ≈ −٢٨٫٢٧ + ٧٫٨٣٦ س، وعند س = ٢٠ ← ص^ ≈ ١٢٨٫٤ دينارًا (حساب؛ الكتاب يطلب إعادة الحل ولا يذكر الناتج).
الأنشطة والتقويم
حاول أن تحل (١): تكلفة إنتاج فيلم سينمائي س (ملايين الدولارات) والمردود ص: س: ٦٢، ٩٠، ٥٠، ٣٥، ٢٠٠، ١٠٠، ٩٥ ؛ ص: ٦٥، ٦٤، ٤٨، ٥٧، ٦٠١، ١٤٦، ٤٧. أوجد المعادلة، قدّر المردود عند ٥٥ وأوجد الخطأ عند ٩٠. (حساب)
إظهار الإجابة
ب ≈ ٣٫٤٣٨٧ ، أ ≈ −١٦٣٫٦٠٩ ← ص^ ≈ −١٦٣٫٦٠٩ + ٣٫٤٣٨٧ س. عند ٥٥ ← ≈ ٢٥٫٥٢. عند ٩٠: ص^ ≈ ١٤٥٫٨٧ والجدولية ٦٤ ← الخطأ ≈ ٨١٫٨٧.
حاول أن تحل (٢): س: ١٨٠، ٢٠٥، ١٩٧، ١٩٢، ١٨٩، ٢٠٣، ١٩٧، ١٨٤ ؛ ص: ٨٥، ١١٧، ٨٢، ٩٧، ٩٢، ٨٠، ١١٠، ١٢٢ — المعادلة، ص عند س = ٢٠٠، الخطأ عند س = ١٩٢. (حساب)
إظهار الإجابة
ب ≈ ٠٫٠١٧٨ ، أ ≈ ٩٤٫٦٩٠ ← ص^ = ٩٤٫٦٩٠ + ٠٫٠١٧٨ س. عند ٢٠٠ ← ≈ ٩٨٫٢٤ . عند ١٩٢: ص^ ≈ ٩٨٫١٠ والجدولية ٩٧ ← الخطأ ≈ ١٫١٠.
حاول أن تحل (٣): س: ٤، ٥، ٨، ٩، ١٠، ١٢ ؛ ص: ٢، ٤، ٥، ٨، ٦، ١١ — المعادلة، ص عند س = ١٠، الخطأ عند س = ١٠. (حساب)
إظهار الإجابة
ب ≈ ٠٫٩٥٦٥ ، أ ≈ −١٫٦٥٢٢ ← ص^ = −١٫٦٥٢٢ + ٠٫٩٥٦٥ س. عند ١٠ ← ≈ ٧٫٩١٣ ؛ الجدولية ٦ ← الخطأ ≈ ١٫٩١٣.
٥
الوحدة الثالثة: السلاسل الزمنية
صفحات 64–87مشروع الوحدة وما ستتعلمه
ما مشروع الوحدة الثالثة؟ وما هدفه؟
إظهار الإجابة
المشروع: المياه واستهلاكها. تعتبر المياه وطريقة استهلاكها من أهم المشاكل في دولة الكويت وأكثرها تعقيدًا، نظرًا لمحدودية مواردها والمصادر المتجددة، ونظرًا لارتفاع معدلات استهلاكها مع مرور الوقت. الهدف: تحديد مصادر المياه ومحاولة توقع الكميات المطلوبة خلال الـ ٢٠ سنة القادمة بناء على عدة عوامل. اللوازم: شبكة الإنترنت، ورق رسم بياني، حاسوب. أسئلة التطبيق: كيف كانت دولة الكويت تؤمن حاجاتها من المياه قبل تدفق عائدات النفط؟ ما كلفة إنتاج المياه العذبة المقطرة المحلاة؟ ما المعدل اليومي لاستهلاك الفرد من المياه خلال الخمسين سنة الماضية؟ قارن معدلات الاستهلاك بين بلدان كقطر والسعودية وسلطنة عُمان. ما معدل الزيادة السكانية في الكويت وما تأثيره على كمية المياه المستهلكة؟
ما دروس الوحدة؟ وماذا ستتعلم؟
إظهار الإجابة
٣-١ السلسلة الزمنية · ٣-٢ عناصر السلسلة الزمنية · ٣-٣ تحليل السلاسل الزمنية (معادلة الاتجاه العام للسلسلة الزمنية). ستتعلم: السلسلة الزمنية · عناصر السلسلة الزمنية · تحليل السلسلة الزمنية. المعارف السابقة: مخطط الانتشار · الارتباط وتطبيقاته · مُعامل ارتباط بيرسون · الانحدار وتطبيقاته · التقدير بمعادلة الانحدار. المصطلحات: السلسلة الزمنية – المنحنى التاريخي للسلسلة الزمنية – عناصر السلسلة الزمنية – الاتجاه العام – التغيرات الموسمية – التغيرات الدورية – التغيرات العرضية (الفجائية). أضف إلى معلوماتك: تطور عمر الإنسان وزادت معدلاته؛ فكان معدل عمر الإنسان عام ١٩٠٠ في الولايات المتحدة حوالى ٤٧٫٣ سنة ليصبح عام ٢٠٠٧ ٧٧٫٩ سنة؛ وفي اليابان ٨٢ سنة، ودولة أندورة (٨٣٫٥ سنة).
١-٣ السلسلة الزمنية (Time Series)
لماذا تسمى «سلسلة زمنية»؟ وما متغيراتها؟
إظهار الإجابة
أي أنها علاقة تربط بين متغيرين أحدهما هو قيم الظاهرة المطلوب دراستها والآخر هو الزمن. أي أننا نتتبع سلوك الظاهرة في أزمنة متعاقبة (سنة – نصف سنة – ربع سنة – شهر – يوم …) ويسمى التتبع لقيم الظاهرة خلال هذه الأزمان بالسلسلة الزمنية. تحتوي على متغيرين: الزمن (المتغير المستقل) ويرمز له بالرمز (س)، وقيمة الظاهرة (المتغيّر التابع) ويرمز له بالرمز (ص). وتقاس قيم هذه الظواهر بنفس الوحدات ونفس طريقة القياس حتى يمكن المقارنة بين قيم الظاهرة خلال فترة الدراسة.
هل كل السلاسل الزمنية تتزايد؟ أعطِ أمثلة.
إظهار الإجابة
لا؛ بعض السلاسل الزمنية تكون تصاعدية بصورة مطردة (مثل إنتاج المياه المحلاة في دولة الكويت)، وبعضها تنازلية تتناقص قيمه بمرور الزمن (مثل عدد الإصابات بشلل الأطفال في السنوات الأخيرة)، والبعض الآخر من السلاسل الزمنية لا تخضع لنظام ثابت فهي متذبذبة بين التصاعدية والتنازلية وتكون قيم الظاهرة موزعة بين الصعود والنزول (مثل إنتاج المشروبات الغازية على مدار السنة).
مثال (١): متوسط العمر (ص) في إحدى الدول من ٢٠٠٤ إلى ٢٠١١: ٧٤، ٧٤، ٧٤، ٧٥، ٧٥، ٧٦، ٧٦، ٧٧ على الترتيب. (أ) مثّل بيانيًّا. (ب) ما نوع العلاقة بين متوسط العمر والزمن؟
إظهار الإجابة
(أ) نمثل الزمن على المحور الأفقي ومتوسط العمر على الرأسي ونصل النقاط بخط منكسر. (ب) نلاحظ أن متوسط العمر في تزايد مع الزمن.
مثال (٢): عدد الإصابات بشلل الأطفال (ص) بالآلاف من ١٩٦٠ إلى ١٩٦٧: ١٧، ١٥، ١٤، ١٢، ١٠، ٧، ٥، ٣. (أ) مثّل بيانيًّا. (ب) ما العلاقة؟
إظهار الإجابة
(ب) نلاحظ أن عدد الإصابات بشلل الأطفال في تناقص مع الزمن.
٢-٣ عناصر السلسلة الزمنية (Time Series Elements)
ما الهدف من الدراسة الإحصائية للسلسلة الزمنية؟ وما عناصرها؟
إظهار الإجابة
للسلسلة الزمنية متغيّر مستقل هو الزمن (س) وتابع (ص)، ويوجد عدد من المؤثرات المشتركة في كل سلسلة زمنية ولكنها تؤثر بدرجات مختلفة من ظاهرة لأخرى طبقًا لطبيعة الظاهرة. والهدف من الدراسة الإحصائية للسلسلة الزمنية هو اكتشاف التغيرات التي تطرأ على قيم الظاهرة من زيادة أو نقصان في زمن محدد وتسمى هذه التغيرات التي تؤثر على السلسلة الزمنية سواء كانت مجتمعة أم منفردة بعناصر السلسلة الزمنية. عناصر السلسلة الزمنية: ١) المؤثرات الاتجاهية العامة (الاتجاه العام) ٢) التغيرات الموسمية ٣) التغيرات الدورية ٤) التغيرات العرضية (الفجائية).
مثال (١) على التغيرات العرضية: أرباح إحدى الشركات الكبرى بملايين الدنانير من ١٩٨٥ إلى ٢٠٠٠. ما نوع التغيرات التي طرأت وما السبب؟
إظهار الإجابة
البيانات: ١٩٨٥: ١١ ، ١٩٨٦: ١٠، ١٩٨٧: ١١، ١٩٨٨: ١١، ١٩٨٩: ١٢، ١٩٩٠: ١ ، ١٩٩١: ٥ ، ١٩٩٢: ٩ … حتى ٢٠٠٠: ١٧. نلاحظ تغيرًا مفاجئًا في سنة ١٩٩٠ يمثّل انخفاضًا جذريًّا للأرباح. السبب الأبرز هو العدوان العراقي على الكويت. ← تغيرات عرضية (فجائية).
مثال (٢): عدد البشوت المباعة في أحد المجمعات التجارية خلال أربع سنوات (٢٠٠٢–٢٠٠٥) وعلى ثلاث فترات في كل سنة (الأولى، الثانية، الثالثة): ٢٠٠٢: ١٥٠،٧٠،١٨٠ ؛ ٢٠٠٣: ١٦٥،٨٠،٢١٥ ؛ ٢٠٠٤: ٢٠٥،٩٥،٢٣٠ ؛ ٢٠٠٥: ٢٢٠،١١٠،٢٥٠. ماذا تلاحظ؟
إظهار الإجابة
تتكرر التغيرات بانتظام خلال الفترات الزمنية من ٤ أشهر. تزداد المبيعات في الفترتين الأولى والثالثة من كل سنة مع ازدياد خفيف خلال السنوات ← تغيرات موسمية.
مثال (٣): مبيعات شركة (بمئات آلاف الدنانير) على ثماني سنوات موزعة على كل نصف سنة. ارسم المنحنى وماذا تلاحظ بالنسبة للاتجاه العام؟
إظهار الإجابة
المبيعات لكل سنتين: ٢٠٠١–٢٠٠٢: ٥٫٨ ، ٥٫١ ، ٧٫٠ ، ٧٫٥ ؛ ٢٠٠٣–٢٠٠٤: ٦٫٨ ، ٦٫٢ ، ٧٫٨ ، ٨٫٤ ؛ ٢٠٠٥–٢٠٠٦: ٧٫٠ ، ٦٫٦ ، ٨٫٥ ، ٨٫٨ ؛ ٢٠٠٧–٢٠٠٨: ٧٫٣ ، ٦٫٩ ، ٩٫٠ ، ٩٫٤. الاتجاه العام للسلسلة في تزايد.
٣-٣ تحليل السلاسل الزمنية (Analysing Time Series)
ما أهمية الاتجاه العام؟ وكيف نجد معادلته؟
إظهار الإجابة
الاتجاه العام للسلسلة الزمنية هو أهم عنصر من عناصر السلسلة، لأنه يساعد الباحثين وذوي الاختصاص على تقدير أو توقع قيمة مستقبلية لزمن قادم. تعلّمنا سابقًا كيفية إيجاد معادلة خط الانحدار. وفي هذا الدرس سوف نستخدم الطريقة ذاتها لإيجاد معادلة الاتجاه العام للسلسلة الزمنية مع فرق بسيط وهو استخدام المتغيّر (س) لتمثيل الزمن، بفرض أن العلاقة بين الزمن (س) وقيم الظاهرة (ص) هي علاقة خطيّة.
ما الخطوات المتبعة لإيجاد معادلة الاتجاه العام للسلسلة الزمنية؟
إظهار الإجابة
١) نفرض قيم الزمن (س) باعتباره الفترة الأولى (سنة الأساس) ونعبر عنه بالعدد صفر، والفترة الثانية بالعدد ١، ثم الفترة الثالثة بالعدد ٢، وهكذا … ٢) نعيّن قيم الثوابت أ، ب كما سبق شرحه حيث b = (nΣxy − ΣxΣy)/(nΣx² − (Σx)²) وa = ȳ − b x̄. ٣) معادلة الاتجاه العام تكتب على الشكل: ŷ = a + b x. ٤) يمكننا التنبؤ بقيمة ص إذا علمنا قيمة س. ٥) نحسب مقدار الخطأ: مقدار الخطأ = |القيمة الجدولية − القيمة التي تحقق معادلة الاتجاه العام للسلسلة الزمنية| = |صس − ص^س|.
دعنا نفكر ونتناقش: أوزان عشرة أطفال عند الولادة وعدد السجائر (س) التي تدخنها الأم يوميًّا. هل يوجد علاقة؟ أوجد ر ومعادلة خط الانحدار. وإذا كان وزن الطفل ١٩٥٠ جرامًا فما تقريبًا عدد السجائر؟
إظهار الإجابة
البيانات: س: ١٥، ١٠، ٥، ٨، ٩، ٧، ١١، ٦، ٣، ٢ ؛ ص: ١٤٤٧، ١٥٠٠، ١٧١٢، ١٧٠١، ١٨٥٧، ٢٠٣١، ٢١٤٥، ٢٢١٤، ٢٢١٠، ٢٥٣٧ (علاقة عكسية بين التدخين ووزن الطفل). (سؤال تمهيدي للنقاش في الكتاب بلا حل منشور)
أمثلة محلولة
مثال (١): عدد الخبراء الأجانب بالآلاف من ٢٠٠٧ حتى ٢٠١٤: ٠٫٥ ، ٠٫٧ ، ٠٫٨٣ ، ١٫٢ ، ١٫٥ ، ١٫٨ ، ١٫٣ ، ١. (أ) معادلة الاتجاه العام (ب) قدّر العدد سنة ٢٠١٧ (جـ) مقدار الخطأ في ٢٠١٢.
إظهار الإجابة
نعتبر ٢٠٠٧ سنة الأساس (س = ٠) وهكذا حتى ٢٠١٤ (س = ٧). ن = ٨ ، Σس = ٢٨ ، Σص = ٨٫٨٣ ، Σس ص = ٣٥٫٧٦ ، Σس² = ١٤٠. ب = (٨×٣٥٫٧٦ − ٢٨×٨٫٨٣)/(٨×١٤٠ − ٧٨٤) ≈ ٠٫١١٥٦. س̄ = ٣٫٥ ، ص̄ = ١٫١٠٣٨. أ = ١٫١٠٣٨ − ٠٫١١٥٦×٣٫٥ ≈ ٠٫٦٩٩٢. معادلة الاتجاه العام: ص^ = ٠٫٦٩٩٢ + ٠٫١١٥٦ س. (ب) ٢٠١٧ ← س = ١٠: ص^ = ٠٫٦٩٩٢ + ١٫١٥٦ = ١٫٨٥٥٢ ← تقدير سنة ٢٠١٧ هو ١٨٥٥ خبيرًا أجنبيًّا. (جـ) ٢٠١٢ ← س = ٥: ص^ = ٠٫٦٩٩٢ + ٠٫١١٥٦×٥ = ١٫٢٧٧٢ ؛ الخطأ = |١٫٨ − ١٫٢٧٧٢| = ٠٫٥٢٢٨ ← ≈ ٥٢٣ خبيرًا.
مثال (٢): كلفة إنتاج إحدى السلع بآلاف الدنانير من ٢٠٠٦ إلى ٢٠١٣: ١٥ ، ١٦ ، ١٨ ، ١٨ ، ٢٠ ، ٢٢ ، ٢٤ ، ٢٨. (أ) معادلة الاتجاه العام (ب) كلفة ٢٠١٧ (جـ) الخطأ سنة ٢٠١١.
إظهار الإجابة
سنة الأساس ٢٠٠٦ (س = ٠). ن = ٨ ، Σس = ٢٨ ، Σص = ١٦١ ، Σس ص = ٦٣٦ ، Σس² = ١٤٠ ← س̄ = ٣٫٥ ، ص̄ = ٢٠٫١٢٥. ب = (٨×٦٣٦ − ٢٨×١٦١)/(٨×١٤٠ − ٢٨²) = ٥٨٠/٣٣٦ ≈ ١٫٧٢٦٢. أ = ٢٠٫١٢٥ − ١٫٧٢٦٢×٣٫٥ ≈ ١٤٫٠٨٣٣. ص^ = ١٤٫٠٨٣٣ + ١٫٧٢٦٢ س. (ب) ٢٠١٧ ← س = ١١ ← ص^ ≈ ٣٣٫٠٧١٥ ألف دينار. (جـ) ٢٠١١ ← س = ٥: ص^ ≈ ٢٢٫٧١٤٣ ، الجدولية ٢٢ ← الخطأ ≈ ٠٫٧١٤٣ ألف دينار (≈ ٧١٤٫٣ دينارًا).
مثال (٣): عدد السيارات المنتجة (بالآلاف) من ٢٠٠٧ حتى ٢٠١٣: ٤٠ ، ٦٠ ، ٧٠ ، ٩٠ ، ١٠٠ ، ١٥٠ ، ١٨٠. (أ) معادلة الاتجاه العام (ب) قدّر عدد السيارات ٢٠١٦ (جـ) الخطأ سنة ٢٠١١.
إظهار الإجابة
سنة الأساس ٢٠٠٧ (س = ٠). ن = ٧ ، Σس = ٢١ ، Σص = ٦٩٠ ، Σس ص = ٢٧٠٠ ، Σس² = ٩١ ← س̄ = ٣ ، ص̄ ≈ ٩٨٫٥٧١٤. ب = (٧×٢٧٠٠ − ٢١×٦٩٠)/(٧×٩١ − ٢١²) = ٢٢٫٥. أ = ٩٨٫٥٧١٤ − ٢٢٫٥×٣ = ٣١٫٠٧١٤. ص^ = ٣١٫٠٧١٤ + ٢٢٫٥ س. (ب) ٢٠١٦ ← س = ٩ ← ص^ ≈ ٢٣٣٫٥٧١٤ ← حوالي ٢٣٤ ألف سيارة. (جـ) ٢٠١١ ← س = ٤: ص^ = ٣١٫٠٧١٤ + ٢٢٫٥×٤ = ١٢١٫٠٧١٤ ؛ الجدولية ١٠٠ ← الخطأ = ٢١٫٠٧١٤ ← حوالي ٢١ ألف سيارة.
المرشد لحل المسائل
يبيّن الخط المنكسر أعداد السوّاح الذين زاروا دولة الكويت من ١٩٩٥ إلى ٢٠١٠. (أ) كوّن جدولًا (ب) أوجد معادلة الاتجاه العام (جـ) قدّر عدد السواح لسنة ٢٠١٥ (د) أوجد مقدار الخطأ لسنة ٢٠١٠.
إظهار الإجابة
أعداد السواح تبدأ من ٧٢٬٠٠٠ (١٩٩٥)، ٧٦٬٠٠٠ (١٩٩٦) … وتنتهي بـ ٢٠٧٬٠٠٠ (٢٠١٠)، وقمم مثل ٢٩٣٬٠٠٠ و٢٩٧٬٠٠٠. نجعل ١٩٩٥ سنة الأساس: ن = ١٦ ، Σس = ١٢٠ ، Σص = ٢٬١٦٥٬٠٠٠ ، Σس ص = ٢١٬٠٩٥٬٠٠٠ ، Σس² = ١٢٤٠. ب = ١٤٬٢٨٦٫٨ ، أ = ٢٨٬١٦١٫٨ ← ص^ = ٢٨١٦١٫٨ + ١٤٢٨٦٫٨ س. (جـ) ٢٠١٥ ← س = ٢٠ ← ص^ ≈ ٣١٣٬٨٩٧ سائح. (د) ٢٠١٠ ← س = ١٥: الخطأ = |ص − ص^| ≈ ٣٥٬٤٦٤ سائحًا.
مسألة إضافية: الخط المنكسر لتطور عدد تطبيقات الهواتف الذكية خلال الأرباع من الربع الرابع ٢٠٠٩ إلى الربع الرابع ٢٠١١. ما العدد المتوقع في الربع الرابع من ٢٠١٥ وما الخطأ؟
إظهار الإجابة
المطلوب: (أ) كوّن جدولًا كما في المرشد، (ب) العدد المتوقع في الربع الرابع من ٢٠١٥، (جـ) مقدار الخطأ في الربع الرابع من ٢٠١٠. القيم المسجلة على المنحنى: ٢٥٠٠٠ ، ٣٥٠٠٠ ، ٧٥٠٠٠ ، ١٠٠٠٠٠ ، ١٧٥٠٠٠ ، ٢٧٠٠٠٠ ، ٣٧٥٠٠٠ ، ٥٠٠٠٠٠ ، ٦٧٥٠٠٠. (الكتاب يترك الحل للطالب بلا ناتج منشور)
الأنشطة والتقويم
حاول أن تحل (١) (من ٣-١): الزمن (س) بالسنوات وعدد الولادات (ص) بالآلاف: ٢٠٠٠–٢٠٠٨: ٤٢، ٤٢، ٤٣، ٤٥، ٤٧، ٥١، ٥٣، ٥٥، ٥٥. (أ) مثّل بيانيًّا (ب) ما نوع العلاقة؟
إظهار الإجابة
عدد الولادات في تزايد مع الزمن ← علاقة طردية (تصاعدية) (استنتاج من البيانات).
حاول أن تحل (٢) (من ٣-١): عدد الأميين بالمئات خلال الفترات: ٢٠٠٢: ٣١، ٢٠٠٣: ٢٧، ٢٠٠٤: ٢٥، ٢٠٠٥: ٢٥، ٢٠٠٦: ٢٤، ٢٠٠٧: ٢٥، ٢٠٠٨: ٢٣، ٢٠٠٩: ٢١، ٢٠١٠: ١٩. ما نوع العلاقة بين عدد الأميين والزمن؟
إظهار الإجابة
عدد الأميين يتناقص مع الزمن ← علاقة عكسية (تنازلية) (استنتاج).
حاول أن تحل (٣) (من ٣-١): مسافات لاعب كرة قدم خلال ١٤ دقيقة (بعشرات الأمتار): ١٥، ٧، ٩، ٨، ٢، ٦، ١٤، ١٥، ٧، ٩، ٨، ٢، ٦، ١٤. ارسم المنحنى. ماذا تلاحظ؟
إظهار الإجابة
الأرقام تتكرر على شكل دورة (١٥،٧،٩،٨،٢،٦،١٤) أي نمط يتكرر كل ٧ دقائق بلا اتجاه عام واضح (استنتاج).
حاول أن تحل (١) (من ٣-٣): مستخدمو الإنترنت بالآلاف من ٢٠٠٠ إلى ٢٠٠٨. (أ) معادلة الاتجاه العام (ب) قدّر العدد في ٢٠١٢ (جـ) الخطأ سنة ٢٠٠٦.
إظهار الإجابة
الطريقة: نجعل ٢٠٠٠ سنة الأساس (س = ٠ … ٨) ثم نطبق القانون كما في الأمثلة. القيم المسجلة في الكتاب تتزايد من ١٠٠ (٢٠٠٠) إلى ١٠٠٠ (٢٠٠٨). (لا أذكر ناتجًا لأن قراءة بعض الأعداد في صورة الصفحة غير واضحة)
حاول أن تحل (٢) (من ٣-٣): قيم الظاهرة من ١٩٩٨ إلى ٢٠٠٤: ٣، ٥، ٨، ١٠، ١٤، ١٦، ١٨. (أ) معادلة الاتجاه العام (ب) القيمة المتوقعة سنة ٢٠٠٧ (جـ) الخطأ سنة ٢٠٠٣. (حساب)
إظهار الإجابة
ن = ٧ ، Σس = ٢١ ، Σص = ٧٤ ، Σس ص = ٢٩٥ ، Σس² = ٩١ ← ب ≈ ٢٫٦٠٧١ ، أ = ٢٫٧٥ ← ص^ = ٢٫٧٥ + ٢٫٦٠٧١ س. (ب) ٢٠٠٧ ← س = ٩ ← ص^ ≈ ٢٦٫٢١٤. (جـ) ٢٠٠٣ ← س = ٥ ← ص^ ≈ ١٥٫٧٨٦ ؛ الجدولية ١٤ ← الخطأ ≈ ١٫٧٨٦.
حاول أن تحل (٣) (من ٣-٣): مبيعات شركة بالألف دينار من ٢٠٠١ إلى ٢٠٠٧: ٨٧، ٩١، ٩٦، ١٠٩، ١١٩، ١٢٩، ١٣٥. المعادلة، القيمة المتوقعة عام ٢٠١٠، الخطأ سنة ٢٠٠٥. (حساب)
إظهار الإجابة
ن = ٧ ، Σس = ٢١ ، Σص = ٧٦٦ ، Σس ص = ٢٥٤١ ، Σس² = ٩١ ← ب ≈ ٨٫٦٧٨٦ ، أ ≈ ٨٣٫٣٩٢٩ ← ص^ = ٨٣٫٣٩٢٩ + ٨٫٦٧٨٦ س. (٢٠١٠ ← س = ٩): ص^ ≈ ١٦١٫٥ . (٢٠٠٥ ← س = ٤): ص^ ≈ ١١٨٫١٠٧ ؛ الجدولية ١١٩ ← الخطأ ≈ ٠٫٨٩٣.
✎
اختبر نفسك
اختر الإجابة وسيظهر الصواب فورًاالنتيجة: 0 / 0
★ نصائح ليلة الاختبار
١) القيم الحرجة: ثقة ٩٥٪ ← α = ٠٫٠٥ ← z = ١٫٩٦ · ثقة ٩٠٪ ← z = ١٫٦٤٥ · ثقة ٩٩٪ ← α = ٠٫٠١.
٢) هامش الخطأ: σ معلوم ← z·σ/√n · σ مجهول وn > ٣٠ ← z·s/√n · σ مجهول وn ≤ ٣٠ ← t·s/√n (درجات الحرية n − ١). فترة الثقة (x̄ − E ، x̄ + E).
٣) اختبار الفروض: فـ₀ : μ = القيمة ، فـ₁ : μ ≠ القيمة ← المقياس z أو t ← منطقة القبول (−١٫٩٦ ، ١٫٩٦) ← داخلها نقبل فـ₀ وخارجها نرفضه.
٤) معامل الارتباط: −١ ≤ ر ≤ ١ · [٠٫٧ ، ١) طردي قوي · [٠٫٥ ، ٠٫٧) متوسط · (٠ ، ٠٫٥) ضعيف · ر = ٠ منعدم · وبالسالب للعكسي.
٥) قانون ر: (nΣxy − ΣxΣy) / (√[nΣx² − (Σx)²] · √[nΣy² − (Σy)²]).
٦) الانحدار: ŷ = a + b x ، b = (nΣxy − ΣxΣy)/(nΣx² − (Σx)²) ، a = ȳ − b x̄ ، الخطأ = |ص − ص^|.
٧) السلسلة الزمنية: الزمن س (سنة الأساس = ٠) · العناصر: اتجاه عام · موسمية (أقل من سنة) · دورية (أكثر من سنة) · عرضية (فجائية).
٨) أخطاء شائعة: نسيان طرح ١ من ن لدرجات الحرية · عدم تبديل القيمة الحرجة بين z وt · الخلط بين ر الموجبة والسالبة.