بنك أسئلة الرياضيات – الصف الحادي عشر العلمي – الجزء الأول

الدروس: 1-1 الجذور والتعبيرات الجذرية · 1-2 الأسس النسبية · 1-3 حل المعادلات. مشروع الوحدة: معدل السرعة — التعرّف على قوانين كبلر الثلاثة (يوهانز كبلر 1609 و1618) وحساب مدار كوكب وسرعته وزمنه الدوري باستخدام آلة حاسبة علمية. أين أنت الآن: تعرّفت الأعداد الحقيقية والجذر التربيعي وحل المتباينات واستخدام الآلة الحاسبة لإيجاد الجذور التربيعية والقيمة المطلقة. ماذا سوف تتعلّم: ضرب الجذور التربيعية والتكعيبية وقسمتها · ضرب التعبيرات الجذرية وقسمتها · إيجاد المرافق واستخدامه · كتابة عدد حقيقي بالصورة الجذرية وبالصورة الأسّية · حل معادلات جذرية وأسّية. المصطلحات: الجذر التربيعي، التكعيبي، النوني، المرافق، دليل الجذر، المجذور، المعادلة الجذرية والأسّية، الصورة الجذرية والأسّية.

الأعداد الطبيعية N (الكلية Whole Numbers) · الأعداد الصحيحة Z (Integers) · الأعداد النسبية Q (Rational) · الأعداد غير النسبية Q̄ (Irrational) · الأعداد الحقيقية R (Real). الرموز: ∀ «لكلّ»، ∃/: «حيث»، ∈ «ينتمي إلى». قوانين الأسس (n, m ∈ Z): a^m·aⁿ = a^m+n · a^m/aⁿ = a^m−n · (a^m)ⁿ = a^mn · (ab)^m = a^mb^m · (a/b)^m = a^m/b^m · a⁰ = 1 (a ≠ 0).

إذا كان A³ = B فإن A = ∛B، ويُقرأ «الجذر التكعيبي للعدد B» حيث 3 هو دليل الجذر وB هو المجذور. القاعدة: (∛x)³ = ∛(x³) = x , ∀x ∈ R.
مثال (1): أوجد الجذر التكعيبي: (a) −8 ← −2 · (b) 125 ← 5 · (c) −375/24 = −125/8 ← −5/2 · (d) 0.064 = 64/1000 ← 4/10 = 0.4. حاول: −27 ← −3 · 64 ← 4 · −0.008 ← −0.2 · 343/216 ← 7/6.

• ألّا يكون للمجذور عوامل مرفوعة لقوة أكبر أو تساوي دليل الجذر (مثل √(8a⁶b⁷) ليس في أبسط صورة). • ألّا يكون المقام جذريًّا (مثل 5/√2 ليس في أبسط صورة). • ألّا يكون المجذور كسرًا (مثل √(4/7)). • أن يكون دليل الجذر أصغر عدد صحيح موجب ممكن (مثل ¹⁰√32 ليس في أبسط صورة).

√(x²) = |x| وهي تساوي x إذا x ≥ 0، و0 إذا x = 0، و−x إذا x < 0. أما ∛(x³) = x لكل x ∈ R. مثال (2): بسّط: (a) √(4x⁶) = √((2x³)²) = |2x³| = 2x³ إذا x ≥ 0، و−2x³ إذا x < 0 · (b) ∛(8x³) + 3x = 2x + 3x = 5x. حاول: √(9x²y⁴) = 3|x|y² · ∛(−27x⁶) + 3x² = −3x² + 3x² = 0 · √(x⁸y⁶) = x⁴|y³|. (حلّ نموذجي)

وزن البرتقالة w يرتبط بقطرها d بالصيغة w = d³/2.3 (d بالسنتيمتر، w بالجرام). وزن البرتقال 226 g ≤ w ≤ 255 g: بالتعويض 226 < d³/2.3 < 255 ← 519.8 < d³ < 586.5 ← ∛519.8 < d < ∛586.5 ← 8.04 cm < d < 8.37 cm. أكبر قطر مقطع دائري للبرتقالة 8.37 cm؛ أبعاد الصندوق: العرض = 3 × 8.37 = 25.11 cm، الطول 4 × 8.37 = 33.48 cm. حاول (3): أوجد أكبر قطر لكل برتقالة وزنها 85 g، 195.93 g، 177.19 g: d = ∛(2.3w) ≈ 5.80 cm، 7.66 cm، 7.41 cm. (حساب)

(a) 3√32 − √98 = 12√2 − 7√2 = 5√2 · (b) 2∛3 + 5∛375 = 2∛3 + 25∛3 = 27∛3 · (c) √18 + √50 − √72 = 3√2 + 5√2 − 6√2 = 2√2 · (d) ∛128 + ∛54 − 2∛250 = 4∛2 + 3∛2 − 10∛2 = −3∛2. حاول (4): 4∛8 + 2∛128 = 8 + 8∛2 · 2√75 − √48 = 6√3 · √12 + √147 − √27 = 6√3 · ∛320 + ∛40 − ∛135 = 3∛5. (حلّ نموذجي)

(a) √(72x³) = √(6²·x²·2x) = 6|x|√(2x) = 6x√(2x) · (b) ∛(80n⁵) = ∛(2³·10·n³·n²) = 2n∛(10n²). حاول (5): √(50x⁴) = 5x²√2 · ∛(18x³) = x∛18.

(a) √(5x³)·√(40x) , x ≥ 0 = √(200x⁴) = 10x²√2 · (b) ∛(5x³y⁴)·∛(64x²y³) = ∛(5·64·x⁵·y⁷) = 4xy²∛(5x²y). حاول (6): 3√(7x³)·2√(x³y²) = 6x³|y|√7 (x ≥ 0) · 4∛(x⁴y)·3∛(x²y) = 12x²∛(y²). (حلّ نموذجي)

(a) ∛(162x⁵)/∛(3x²) = ∛(54x³) = 3x∛2 (x ≠ 0) · (b) ∛(250x⁷y³)/∛(2x²y) = ∛(125x⁵y²) = 5x∛(x²y²) (x ≠ 0, y ≠ 0). حاول (7): √243/√27 = 3 · √(12x⁴)/√(3x) = 2x√x (x > 0) · ∛(128x¹⁵)/∛(2x²) = 4x⁴∛x. (حلّ نموذجي)

إذا كان x, y تعبيرين جذريين وكان ناتج ضرب x في y عددًا نسبيًّا فإن x, y مرافقان. فمثلًا √2 مرافق √2 (لأن √2×√2 = 2)؛ و(3−√2) مرافق (3+√2) لأن (3−√2)(3+√2) = 9−2 = 7؛ و∛5 مرافق ∛(5²) لأن ∛5×∛25 = ∛125 = 5. المرافق ليس وحيدًا. لكتابة كسر مقامه جذر على شكل كسر مقامه عدد نسبي نضرب البسط والمقام في مرافق المقام (إنطاق المقام). (a−b)(a+b) = a² − b².

(a) (1+√2)/√3 = (√3+√6)/3 · (b) (√2−1)/(3−√2) = (2√2−1)/7 (بالضرب في المرافق 3+√2) · (c) 3/∛5 = 3∛25/5 · (d) (x+√x)/(√x−9x) = (9x²+10x√x+x)/(x−81x²) (x ∈ Q⁺). حاول (8): (√3+√2)/√3 = (3+√6)/3 · (3−√2)/(2−√2) = (4+√2)/2 · 1/∛(7²) = ∛7/7 · (x+√x)/(√x−1) = (x√x+2x+√x)/(x−1). (حلّ نموذجي)

يصّ قانون كبلر الثالث أن مربع الزمن الدوري (T²) لكوكب حول الشمس يتناسب طرديًّا مع مكعب نصف طول المحور الأكبر لمداره (r³): T² = (4π² / (6.673×10⁻¹¹ × M)) × r³ حيث M كتلة الشمس بالكيلوجرام. إيجاد r: r = ∛( M × 6.673×10⁻¹¹ × T² / 4π² ). إذا كانت كتلة النجم M = 6×10²⁴ kg وزمنه الدوري T = 5175 s: r ≈ 6.476×10⁶ m، وهو يقارب نصف قطر الكوكب. حاول (9): بالعلاقة نفسها T² = 4π²r³/(G·M) مع M = 5.4×10²¹ kg وr = 5.84×10⁵ m ← T ≈ 4.7×10³ s. (حلّ نموذجي)

سوف تتعلّم: كتابة عدد حقيقي في الصورة الجذرية والأسّية · تحويل من الصورة الجذرية إلى الأسّية وبالعكس · الجذر النوني · خواص الجذور · ضرب الجذور وقسمتها. من x³·x³ = x⁶ نستنتج أن x³ جذر تربيعي لـ x⁶؛ وكذلك x²·x² = x⁴؛ x⁻¹·x⁻¹ = x⁻². وبما أن √x هو الجذر التربيعي الأساسي للعدد x الموجب: x = √x·√x ، أي x^□·x^□ = x¹ ← □ + □ = 1 ← □ = 1/2 ، أي √x = x^(1/2). وهكذا يمكن كتابة أي تعبير جذري باستخدام الأس النسبي.

(a) 125^(1/3) = ∛(5³) = 5 · (b) 5^(1/2)×5^(1/2) = √5×√5 = 5 · (c) 10^(1/3)(100^(1/3)) = ∛(10·100) = ∛(10³) = 10. حاول (1): 64^(1/3) = 4 · (2^(1/2))(2^(1/2)) = 2 · (8^(1/2))(2^(1/2)) = √16 = 4.

25^(3/2) = 25^(3×1/2) = (25³)^(1/2) = √(25³) (= 125). حاول (2): 64^(4/3) = (∛64)⁴ = 256. وتبرهن الخاصية (xᵐ)ⁿ = x^(n·m) أنه يمكن كتابة الأس النسبي بصورة كسرية بحيث يكون الأس كسرًا.

(a) الصورة الجذرية: x^(2/5) = ⁵√(x²) = (⁵√x)² · y^(−2.5) = y^(−5/2) = 1/y^(5/2) = 1/√(y⁵) ، ∀y > 0 (حوّل 2.5 إلى كسر مركّب؛ x^(−n) = 1/xⁿ , x ≠ 0). (b) الصورة الأسّية: (⁵√y)² = y^(2/5) · √(b³) = b^(3/2) ، b ≥ 0. حاول (3): x^0.4 = ⁵√(x²) · y^(3/8) = ⁸√(y³) ، y ≥ 0 · ∛(x²) = x^(2/3) · (√y)³ = y^(3/2) ، y ≥ 0. (حلّ نموذجي)

يدور جهاز بالمعادلة n = g^0.5 / (2·π·r^0.5) حيث n السرعة الدورانية (دورة/ثانية)، r نصف قطر الدوران (m)، g الجاذبية الوهمية (m/s²). لجهاز نصف قطره 1.7 m وg = 9.8: n = 9.8^0.5 / (2×3.14×1.7^0.5) ≈ 0.382 دورة/ثانية. حاول (4): الجاذبية تحاكي نصف مقدار الجاذبية الأرضية (g = 4.9): n ≈ 0.27 دورة/ثانية. (حساب)

(a) (−32)^(3/5) = ((−2)⁵)^(3/5) = (−2)³ = −8 · (b) (x^(1/2)·x^(5/6)) ÷ x^(2/3) = x^(1/2+5/6−2/3) = x^(2/3) (x > 0). حاول (5): 25^(−3/2) = 1/125 · (−32)^(4/5) = 16 · ((16x¹⁴)/(81y¹⁸))^(1/2) = 4x⁷/(9y⁹) (x ≥ 0, y > 0). (حلّ نموذجي)

(a) ⁴√5 × ⁴√7 = ⁴√35 (أو 5^(1/4)·7^(1/4) = 35^(1/4)) · (b) ³√16 / ³√2 = ³√8 = 2 (أو 16^(1/3)/2^(1/3) = (16/2)^(1/3) = 8^(1/3) = 2) · (c) √(⁴√256) = ⁸√256 = ⁸√(2⁸) = 2 · (d) [(√(x³y³))^(1/3)]^(−1) = [(xy)^(1/2)]^(−1) = (xy)^(−1/2) = 1/√(xy) = √(xy)/(xy) (ضرب البسط والمقام بمرافق المقام). حاول (6): ⁵√9 × ⁵√27 = ⁵√243 = 3 · ³√243/³√3 = ³√81 = 3∛3 · √(∛729) = ⁶√729 = 3 · (⁴√x·⁴√(y³))^(−12) = (xy³)^(−3) = 1/(x³y⁹). (حلّ نموذجي)

تعطى قوة الجاذبية بين جسمين بالعلاقة g = 6.67×10⁻¹¹ · k₁·k₂ / d² (k₁, k₂ الكتلتان بالكيلوجرام، d المسافة بينهما بالمتر، g القوة بالنيوتن). أوجد المسافة بين الأرض والقمر إذا كانت كتلة الأرض 5.98×10²⁴ kg وكتلة القمر 1.23% من كتلة الأرض وقوة الجاذبية بينهما تقريبًا 183×10¹⁹ N: d = √(6.67×10⁻¹¹ · k₁k₂ / g) ≈ 126 616 735.4 m (تقريبًا). حاول (7): بحساب نموذجي لمسافة الأرض والشمس (كتلة الشمس 2×10³⁰ kg وقوة الجاذبية 53.2×10²³ N): d ≈ 1.2×10¹⁰ m. (حساب — تحقّق من القراءة)

حل معادلات جذرية وحل معادلات أسّية. مصطلحات: معادلة جذرية Radical Equation، معادلة أسّية Exponential Equation، كثيرة حدود من الدرجة الثانية Quadratic Polynomial. تمهيد: ليكن a = √(7+4√3): (2+√3)² = 7+4√3 فـ a = 2+√3 ؛ ومنه حل المعادلة x² = 7+4√3 هو x = ±(2+√3)؛ وكذلك y² = 7−4√3 ← ±(2−√3)؛ و(√7−√5)² = 12−2√35 فحل x² = 12−2√35 هو x = ±(√7−√5).

يمكن حل معادلة على صورة x^(m/n) = b برفع طرفي المعادلة إلى الأس n/m (المعكوس الضربي لـ m/n). إذا كان m عددًا زوجيًّا فإن (x^(n/m))^(m/n) = |x|؛ وإذا كان m عددًا فرديًّا فإن (x^(n/m))^(m/n) = x. ملاحظة: مقام الأس النسبي هو دليل الجذر. وجملة مفتوحة (صحيحة أو خاطئة) مجموعة الحل هي مجموعة التعويض التي تجعل الجملة صحيحة.

(a) أفصل الجذر: √(3x−2) = 4 ← شرط: 3x−2 ≥ 0 ← x ≥ 2/3 ← x ∈ [2/3, ∞). نربّع الطرفين: 3x−2 = 16 ← x = 6 ∈ [2/3, ∞) ← مجموعة الحل {6}. (b) √(x−1) = −3 ← مجموعة الحل φ لأن √(x−1) موجب و−3 سالب. حاول (1): √(5x+4) − 7 = 0 ← 5x+4 = 49 ← {9} · √(x−2) + 9 = 0 ← φ. (حلّ نموذجي)

اقسم على 2: (x−2)^(2/3) = 25. ارفع الطرفين للأس 3/2 (m = 2 زوجي): |x−2| = √(25³) = 5³ = 125 ← x−2 = 125 أو x−2 = −125 ← x = 127 أو x = −123 ← {−123, 127}. حاول (2): 2(x+3)^(3/2) = 54 ← (x+3)^(3/2) = 27 ← x+3 = 9 ← {6} · (1−x)^(2/5) − 4 = 0 ← |1−x| = 4^(5/2) = 32 ← {−31, 33}. (حلّ نموذجي)

يمكن الحصول على حلول دخيلة (لا تحقّق الشرط) عند رفع طرفي المعادلة إلى قوة ما. √(x−3) = x−5 ؛ الشرط: x−3 ≥ 0 و x−5 ≥ 0 ← x ≥ 5 ← x ∈ [5, ∞). نربّع: x−3 = (x−5)² = x²−10x+25 ← x²−11x+28 = 0 ← (x−4)(x−7) = 0 ← x = 4 أو x = 7؛ 4 ∉ [5,∞) (حل دخيل لا يحقّق الشرط) و7 ∈ [5,∞) ← مجموعة الحل {7}. حاول (3): √(5x−1) + 3 = x ← x²−11x+10 = 0 ← x = 1 أو 10؛ x ≥ 3 ← {10}. (حلّ نموذجي)

في بعض الحالات تحتوي المعادلة على جذرين فيتم فصلهما بحيث يحتوي كل طرف على جذر. (a) √(8x) − 2√(4x−16) = 0 ← √(8x) = 2√(4x−16) ؛ الشرط: 4x−16 ≥ 0 و8x ≥ 0 ← x ≥ 4. ربّع: 8x = 4(4x−16) ← 2x = 4x−16 ← x = 8 ∈ [4,∞) ← {8}. (b) √x + √(2x−4) = 0 ← √x = −√(2x−4) ولا يتحقق إلّا إذا كان √(2x−4) = 0 ← x = 2 و√x = 0 ← x = 0 أي لا توجد قيمة للمتغيّر x تجعل الطرف الأيسر صفرًا ← φ. حاول (4): √(5x) − √(2x+9) = 0 ← {3} · √(x−7) + √(3x−21) = 0 ← {7}. (حلّ نموذجي)

تعطي العلاقة بين دورة نابض مرن (زنبرك) مهتز وكتلة الجسم المعلّق به المعادلة f = 2π√(m/c) حيث f الدورة بالثواني (s)، m الكتلة بالكيلوجرام (kg)، c = 20 (ثابت). أوجد كتلة جسم معلّق بنابض زمن دورته f = 4 s: √(m/20) = 4/2π ← m/20 = 16/(4π²) ← m ≈ 8.1 kg. حاول (5): البندول f = 2π√(l/10): أوجد طول الخيط إذا كان زمن الدورة 2 s: l = 10/π² ≈ 1.01 m. (حساب)

(a) 2ˣ = 2⁶ ← x = 6 ← {6}. (b) (1/2)ˣ = 1/2 = (1/2)¹ ← x = 1 ← {1}. (c) 64/27 = 4³/3³ = (4/3)³ = (3/4)^(−3) ← x = −3 ← {−3}. حاول (6): 3ˣ = 243 ← {5} · (1/4)ˣ = 1/128 ← 2^(−2x) = 2^(−7) ← {7/2} · (2/3)ˣ = 81/16 ← {−4}.

(a) 3^(x²−1) = 3³ ← x²−1 = 3 ← x² = 4 ← x = ±2 ← {2, −2}. (b) 7^(x²−3x) = 7^(−2) ← x²−3x+2 = 0 ← (x−1)(x−2) = 0 ← {1, 2}. (c) 6^(2x−8) = 6⁰ ← 2x−8 = 0 ← x = 4 ← {4}. حاول (7): 5^(x²−4) = 1 ← {2, −2} · 3^(x²+5x) = 1/81 ← x²+5x+4 = 0 ← {−1, −4} · 2^(x²−4) = 32 ← x² = 9 ← {3, −3}. (حلّ نموذجي) تذكّر: إذا ab = 0 فإن a = 0 أو b = 0، وa⁰ = 1 حيث a ≠ 0. الربط بالحياة: تستخدم المعادلات الأسّية في العلوم الطبية (مثلًا الكمية المتبقية في الجسم من دواء بعد t ساعة: y = 0.63ᵗ).

الاستراتيجية: إيجاد حجم المكعب، إيجاد حجم الكرة، ثم إيجاد نسبة حجم الكرة إلى حجم المكعب. الخطوة الأولى — حجم المكعب: V = x³. الثانية — حجم الكرة: قطر الكرة AB هو قطر المكعب؛ AC = قطر وجه المكعب: (AC)² = x² + x² = 2x² ← AC = x√2؛ من المثلث القائم ABC: (AB)² = (AC)² + (BC)² = 2x² + x² = 3x² ← AB = x√3، ونصف القطر R = x√3/2. حجم الكرة = (4/3)πR³ = (4/3)(3.14)(x√3/2)³ ≈ 1.57√3·x³. الثالثة — النسبة: حجم الكرة/حجم المكعب = (1.57√3·x³)/x³ ≈ 2.72 ← حجم الكرة : حجم المكعب = 2.72 : 1. مسألة إضافية: مكعب ضلعه x محاط بأسطوانة، أوجد نسبة حجم الأسطوانة إلى حجم المكعب: r = x√2/2، h = x ← V = πr²h = 1.57x³ ← النسبة ≈ 1.57 : 1. (حلّ نموذجي)

الأعداد الحقيقية ← (1) حل المعادلات: معادلات جذرية، معادلات أسّية · (2) الأسس النسبية: قوانين الأسس النسبية، الجذور النونية، تحويل الصورة الأسّية والصورة الجذرية · (3) الجذور والتعبيرات الجذرية: الجذور التربيعية والجذور التكعيبية ← العمليات لتبسيط الجذور ← المرافق.

• √(x²) = |x| ، (√x)² = x · A² = x, x ≥ 0 ⇒ A = ±√x · ∀x ∈ R: (∛x)³ = ∛(x³) = x · √(xy) = √x·√y ، x,y ∈ R⁺∪{0} · √(x/y) = √x/√y · ∛(xy) = ∛x·∛y ، ∛(x/y) = ∛x/∛y (y ≠ 0).
• إذا كان a, b عددين نسبيين موجبين فإن √a هو مرافق √a ، و a+√b هو مرافق a−√b.
• الجذر النوني: x^(1/n) = ⁿ√x ، x^(m/n) = ⁿ√(xᵐ) · ⁿ√(xⁿ) = |x| إذا n زوجي، = x إذا n فردي.
• (∀m,n ∈ Z, ∀a,b ∈ R, a,b ≠ 0): (ab)ⁿ = aⁿbⁿ · aᵐ·aⁿ = a^(m+n) · (aᵐ)ⁿ = a^(mn) · (a/b)ᵐ = aᵐ/bᵐ · b^(−n) = 1/bⁿ · bⁿ/bᵐ = b^(n−m).
• ⁿ√x·ⁿ√y = ⁿ√(xy) · ⁿ√x/ⁿ√y = ⁿ√(x/y) ، y ≠ 0 · ᵐ√(ⁿ√x) = ᵐⁿ√x.
• المعادلة الجذرية: أس المتغيّر فيها عدد نسبي أو يتضمّن المجذور المتغيّر. إذا m زوجي فإن (x^(m/n))^(n/m) = |x| ؛ وإذا m فردي فإن = x · aᵐ = aⁿ ⇒ m = n (a ∉ {−1,0,1}).

الدروس: 2-1 مجال الدالة · 2-2 الدوال التربيعية ونمذجتها · 2-3 الدوال التربيعية والقطوع المكافئة · 2-4 مقارنة بين صورة المعادلة التربيعية بدلالة إحداثيات رأس المنحنى والصورة العامة · 2-5 المعكوسات ودوال الجذر التربيعي · 2-6 حل المتباينات. مشروع الوحدة: رياضة القوس والنشاب (السهم قطره الأقصى 9.3 mm؛ حلقات ملوّنة من الداخل: أصفر، أحمر، أزرق، أسود وأبيض بنقاط من 10 إلى 1؛ الحلقة الصفراء الرامي نقاط 10)، ونمذجة مسار السهم بدالة تربيعية. ماذا سوف تتعلّم: الدوال التربيعية واستخداماتها · نمذجة البيانات · إيجاد أوسع مجال للدوال الحدودية والنسبية والجذرية · إيجاد القيم الصغرى والعظمى لدالة تربيعية · رسم القطع المكافئ بدلالة إحداثيات رأسه · إيجاد رأس المنحنى من الدالة المكتوبة في الصورة العامة · كتابة المعادلات التربيعية بدلالة إحداثيات الرأس وفي الصورة العامة · إيجاد معكوس الدالة الخطية والدالة التربيعية · استخدام دوال الجذر التربيعي لتمثيل مواقف حياتية · حل متباينات تتضمن حدوديات من الدرجة الثانية في متغير واحد أو حدوديات نسبية. المصطلحات الأساسية: دالة تربيعية – نمذجة بيانات – مجال – مدى – قيمة صغرى – قيمة عظمى – قطع مكافئ – رأس القطع المكافئ – معادلة تربيعية بدلالة إحداثيات رأس القطع المكافئ – الصورة العامة – معكوس دالة خطية – معكوس دالة تربيعية – متباينة من الدرجة الثانية – متباينة حدوديات نسبية.

سوف تتعلّم: العلاقة والدالة · مجال الدالة. المفردات: العلاقة Relation · المجال Domain · المجال المقابل Co-Domain · المدى Range · الدالة Function · اختبار المستقيم الرأسي Vertical Line Test · أصفار المقام Zeros of Denominator.

(a) r₁: المجال {1,2,3,4,6}، المجال المقابل {1,2,3,4,5}، المدى {2,3,4,5}؛ r₁ = {(1,2),(2,3),(3,4),(4,5)} — ليست دالة لأن العنصر 6 من المجال لم يقترن بعنصر من المقابل. (b) r₂: المجال {1,2,3,4,5}، المقابل {0,1,2,3}، المدى {2}؛ r₂ = {(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(5,2)} — دالة (كل عنصر يقترن بعنصر واحد فقط). (c) r₃: المجال {1,2,3,4,5}، المقابل = المدى = {1,4,9,16,25}؛ r₃ = {(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25)} — دالة. (d) r₄: المجال {1,2,3,4}، المقابل = المدى = {2,3,4}؛ r₄ = {(1,2),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)} — ليست دالة لأن العنصر 3 من المجال يقترن بعنصرين من المقابل.

(a) يمكن رسم مستقيم رأسي واحد على الأقل يقطع المنحنى بأكثر من نقطة ← البيان لا يمثل دالة. (b) كل مستقيم رأسي يقطع المنحنى بنقطة واحدة على الأكثر ← يمثل دالة. (c) كل مستقيم رأسي يقطع المنحنى بنقطة واحدة ← يمثل دالة (خط مستقيم). حاول (1): القطع المكافئ المفتوح لأعلى (رأسي) دالة؛ المنحنى المفتوح جانبيًّا (أفقيًّا) ليس دالة.

(a) f(x) = 2x+1: كثيرة حدود فمجالها R. (b) g(x) = x²+3x+1: كثيرة حدود فمجالها R. (c) t(x) = √(3x−4): لا يوجد جذر تربيعي لعدد سالب في R، فالمجال هو قيم x التي تجعل 3x−4 ≥ 0 ← x ≥ 4/3 ← [4/3, ∞). (d) h(x) = (x+2)/(x−4): دالة نسبية (حدودية ÷ حدودية)، ولإيجاد أصفار المقام: x−4 = 0 ← x = 4 ← المجال R−{4} أو (−∞,4)∪(4,∞). (e) u(x) = ∛(2x+1): الجذر التكعيبي معرّف لأي عدد حقيقي ← المجال R. (f) v(x) = √(3x−4)/(x−2): البسط معرّف على [4/3,∞) والمقام يساوي صفرًا عند x = 2 ← المجال [4/3,∞)−{2} = [4/3,2)∪(2,∞).

(a) f(x) = 2x³−4x−√(2x−6): الجذر يتطلّب 2x−6 ≥ 0 ← x ≥ 3 ← مجال a = [3,∞)، ومجال b كثيرة الحدود R ← مجال f = R ∩ [3,∞) = [3,∞). (b) g(x) = (2x²+x)√(8−2x): مجال m (كثيرة حدود) = R؛ p(x) = √(8−2x): 8−2x ≥ 0 ← x ≤ 4 ← (−∞,4] ← مجال g = R ∩ (−∞,4] = (−∞,4]. (c) h(x) = ∛(1+x)/(x²−1): البسط جذر تكعيبي فمجاله R، والمقام كثيرة حدود وأصفاره x = ±1 ← R−{−1,1}. (d) u(x) = 4/√(−x): s(x) = 4 مجالها R؛ t(x) = √(−x): −x ≥ 0 ← x ≤ 0؛ المقام يساوي صفرًا عند x = 0 ← u مجالها (−∞,0). حاول (2): f₁(x) = (2x+5)/(x−4) ← R−{4} · f₂(x) = x³−4x²−4+√(x−9) ← [9,∞) · f₃(x) = √(5−4x)/(x²+4) ← (−∞,5/4] · f₄(x) = ∛((x²−5x)/x) ← R−{0}. (حلّ نموذجي)

سوف تتعلّم: الدوال التربيعية واستخداماتها · تقدير ما تستخدمه الدالة من نموذج خطي. المفردات: الدوال التربيعية Quadratic Functions · الصورة العامة General Form · حد من الدرجة الثانية Quadratic Term · حد مطلق (ثابت) Constant Term · دالة خطية Linear Function · مجال الدالة Domain of the Function. العمل التعاوني: ثقب في أسفل زجاجة بلاستيكية، ملؤها بالماء، وقياس مستوى الماء كل 10 s؛ ثم تمثيل البيانات (الزمن بالثواني ومستوى الماء بالملّيمتر) في جدول وبيانيًّا وتحديد أي منحنى يلائم البيانات أكثر (خطي أم تربيعي).

A: f(1) = 3−5−2 = −4 ✓ (تقع) · B: f(2) = 12−10−2 = 0 ✓ (تقع) · C: f(0) = −2 ≠ 2 ✗ · D: f(−3) = 27+15−2 = 40 ✓. (حساب)
تعريف الدالة الخطية: f: R → R ، f(x) = ax + b ، a ∈ R, b ∈ R ويمثّل بيانها خطًّا مستقيمًا؛ وعندما a = 0 تكون f(x) = b دالة ثابتة بيانها مستقيم أفقي.

نكتبها بالصورة العامة بالتوزيع: f(x) = 3x² + 6x − 4x − 8 = 3x² + 2x − 8 ← حد الدرجة الثانية 3x² ← دالة تربيعية. حاول (1): (a) 2x(x−3) = 2x²−6x ← تربيعية · (b) (x−2)(2x+1) = 2x²−3x−2 ← تربيعية · (c) (2x+3)² − 4x² − 7x = 5x + 9 ← خطية · (d) 3(x²−4x) − 3x² + 4 = −12x + 4 ← خطية. (حلّ نموذجي)

البيانات: x = 2,3,4,5,6,7 ← y = 1,3,6,10,15,21. نأخذ ثلاث نقاط (2,1) ، (3,3) ، (4,6) في f(x) = ax²+bx+c: 1 = 4a+2b+c ، 3 = 9a+3b+c ، 6 = 16a+4b+c. بالطرح: 2 = 5a+b و3 = 7a+b ← 2a = 1 ← a = 1/2 ، b = −1/2 ، c = 0. f(x) = ½x² − ½x. (b) f(10) = 50 − 5 = 45 قطعة، f(20) = 200 − 10 = 190 قطعة. حاول (2): عدد الأضلاع x = 4,5,6,7 وعدد الأقطار y = 2,5,9,14: f(x) = ½x² − (3/2)x ← مضلع 10 أضلاع: 35 قطرًا؛ مضلع 15 ضلعًا: 90 قطرًا. (حلّ نموذجي)

t = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32 و y = 112.3, 104.8, 97.5, 90.4, 83.5, 76.8, 70.3, 64. نختار ثلاثة أزواج (4, 112.3) ، (12, 97.5) ، (20, 83.5): 16a+4b+c = 112.3 ، 144a+12b+c = 97.5 ، 400a+20b+c = 83.5. بآلة حاسبة علمية: a = 1/160 = 0.00625 ، b = −39/20 = −1.95 ، c = 120 ← f(t) = 0.00625t² − 1.95t + 120 (تحقّق: f(8) = 104.8 ✓). (b) بعد 36 s: f(36) = 8.1 − 70.2 + 120 = 57.9 ← أي يصبح مستوى الماء حوالي 58 cm (بحسب قراءة الكتاب).

الجدول: x (البعد الأفقي بالأمتار): 0.6, 1, 1.2, 1.3, 1.6, 2, 2.6, 3 و y (الارتفاع): 4.44, 4.92, 5.016, 5.028, 4.92, 4.44, 3, 1.56. نختار ثلاثة أزواج: (0.6, 4.44) ، (1, 4.92) ، (1.2, 5.016): 0.36a+0.6b+c = 4.44 ، a+b+c = 4.92 ، 1.44a+1.2b+c = 5.016 ← a = −1.2 ، b = 3.12 ، c = 3 ← f(x) = −1.2x² + 3.12x + 3. التحقّق: (1.3, 5.028): −1.2(1.69)+3.12(1.3)+3 = 5.028 ✓.

من (0,3): c = 3؛ من (1,−2): a+b = −5؛ من (−1,10): a−b = 7 ← a = 1 ، b = −6 ← y = x² − 6x + 3 (تحقّق: x = 3 ← −6 ✓، x = 4 ← −5 ✓). (حساب)

سوف تتعلّم: إيجاد القيمة الصغرى أو القيمة العظمى لدالة تربيعية · إيجاد معادلة محور التماثل · إيجاد معادلة القطع المكافئ بدلالة إحداثيات الرأس · رسم القطع المكافئ بدلالة إحداثيات رأسه. المفردات: قطع مكافئ Parabola · رأس القطع المكافئ Vertex of the Parabola · محور التماثل Axis of Symmetry. عمل تعاوني: عند قذف كرة في الهواء يكون مسارها على شكل قطع مكافئ؛ مثال y = −0.35x² + 50: القيمة العظمى y = 50 عند x = 0.

معادلة الدالة التي تمثّل قطعًا مكافئًا رأسه (0,0) هي y = ax². لإيجاد قيمة a نستخدم إحداثيات نقطة غير نقطة الرأس. معادلة محور تماثل هذا القطع المكافئ x = 0. نشاط (1): للرسم الموضّح (P(1,2) ، Q'(4,8)): الرأس (0,0)، محور التماثل x = 0، ونظير P(1,2) هو P'(−1,2) ← y = 2x². اتساع القطع المكافئ: كل القطوع المكافئة لها الشكل العام نفسه، ويتغيّر اتساعها تبعًا لتغيّر معامل حد الدرجة الثانية: إذا |a| < 1 فإن الرسم أوسع من رسم y = x² ؛ وإذا |a| > 1 فالرسم أضيق. نشاط (2): أشكال y = 2x² و y = x² و y = ½x² — كلما زادت |a| ضاق القطع. تكون الفتحة لأعلى إذا a > 0 وللأسفل إذا a < 0.

(a) F(−1,6): y = ax² ← 6 = a(−1)² ← a = 6 ← y = 6x² والفتحة لأعلى (a > 0). (b) H(−4,−8): −8 = a(−4)² ← 16a = −8 ← a = −1/2 ← y = −½x² والفتحة لأسفل (a < 0). حاول (1): E(4,2): a = 1/8 ← y = (1/8)x² (لأعلى) · D(1,−5): a = −5 ← y = −5x² (لأسفل). حاول (2): بيان يمر بالنقطة (2,5): 5 = 4a ← a = 5/4 ← y = (5/4)x². (حلّ نموذجي)

رأس القطع (h,k) = (3,4) فنستخدم y = a(x−3)² + 4 ونعوّض P(5,−4): −4 = a(5−3)² + 4 ← −8 = 4a ← a = −2 ← معادلة القطع المكافئ y = −2(x−3)² + 4. حاول (3): رأسه (2,4) ويمر بـ (3,3): 3 = a(1)² + 4 ← a = −1 ← y = −(x−2)² + 4. (حلّ نموذجي)

المعادلة بالصورة y = a(x−h)²+k فهي قطع مكافئ: h = −1 ، k = −2 ← رأس المنحنى (−1,−2) · a = 2 > 0 ← فتحة المنحنى لأعلى والرأس عند قيمة صغرى للدالة · معادلة محور التماثل x = h ← x = −1 · نرسم محور التماثل ثم نجد نقطة أخرى (عند x = 0 فإن y = 0 أي يمر المنحنى بنقطة الأصل) ونحدّد انعكاس نقطة الأصل حول محور التماثل (−2, 0) ونرسم المنحنى. حاول (4): y = (x+3)² + 1: الرأس (−3,1)، فتحة لأعلى، محور التماثل x = −3.

h = 2 ، k = 3 ← رأس المنحنى (2,3) · a = −0.5 < 0 ← فتحة المنحنى لأسفل والرأس عنده قيمة عظمى للدالة · معادلة محور التماثل x = 2 · عند x = 0: y = 1 ← النقطة (0,1) وانعكاسها حول محور التماثل (4,1) ← نرسم المنحنى. حاول (5): y = −2(x−3)² − 1: الرأس (3,−1)، فتحة لأسفل، محور التماثل x = 3، عند x = 0: y = −19.

أعمدة خط التوتر العالي لنقل الطاقة الكهربائية بارتفاع مناسب؛ البعد الرئيسي بين العمودين 400 m، ويتدلى السلك حوالي 2 m في الوسط بين العمودين. نفرض الرأس نقطة الأصل: القطع y = ax² يمر بالنقطة (200, 2): a(200)² = 2 ← a = 2/40000 = 0.00005 ← y = 0.00005x².

رُميت كرة من فوق حجر بارتفاع 150 cm عن سطح الملعب فاجتازت الكرة الحاجز الشبكي ثم سقطت على الأرض مبتعدة عن قاعدة الجدار 300 cm. باستخدام الحاجز كمحور تناظر: معادلة القطع المكافئ بدلالة الرأس y = a(x−h)² + k ← إحداثيات الرأس (0,150) أي h = 0, k = 150 ← y = ax² + 150، ويمر بالنقطة (300,0): a(300)² + 150 = 0 ← a = −1/600 ← معادلة مسار الكرة: y = −(1/600)x² + 150. (حاول (6): مسألة ملعب تنس بنفس الفكرة؛ شبكة ارتفاعها 1 m، تُحلّ بإيجاد a من نقطة معلومة على المسار.)

يبيع أحد المحلات عددًا أكبر من الفطائر عندما يخفض السعر، لكن ربحه يتغيّر. تتمذج أرباح هذا المحل (بالدينار) وفقًا للدالة y = −100(x−1.75)² + 300 حيث x سعر الفطيرة بالدينار. (a) المجال الواقعي: x > 0 لأن سعر الفطيرة يجب أن يكون موجبًا. (b) عند x = 2: y = −100(0.25)² + 300 = 293.75 دينارًا ؛ عند x = 1.25: y = −100(0.5)² + 300 = 275 دينارًا. (c) الدالة تمثل قطعًا مكافئًا فتحته لأسفل (−100 < 0) فله قيمة عظمى برأسه (1.75, 300) ← السعر الذي يحقّق أكبر ربح هو 1.75 دينارًا وقيمة هذا الربح 300 دينار. حاول (7): سعر البيع الذي لا يربح عنده ولا يخسر: y = 0 ← (x−1.75)² = 3 ← x = 1.75 ± √3 ≈ 3.48 دينارًا (أو 0.02). (حساب)

سوف تتعلّم: إيجاد رأس منحنى الدالة من الصورة العامة · كتابة المعادلات التربيعية بدلالة إحداثيات الرأس وفي الصورة العامة. المفردات: رأس القطع المكافئ Vertex of a Parabola · الصورة العامة General Form. في العمل التعاوني تُقارن أزواج المعادلات: (1) y = x²−4x+4 و y = (x−2)² ← a=1, b=−4, h=2 · (2) y = x²+6x+8 و y = (x+3)²−1 ← a=1, b=6, h=−3 · (3) y = −3x²−12x−8 و y = −3(x+2)²+4 ← a=−3, b=−12, h=−2 · (4) y = 2x²+12x+19 و y = 2(x+3)²+1 ← a=2, b=12, h=−3. يُلاحَظ أن بيان كل زوج واحد (المعادلتان متكافئتان)، والعلاقة بين a, b, h هي h = −b/(2a)، وأن محور التماثل لمنحنى y = ax²+bx+c هو المستقيم x = −b/(2a).

الإحداثي السيني: h = −b/(2a) = −10/(2×2) = −2.5. الإحداثي الصادي: k = 2(−2.5)² + 10(−2.5) + 7 = 12.5 − 25 + 7 = −5.5. المعادلة بدلالة إحداثيات الرأس: y = 2(x + 2.5)² − 5.5. حاول (1): y = −3x² + 12x + 5 ← h = 2 ، k = −12+24+5 = 17 ← y = −3(x−2)² + 17 (فتحة لأسفل، رأس (2,17)). (حلّ نموذجي)

يمكن استخدام القطع المكافئ في تطبيقات حياتية تتطلب إيجاد أكبر أو أصغر مساحة. المحيط P = 2(L + W) ← 2(W+L) = 280 ← L = 140 − W. المساحة A = L × W = (140 − W)W = −W² + 140W. المساحة دالة تربيعية وبيانها قطع مكافئ له قيمة عظمى عند رأس المنحنى: W = −b/(2a) = −140/(2(−1)) = 70 cm وL = 140 − 70 = 70 cm. تتحقّق أكبر مساحة للبرواز عندما يكون كل من طول وعرض البرواز يساوي 70 cm: A = 70×70 = 4900 cm². حاول (2): (a) أفضل تسمية للشكل الهندسي الذي يعطي أكبر مساحة: مربع · (b) نعم: المستطيل ذو المحيط المعلوم يعطي أكبر مساحة عندما يكون مربعًا · (c) c, d عددان موجبان c + d = 18 فأكبر قيمة لـ c·d = 9×9 = 81. (حلّ نموذجي)

y = 3(x² − 2x + 1) + 12 = 3x² − 6x + 3 + 12 = y = 3x² − 6x + 15. حاول (3): (a) y = −2(x+3)² − 7 = −2x² − 12x − 25 · (b) نعطي كل معادلة بالصورة بدلالة الرأس أو العامة لرسم بيان الدالة؛ ما مميزات استخدام الصورة بدلالة الرأس؟ — تعطي الرأس ومحور التماثل والاتجاه مباشرة فيسهل الرسم.

طريقة أولى: (1,8) تنتمي إلى المنحنى: 8 = a + b + 12 ← a + b = −4 (1). الإحداثي السيني للرأس: 1 = −b/(2a) ← b = −2a (2). بالتعويض: a − 2a = −4 ← a = 4 ← b = −8. طريقة ثانية: y = a(x−1)² + 8 = ax² − 2ax + a + 8، بالمقارنة مع y = ax²+bx+12: a + 8 = 12 ← a = 4 وb = −2a = −8. حاول (4): y = ax² + 4x + c رأسه (−1, 5): −1 = −4/(2a) ← a = 2؛ 5 = 2 − 4 + c ← c = 7.

حيث x سعر الحذاء بالدينار. (a) سعر الحذاء الذي يحقق أعلى ربح: القيمة العظمى عند x = −b/(2a) = −600/(2(−15)) = 20 ← أي أن ثمن الحذاء الذي يحقق أعلى ربح هو 20 دينارًا. (b) أعلى ربح: f(20) = −15(20)² + 600(20) + 50 = 6050 دينارًا. حاول (5): f(x) = −x² + 2200x − 1150000: x = 1100 دينارًا، أعلى ربح f(1100) = 60000 دينارًا. (حساب)

سوف تتعلّم: إيجاد معكوس الدالة · استخدام دوال الجذر التربيعي. المفردات: المعكوس Inverse · معكوس دالة Inverse of a Function · دوال الجذر التربيعي Square Root Functions. في العمل التعاوني: طول قطعة جليد L = 11d − 0.5 حيث d قطر المقطع الدائري: (a) إذا d = 5 فإن L = 54.5 cm؛ (2) لإيجاد قطر أكبر مقطع لجليد طوله 27 cm نعكس الخطوات: d = (L + 0.5)/11 = 27.5/11 = 2.5 cm. تسمى الدالة التي تعكس ما تفعله دالة أخرى معكوس الدالة. نشاط: f(x) = 2x − 8 و g(x) = (x+8)/2: f(6) = 4 و g(4) = 6 — كل منهما تعكس عمليات الأخرى؛ لذلك تسمى g معكوس f أو f معكوس g. بيانا f, g متناظران حول المستقيم y = x.

(a) نبدّل قيم x, y: S⁻¹: x = −1,0,1,1 و y = 1,2,3,4. (c) المستقيم y = x هو خط انعكاس بيان S إلى بيان معكوسه. (d) العلاقة S تمثل دالة لأن كل عنصر من المجال يقترن بعنصر واحد فقط من المقابل؛ بينما S⁻¹ لا يمثل دالة لأن العنصر (1) من المجال يقترن بعنصرين من المقابل (3 و4).

الدالة خطية: نقاط (0,−2) ، (2,−1) ، (4,0). معكوسها يحتوي النقاط (−2,0) ، (0,4)؛ الميل m = (4−0)/(0−(−2)) = 2 ويمر بالنقطة (0,4): y − 4 = 2(x − 0) ← y = 2x + 4. حاول (1): y = −3x + 5: المعكوس y = (5−x)/3 = −x/3 + 5/3.

بدّل: x = 5y − 4 ← 5y = x + 4 ← y = x/5 + 4/5. حاول (2): (a) y = (2x−1)/3: x = (2y−1)/3 ← y = (3x+1)/2 · (b) y = 2(x+1) − 3 = 2x − 1 ← المعكوس y = (x+1)/2. (حلّ نموذجي)

y = x² + 3 ← بدّل: x = y² + 3 ← y² = x − 3 ← y = ±√(x−3). معكوس f(x) = x² + 3 ليس دالة (لأنه توجد قيمتان لـ y لبعض قيم x) لأن بيان f قطع مكافئ مفتوح لليمين؛ ولكي يكون المعكوس دالة نقيّد مجال الدالة الأصلية: إذا كان x ≥ 0 فمعكوسها y = √(x−3)؛ وإذا كان x ≤ 0 فمعكوسها y = −√(x−3). مناقشة (a): معكوس y = x²+3 عند x ≥ 0 هو y = √(x−3) ← دالة (نعم)؛ عند x ≤ 0 هو y = −√(x−3) ← دالة (نعم). حاول (3): f(x) = (x+3)² − 4: المعكوس y = −3 ± √(x+4) ليس دالة؛ وبتقييد x ≥ −3 يكون y = −3 + √(x+4).

نزحّ بيان y = √x أربع وحدات يمينًا ووحدتين إلى الأسفل؛ يبدأ بيان y = √(x−4) − 2 عند النقطة (4,−2). المجال [4, ∞) والمدى [−2, ∞). حاول (4): (a) y = √(x−2) + 1: المجال [2,∞)، المدى [1,∞) · (b) إذا تم إزاحة بيان y = √x وحدتين يمينًا و5 وحدات إلى الأسفل فمعادلة الدالة الناتجة y = √(x−2) − 5. (الحلول نموذجية)

مقاس شاشة إعلانات هو طول قطر الشاشة d بالبوصة (in)، مساحتها A: d = √(2A). لتاجر يريد شراء شاشة مساحتها ضعف مساحة شاشته القديمة التي مساحتها 100 in²: المساحة الجديدة 2×100 = 200 in². الطريقة الأولى: التعويض: d = √(2(200)) = √400 = 20 in. الطريقة الثانية (بالتكنولوجيا): ارسم y = √(2x) واقرأ y عند x = 200 ← 20 in. ملاحظة: 1 in = 2.54 cm. حاول (5): إذا كانت لدى تاجر شاشة قياسها 42 in (طول القطر): A = d²/2 = 42²/2 = 882 in². (حساب)

سوف تتعلّم: حل متباينات من الدرجة الثانية في متغيّر واحد · حل متباينات تتضمّن حدوديات نسبية في متغيّر واحد · إيجاد مجال دالة جذرية. المفردات: متباينة Inequality · حدوديات نسبية Rational Expressions · متباينة من الدرجة الثانية Quadratic Inequality. من الرسم f(x) = −x²+6x−5 (قطع مكافئ رأسه (3,4)): f(x) = 0 عند x = 1 و x = 5؛ f(x) > 0 لـ 1 < x < 5؛ f(x) < 0 لـ x < 1 أو x > 5. وللدالة f(x) = (x−3)/(x−2): تساوي صفرًا عند x = 3 وغير معرّفة عند x = 2. ويمكن أن نعبّر عن اتحاد المجموعتين (−∞,1) ∪ (5,∞) بصورة أخرى هي R∖[1,5].

المعادلة المناظرة x²−x−6 = 0 ← (x+2)(x−3) = 0 ← x = −2 أو x = 3. جدول الإشارات: (x+2)(x−3) < 0 لكل قيم x حيث −2 < x < 3. مجموعة الحل = (−2, 3). حاول (1): x²+4x+3 ≤ 0 ← (x+1)(x+3) ≤ 0 ← [−3, −1].

اضرب في −1 (تنعكس علاقة الترتيب): x² − 7x + 10 ≥ 0 ← (x−2)(x−5) ≥ 0 ← x = 2 أو x = 5. يبيّن الجدول أن (x−2)(x−5) ≥ 0 لكل قيم x حيث x ≤ 2 أو x ≥ 5. ∴ مجموعة الحل = (−∞, 2] ∪ [5, ∞) أو R∖(2, 5). حاول (2): −2x²+5x−3 > 0 ← 2x²−5x+3 < 0 ← (2x−3)(x−1) < 0 ← (1, 3/2). (حلّ نموذجي)

P = 2(L+W) = 20 ← L+W = 10 ← البعد الآخر 10 − x. (a) المجال الواقعي للمتغيّر x: 0 < x < 10 ← x ∈ (0, 10). (b) المساحة f(x) = x(10−x) = −x² + 10x. (c) f(x) < 24: −x²+10x−24 < 0 ← −x²+10x−24 = 0 ← (−x+4)(x−6) = 0 ← x = 4 أو x = 6 ← من الجدول مع مراعاة x ∈ (0,10): مجموعة الحل (0, 4) ∪ (6, 10). (d) f(x) > 9: −x²+10x−9 > 0 ← (−x+1)(x−9) = 0 ← x = 1 أو 9 ← مجموعة الحل (1, 9). حاول (3): إذا كان محيط مستطيل 16 m وطول أحد بعديه x: (a) المجال (0,8) · (b) f(x) = −x²+8x · (c) f(x) > 7 ← (x−1)(x−7) < 0 ← (1,7). (حلّ نموذجي)

(a) x²−4 ≥ 0 ← (x−2)(x+2) ≥ 0 ← x = 2 أو x = −2 ← من الجدول: مجال f = (−∞,−2] ∪ [2,+∞) = R∖(−2,2). (b) −x²+4x−3 ≥ 0 ← (−x+1)(x−3) ≥ 0 ← x = 1 أو x = 3 ← مجال g = [1, 3]. حاول (4): (a) هل يمكنك إيجاد مجال y = √(x²−4) بطريقة أخرى؟ (b) أوجد مجال: h(x) = √(x²−x) ← x(x−1) ≥ 0 ← (−∞,0] ∪ [1,∞) · q(x) = √(9−x²) ← [−3, 3]. (حلّ نموذجي)

(3x+7)/(x+2) − 2 ≥ 0 ← (3x+7−2x−4)/(x+2) ≥ 0 (مقام مشترك) ← (x+3)/(x+2) ≥ 0. أصفار البسط: x = −3؛ أصفار المقام: x = −2. من جدول الإشارات: مجموعة الحل (−∞,−3] ∪ (−2, ∞) = R∖(−3,−2] (تُضمّن −3 ولا تُضمّن −2 لأنه صفر المقام). تذكّر: الحدوديات النسبية غير معرّفة عند أصفار المقام. حاول (5): (3x−5)/(−2x+3) ≥ 0: صفر البسط 5/3، صفر المقام 3/2 ← مجموعة الحل (3/2, 5/3]. (حلّ نموذجي)

(x²−5x+3)/(x+4) − 3 < 0 ← (x²−5x+3−3x−12)/(x+4) < 0 (مقام مشترك) ← (x²−8x−9)/(x+4) < 0 ← (x+1)(x−9)/(x+4) < 0. أصفار البسط: x = −1 أو 9؛ أصفار المقام: x = −4. من جدول الإشارات: مجموعة حل المتباينة = (−∞,−4) ∪ (−1, 9). تذكّر: من المهم جدًّا تحديد أصفار المقام قبل الاختصار. حاول (6): (x²+5x)/(x+3) > −2 ← (x+1)(x+6)/(x+3) > 0 ← (−6,−3) ∪ (−1,∞). (حلّ نموذجي)

تحليل البسط: x²−5x+6 = (x−2)(x−3) ← (x−2)(x−3)/(x−3) > 0 ، x ≠ 3 ← x−2 > 0 ← x > 2. القيمة x = 3 غير مقبولة لأنها صفر المقام ← مجموعة الحل (2,∞)∖{3} = (2,3) ∪ (3,∞). حاول (7): (x²−49)/(x+7) ≤ 0 ← x − 7 ≤ 0 مع x ≠ −7 ← (−∞,−7) ∪ (−7, 7]. (حلّ نموذجي)

(a) المستقيم y = 5 ومنحنى f يتقاطعان في (−4,5) و(2,5). f(x) < 5 ← x ∈ (−4, 2). (b) f(x) > 5 ← x ∈ (−∞,−4) ∪ (2,∞). (c) للتحقق حسابيًّا: x²+2x−3 < 5 ← x²+2x−8 < 0 ← (x−2)(x+4) < 0 ← −4 < x < 2 ✓. حاول (8): f(x) = x²−6x+5 والمستقيم y = −3: f(x) = y عند x = 2 و4؛ f(x) < y ← (2,4)؛ f(x) ≥ y ← (−∞,2] ∪ [4,∞). (حلّ نموذجي)

ذهب خالد من A إلى B بمعدل x km/h وعاد بمعدل (x − 20) km/h، واستغرقت الرحلة (ذهابًا وإيابًا) 5 h 30 min = 5.5 h. المسافة = المعدل × الزمن ← الزمن = المسافة/المعدل: 300/x + 300/(x−20) = 5.5 ← بالمقام المشترك والتبسيط: 5.5x² − 710x + 6000 = 0 ← 1.1x² − 142x + 1200 = 0 ← x² − (142/1.1)x + 1200/1.1 = 0 ← بإكمال المربع والتحليل نحصل على x = 120 km/h (القيمة المقبولة) ← معدل سرعته ذهابًا 120 km/h وإيابًا 100 km/h. مسائل إضافية: (1) لمدة 7 h 30 min: 300/x + 300/(x−20) = 7.5 ← x² − 100x + 800 = 0 ← x ≈ 91.2 km/h (إيابًا ≈ 71.2). (حساب) (2) f(x) = −x² + 250x − 2400 (ربح الحاسوب، x ثمن الحاسوب بالدينار الكويتي): (a) عند x = 100: f = 12600 دينار · (b) لتحقيق أكبر ربح: x = −b/2a = 125 دينارًا · (c) أكبر ربح: f(125) = 13225 دينارًا. (حساب)

المخطط: الدوال الحقيقية ← مجال الدالة (شروط العلاقة لتكون دالة، مجال الدالة، اختبار المستقيم الرأسي) · الدوال التربيعية ونمذجتها (الدوال التربيعية، نمذجة البيانات) · الدوال التربيعية والقطوع المكافئة (القطوع المكافئة التي تمثل الدوال التربيعية، بعض خواص القطوع المكافئة، رسم القطع المكافئ بدلالة إحداثيات رأسه) · مقارنة بين صورة المعادلة بدلالة إحداثيات رأس المنحنى والصورة العامة (إيجاد رأس الدالة المكتوبة بالصورة العامة، كتابة المعادلات بدلالة الرأس وفي الصورة العامة) · المعكوسات ودوال الجذر التربيعي (إيجاد معكوس الدوال الخطية والتربيعية، استخدام دوال الجذر التربيعي) · حل المتباينات (متباينات الدرجة الثانية، متباينات تتضمن حدوديات نسبية).
الملخّص: • تكون العلاقة دالة إذا كان كل عنصر (عدد) في المجال مرتبطًا بعنصر (عدد) واحد فقط من المدى. • كل دالة مجالها ومجالها المقابل مجموعتان جزئيتان من الأعداد الحقيقية تسمى دالة حقيقية. • تكتب الدالة التربيعية على الصورة f(x) = ax² + bx + c ، a,b ∈ R ، a ≠ 0. • يمكن كتابة بعض البيانات على الصورة الخطية y = ax + b أو على الصورة التربيعية. • مجال الدالة هو الجزء من الأعداد الحقيقية أو كل الأعداد الحقيقية حيث يوجد المتغيّر x لتكون f(x) معرّفة؛ والمدى هو الجزء من الأعداد الحقيقية أو كلها حيث f(x) موجودة. • القيمة الصغرى للدالة التربيعية هي أصغر قيمة للدالة f(x) على محور الصادات، والعظمى هي أكبر قيمة. • يمكن رسم القطع المكافئ إذا كان على الصورة f(x) = a(x−h)² + k بدلالة إحداثيات الرأس (h,k)؛ ويمكن إيجاد الصورة العامة من ذلك وبالعكس. • يمكن إيجاد معكوس الدوال الخطية والتربيعية بتبديل x, y. • لإيجاد مجموعة حل متباينة من الدرجة الثانية في متغير واحد نحللها إلى عوامل أولية ونستخدم الجدول؛ ولإيجاد مجموعة حل متباينة من حدوديات نسبية نستخدم الجدول.

يُستخدم منحنى حدودية من الدرجة الرابعة لتصميم غطاء محرك سيارة: y = 0.00143x⁴ + 0.00166x³ − 0.236x² + 1.53x + 0.739. تدرس الوحدة خواص الحدوديات وتمثيلها بيانيًّا وحل معادلاتها.

3-1 دوال القوى ومعكوساتها · 3-2 الدوال الحدودية · 3-3 العوامل الخطية لكثيرات الحدود · 3-4 قسمة كثيرات الحدود · 3-5 حل معادلات كثيرات الحدود. ومن تاريخ الرياضيات: عمر الخيام الذي درس المعادلات التكعيبية.

دالة على الصورة y = axⁿ حيث a ≠ 0 و n ∈ Z⁺ (عدد صحيح موجب). مثل y = x⁴ ، w = 0.014c³. يمكن كتابتها أيضًا f(x) = axⁿ.

باستخدام جدول القيم: x² < x⁴ عندما |x| > 1، وx² > x⁴ عندما 0 < |x| < 1 (يتساويان عند x = 0 وx = ±1). الحل البياني لـ x⁶ < x⁴ يتوافق مع x² < x⁴ (في المدى |x|<1 يكون x⁶ < x⁴).

لمحيط 20 cm: w = 0.014(20)³ = 0.014×8000 = 112 g. حاول (1): لمحيط 22 cm: w = 0.014×10648 ≈ 149 g. (حساب)

w(3.175) = 15.625×(3.175)³ ≈ 500 kg · w(3.268) = 15.625×(3.268)³ ≈ 545.34 kg. حاول (2): لطول 3.3 m: 15.625×35.937 ≈ 561.5 kg. (حساب)

القيم: (−3,−27)، (−2,−8)، (−1,−1)، (0,0)، (1,1)، (2,8)، (3,27). (a) البيان يظهر في الربعين الأول والثالث. (b) (−4,−64)، (4,64)، (0.5,0.125)، (−0.5,−0.125). (c) إذا انتمت (a,b) إلى بيان y = x³ فإن النقطة التي تنتمي أيضًا هي (−a,−b).

(a) f(−x) = 2(−x)⁷ = −2x⁷ = −f(x) ← فردية. (b) g(−x) = −(−x)⁸ = −x⁸ = g(x) ← زوجية. (c) v(−x) = (−x+2)² ≠ (x+2)² و ≠ −(x+2)² ← ليست زوجية ولا فردية. (d) h(−x) = 4 = h(x) ← زوجية. حاول (3): f₁=x⁵ فردية · f₂=x فردية · f₃=2x⁴ زوجية · f₄=(x+3)³ ليست زوجية ولا فردية. (حساب)

(a) y=x⁵ ، x∈R: نقطة الأصل مركز تماثل ← فردية. (b) y=|x| ، x∈[−3,3]: محور الصادات محور تماثل ← زوجية. (c) y=2x⁴ ، x∈(−1,∞): لا تماثل لأن المجال غير متماثل ← ليست زوجية وليست فردية. (d) y=2x ، x∈R: نقطة الأصل مركز تماثل ← فردية. حاول (4): y=3x فردية · y=4x²+1 زوجية · y=2x³ فردية.

لاحظ y ≥ 0؛ نعكس المتغيرين: x = 2y⁴ ← x/2 = y⁴ ← بأخذ الجذر الرابع للطرفين |y| = ⁴√(x/2) ، x ≥ 0 ← y = ±⁴√(x/2) (علاقة وليست دالة). حاول (5): معكوس y = 5x³ هو y = ³√(x/5) (دالة).

y = √(x+2) ← x = √(y+2) ← x² = y+2 ← y = x²−2 ← f⁻¹(x) = x² − 2 ، x ≥ 0. حاول (6): f(x) = √(x−4) ← f⁻¹(x) = x²+4 ، x ≥ 0. معلومة: رمز معكوس الدالة f هو f⁻¹؛ وإذا كانت (a,b) على بيان f فإن (b,a) على بيان f⁻¹.

المعكوس: y=±√x لـ y=x² (ليس دالة) · y=³√x لـ y=x³ (دالة) · y=±⁴√x لـ y=x⁴ (ليس دالة). لاحظ: مدى الدالة هو مجال معكوسها.

دالة على الصورة P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ حيث n عدد صحيح غير سالب وaₙ, aₙ₋₁, …, a₀ أعداد حقيقية. مثال: P(x) = 2x³ − 5x² − 2x − 5.

(a) = 5x⁴ − 7x ← أكبر درجة 4 ← رباعية، ثنائية الحد. (b) = 5x³ − 4x² − 5x³ + 2x² = −2x² ← تربيعية، أحادية الحد. (c) = 2l³ − 2l − 5l² + 5 = 2l³ − 5l² − 2l + 5 ← تكعيبية، رباعية الحدود. حاول (1): (a) 4x − 6x + 5 = −2x+5 (خطية، ثنائية) (b) 3x³+x²−(4x+2x³) = x³+x²−4x (تكعيبية، ثلاثية) (c) 6−2x⁵ = −2x⁵+6 (من الدرجة الخامسة، ثنائية). (حساب)

البيانات (مليون أونصة): 1975: 38.5 · 1980: 39.2 · 1985: 49.3 · 1990: 70.2 · 1995: 71.6 · 2000: 82.6. باستخدام الآلة الحاسبة البيانية (0 يمثل 1975) نحصل على نموذج من الدرجة الرابعة: f(x) = 0.0009033x⁴ − 0.05193x³ + 0.959x² − 3.899x + 38.86. لتقدير الإنتاج سنة 1988 (x = 13): f(13) ≈ 61.96 أي ≈ 62 مليون أونصة. (الأونصة ≈ 28.349 g). يجب اختيار آلة حاسبة بيانية مناسبة وتغيير طريقة البرمجة من آلة إلى أخرى.

(a) المعامل الرئيسي 4 (موجب)، الدرجة 3 (فردي) ← اليمين لأعلى واليسار لأسفل: (↙ ، ↗). (b) المعامل −2 (سالب)، الدرجة 4 (زوجي) ← اليمين لأسفل واليسار لأسفل: (↙ ، ↘). (c) المعامل 1 (موجب)، الدرجة 2 (زوجي) ← كلاهما لأعلى: (↖ ، ↗). (d) المعامل −1، الدرجة 3 (فردي) ← اليمين لأسفل واليسار لأعلى: (↖ ، ↘). حاول (2): y=−x³+2x²+6: (↖ ، ↘) · y=4x⁴−3x: (↖ ، ↗) · f(x)=2x³−x: (↙ ، ↗) · h(x)=x−x⁴: (↙ ، ↘). (حساب)

من المفيد أحيانًا التعامل مع كثيرات الحدود في صورة عوامل. مثلاً عوامل x³−2x²−5x+6 هي (x−1)، (x+2)، (x−3). والعلاقة: كل ثابت من حدود كثيرة الحدود له علاقة بالعوامل (الحد الثابت 6 هو حاصل ضرب 1×(−2)×(−3)... ). عند تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل خطية لا يمكن القيام بتحليلات أخرى. معلومة: العوامل الصحيحة الممكنة للعدد 6 هي ±1, ±2, ±3, ±6. المفردات: القيمة العظمى (Maximum Value) · عوامل دالة حدودية · أصفار دالة حدودية · نظرية العامل.

(x+1)(x+2)(x+5): نضرب (x+2)(x+5) = x²+7x+10، ثم (x+1)(x²+7x+10) = x³+7x²+10x+x²+7x+10 = x³ + 8x² + 17x + 10. حاول (1): (x+1)(x+1)(x−2) = (x²+2x+1)(x−2) = x³ − 3x − 2. (حساب)

نأخذ العامل المشترك 2x: 2x(x²+5x+6) = 2x(x+2)(x+3). التحقق: 2x(x+2)(x+3) = 2x(x²+5x+6) = 2x³+10x²+12x ✓. حاول (2): 12x³−12x²+3x = 3x(4x²−4x+1) = 3x(2x−1)². (حساب)

(a) أبعاد العلبة: x ، (3−2x) ، (3−2x). الحجم V = الطول × العرض × الارتفاع = (3−2x)(3−2x)x = V(x) = 4x³ − 12x² + 9x. (b) الأبعاد موجبة: 3−2x > 0 ← x < 1.5 وx > 0 ← المجال الواقعي (0, 1.5). حاول (3): قطعة خشب على شكل متوازي مستطيلات (مكعب) بُعداها 12 cm و8 cm؛ تُقطع x cm من كل زاوية. (a) V(x) = (12−2x)(8−2x)x = 4x³ − 40x² + 96x (b) المجال الواقعي (0, 4). (حساب)
من بيان V(x) = 4x³−12x²+9x نلاحظ أن x = 1.5 صفر مكرر وx = 0 صفر بسيط؛ والقيمة العظمى لحجم العلبة هي 2 dm³ عندما x = 0.5 dm (الارتفاع 0.5 وضلع القاعدة 3−2(0.5) = 2 dm). أجزاء المنحنى المقطوعة من محور السينات تسمى أصفار الدالة.

x−2=0 ← x=2 · x+1=0 ← x=−1 · x+3=0 ← x=−3 ← الأصفار: 2, −1, −3. سلوك النهاية: المعامل الرئيسي موجب والدرجة 3 فردية ← اليمين لأعلى واليسار لأسفل (↙ ، ↗). جدول القيم: x=−4: −18 · −3: 0 · −2: 4 · −1: 0 · 0: −6 · 1: −8 · 2: 0 · 3: 24. حاول (4): y=(x−7)(x−5)(3−x): الأصفار 7, 5, 3؛ المعامل الرئيسي سالب والدرجة فردية ← (↖ ، ↘).

العوامل: (x+2)، (x−3)، (x−3). f(x) = (x+2)(x−3)(x−3) = (x+2)(x²−6x+9) = x³−6x²+9x+2x²−12x+18 = x³ − 4x² − 3x + 18. معلومة: عندما يتكرر عامل خطي في كثيرة الحدود فإن الصفر يتكرر أيضًا ويسمى «صفرًا مكررًا». حاول (5): (a) أصفارها −4, −2, 1: (x+4)(x+2)(x−1) = x³+5x²+2x−8 (b) أصفارها −4, −2, 0: x(x+4)(x+2) = x³+6x²+8x (c) 3 صفر مكرر مرتين و−1 صفر بسيط: (x−3)²(x+1) = x³−5x²+3x+9 (d) التفكير الناقد: في (b) يوجد أكثر من إجابة لأن ضرب الدالة بأي ثابت لا يغيّر أصفارها (مثلاً 2x(x+4)(x+2)). (حساب)

(a) x²÷x = x → نضرب x(x+4) = x²+4x ونطرح فيبقى 2x+8 → 2x÷x = 2 → 2(x+4)=2x+8 → الباقي 0. ناتج القسمة (x+2) والباقي صفر. التحقق: (x+2)(x+4) = x²+6x+8 ✓. (b) x²÷x = x → x(x−2) = x²−2x → الباقي 5x−12 → 5x÷x = 5 → 5(x−2) = 5x−10 → الباقي −2. ناتج القسمة (x+5) والباقي −2. التحقق: (x+5)(x−2)+(−2) = x²+3x−12 ✓. حاول (1): (a) (x²+5x+6)÷(x+2) = x+3 (b) (2x²−19x+24)÷(x−8) = 2x−3. (حساب)

(a) ناتج القسمة x²−x−2 والباقي 1 ≠ 0 ← (x+4) ليس من عوامل x³+3x²−6x−7. (b) نكتب x³+0x²+0x+64: ناتج القسمة x²−4x+16 والباقي 0 ← (x+4) عامل من عوامل x³+64. ملاحظة: x³+64 = x³+0x²+0x+64. معلومة: إذا كان المقسوم كثيرة حدود من الدرجة n ≥ 1 والمقسوم عليه من الدرجة الأولى فإن ناتج القسمة من الدرجة (n−1). حاول (2): (a) (x³+4x²+x−6)÷(x+2): الباقي 0 ← عامل ✓. (b) (x³−x+1)÷(x+1): الباقي 1 ← ليس عاملاً. (حساب)

الخطوات: (1) اكتب المقسوم بالصورة العامة مع 0x² ← المعاملات 1, 0, −13, 12 ؛ والمقسوم عليه (x+4) نضع صفره −4. (2) أنزل أول معامل (1). (3) اضرب −4×1 = −4 واكتبه تحت المعامل التالي (0) واجمع ← −4. (4) اضرب −4×(−4) = 16 واكتبه تحت −13 واجمع ← 3. (5) اضرب −4×3 = −12 تحت 12 واجمع ← 0. الناتج: 1, −4, 3 والباقي 0 ← ناتج القسمة x² − 4x + 3 (من الدرجة الثانية لأن المقسوم من الدرجة الثالثة)، الباقي 0.

صفر المقسوم عليه: −2 (عكس إشارة الحد الثابت في (x+2)). المعاملات 1, −3, −6, 8 ← 1, −5, 4 والباقي 0. ناتج القسمة x²−5x+4 والباقي صفر ← x²−5x+4 = (x−1)(x−4) ← العوامل: (x+2)، (x−1)، (x−4). حاول (3): (a) (x³−2x²−5x+6)÷(x+2): المعاملات 1, −4, 3 والباقي 0 ← x²−4x+3 (b) = (x−1)(x−3) ← العوامل: (x+2)، (x−1)، (x−3). (حساب)

الصفر −3. المعاملات 1, 2, 1, −5 ← 1, −1, 4, −17. ناتج القسمة x² − x + 4 ، الباقي −17. حاول (4): (x³+4x²+x−6)÷(x+1): الصفر −1 ← 1, 3, −2, −4 ← الناتج x²+3x−2 والباقي −4. (حساب)

(a) القسمة التركيبية على (x+2) (الصفر −2): 1, 19, 18, والباقي 0 ← ناتج القسمة x²+19x+18 = (x+1)(x+18) ← البعدان الآخران (x+1) و(x+18) بالأمتار. (b) أكبر الأبعاد x+18 = 21 ← x = 3 ← البعدان الآخران x+1 = 4 m و x+2 = 5 m ← 4 m و5 m. (الحجم 4×5×21 = 420 m³ = V(3) ✓). حاول (5): هل (x+3) يمكن أن يكون أحد أبعاد الحجر؟ القسمة التركيبية بالصفر −3: 1, 18, 2, والباقي 30 ≠ 0 ← لا، لأن (x+3) ليس عاملاً. (حساب)

(a) V = V₁ − V₂ = (x+8)(x+5)(2x+7) − x³ = 762 ← بالتبسيط x³ + 33x² + 171x = 482. التعويض x=2: 8+132+342 = 482 ✓ ← x=2 قيمة مقبولة. للتحقق من أنها الوحيدة نقسم x³+33x²+171x−482 على (x−2) بالقسمة التركيبية: 1, 35, 241, الباقي 0 ← x²+35x+241 = 0 مميّزها 35²−4×241 = 261 ← الجذران سالبان (≈ −9.4 و −25.6) فهما غير مقبولين لأن x موجب. (b) الأبعاد: l = 10 cm ، w = 7 cm ، h = 11 cm. (حساب؛ تتمة المثال في الصفحة 114 لم تُراجع)

(a) إذا كان أحد أبعاده (x+4): القسمة التركيبية بالصفر −4: 1, 0, −1 والباقي 0 ← الناتج x²−1 = (x−1)(x+1) ← البعدان الآخران (x−1) و(x+1). (b) أكبر بُعد x+4 = 10 m ← x = 6 ← 5 m و7 m. (حساب)

(a) ناتج قسمة f(x) على (x−4) هو (x+2) والباقي 0؛ نلاحظ أن (x−4) تقبل القسمة على f(x) أي أنه أحد عواملها ← 4 أحد أصفارها ← f(4) = 0. (b) ناتج قسمة f(x) على (x+1) هو (x−3) والباقي −5؛ فـ (x+1) ليس من عواملها ← (−1) ليس من أصفارها لأن f(−1) = −5 لا يساوي الصفر وهو باقي القسمة.

f(−4) = (−4)⁴ − 5(−4)² + 4(−4) + 12 = 256 − 80 − 16 + 12 = 172 ← باقي القسمة 172. بالقسمة التركيبية بالصفر −4: المعاملات 1, 0, −5, 4, 12 ← 1, −4, 11, −40، الباقي 172 ✓. حاول (7): f(x) = 2x⁴ + 6x³ − 5x² − 60 على (x+1): f(−1) = 2 − 6 − 5 − 60 = −69 (تحقق بالتركيبية: 2, 4, −9, 9, −69 ✓). (حساب)

(a) بتمثيل الدالتين بيانيًّا توجد 3 نقاط تقاطع إحداثياتها السينية −3, −1, 1 ← حلول المعادلة x³+3x² = x+3 هي x=−3, x=−1, x=1 ← مجموعة الحل {−3, −1, 1}. (b) بيان f(x) = x³+3x²−x−3 يقطع محور السينات في الأصفار نفسها فتكون مجموعة حل x³+3x²−x−3 = 0 هي نفسها. (c) المقارنة: الحلان واحد لأن المعادلتين متكافئتان.

نُخرج العامل المشترك 3x: 3x(x²+2x−3) = 0 ← نحلل: 3x(x+3)(x−1) = 0 ← x = 0 أو x = −3 أو x = 1 ← مجموعة الحل {0, −3, 1}. التحقق: بالتعويض يعطي 0 = 0 ✓ لكل قيمة. حاول (1): (a) 4x³−16x²−20x = 0 ← 4x(x²−4x−5) = 4x(x−5)(x+1) ← {0, 5, −1} (b) 2x³+10x²+8x = 0: طريقتان: التحليل 2x(x+1)(x+4) = 0 أو الرسم/الآلة الحاسبة ← {0, −1, −4}. (حساب)

نجعل أحد الطرفين صفرًا: 2x³−4x²−10x = 0 ← 2x(x²−2x−5) = 0 ← x = 0 أو x²−2x−5 = 0 ← بالقانون العام: x = (2 ± √(4+20))/2 = (2 ± √24)/2 = (2 ± 2√6)/2 = 1 ± √6 ← مجموعة الحل {0, 1+√6, 1−√6}. حاول (2): (a) 2x³ = 3x − 5x² ← x(2x²+5x−3) = x(2x−1)(x+3) = 0 ← {0, ½, −3} (b) x³−x²−3x = 0 ← x(x²−x−3) = 0 ← {0, (1+√13)/2, (1−√13)/2}. (حساب) ملاحظة: أحيانًا يتعين تحليل معادلة كثيرة حدود من الدرجة الثالثة تحليلًا كاملًا، فمتى أوجدنا عاملًا يمكننا استخدام القانون العام لحل المعادلة التربيعية.

(a) x³+3x²−x−3 = 0 ← بالتقسيم: x²(x+3) − (x+3) = 0 ← (x+3)(x²−1) = 0 ← (x+3)(x+1)(x−1) = 0 ← {−3, 1, −1}. (b) x³+2x²−3x−6 = 0 ← x²(x+2) − 3(x+2) = (x²−3)(x+2) = 0 ← (x−√3)(x+√3)(x+2) = 0 ← {√3, −√3, −2}. حاول (3): x³+2x²−4x = 8 ← x²(x+2)−4(x+2) = (x−2)(x+2)² = 0 ← {2, −2} (−2 صفر مكرر). (حساب)

V = l·w·h ← 11340 = (x+7)(x+1)x. بالرسم البياني y₁=11340 وy₂=(x+7)(x+1)x وباستخدام CALC (التقاطع): عند x=20، y=11340 ← x+7 = 27، x+1 = 21 ← الأبعاد 27 cm ، 21 cm ، 20 cm. (التحقق: 27×21×20 = 11340 ✓.)

أولاً: عوامل المعامل الرئيسي (2): ±1, ±2. ثانيًا: عوامل الحد الثابت (6): ±1, ±2, ±3, ±6. ثالثًا: بتطبيق النظرية تكون الأصفار النسبية الممكنة: ±1, ±2, ±3, ±6, ±½, ±3/2. تدريب: (a) f(x)=x³+5x−3: ±1, ±3 · (b) g(x)=x³−27: ±1, ±3, ±9, ±27. (حساب)

(a) خطوة 1: عوامل الحد الثابت (3): ±1, ±3؛ عوامل المعامل الرئيسي (1): ±1 ← الأصفار النسبية الممكنة ±1, ±3. خطوة 2: P(1) = 1−4+3 = 0 ← 1 صفر ← (x−1) عامل. القسمة التركيبية (P(x) = x³−4x²+0x+3): 1, −3, −3 والباقي 0 ← q(x) = x²−3x−3 ← بالقانون العام x = (3 ± √21)/2 ← {1, (3−√21)/2, (3+√21)/2}. (b) خطوة 1: عوامل الحد الثابت (−2): ±1, ±2؛ عوامل المعامل الرئيسي (1): ±1 ← الممكنة: ±1, ±2. خطوة 2: P(1) = 1−3+1+3−2 = 0 ← 1 صفر؛ P(−1) = 1+3+1−3−2 = 0 ← −1 صفر ← (x−1)(x+1) = x²−1 عامل. القسمة المطولة: q(x) = x²−3x+2 ← x₁=1 ، x₂=2 ← مجموعة الحل {−1, 1, 2} (لاحظ أن 1 صفر مكرر). معلومة: إذا كان مجموع معاملات حدودية يساوي الصفر فإن 1 هو أحد أصفارها وبالتالي (x−1) أحد عواملها. حاول (4): (1) x³+x²−4x−4 = 0 ← (x+1)(x−2)(x+2) = 0 ← {−1, 2, −2} (2) x⁴−3x³−7x²+27x = 18 ← {1, 2, 3, −3}. (حساب)

من الشكل: العمق والارتفاع متساويان (x) وطول القالب 4x. الطول المتبقي = 4x − 2. حجم المتبقي = الطول × العرض × الارتفاع: 224 = (4x−2)(x)(x) = 4x³ − 2x² (معادلة تكعيبية). باستخدام الآلة البيانية: y₁ = 4x³−2x² ، y₂ = 224 ← خاصية التقاطع: x = 4 ، y = 224. الارتفاع = العرض = 4 cm، الطول = 4x = 16 cm ← أبعاد القالب: 4 cm ، 4 cm ، 16 cm. مسألة إضافية: قطعة خشبية مكعبة الشكل (طول ضلعها عدد صحيح) قُصّت منها شرائح سماكة كل منها ½ cm، وحجم القطعة المتبقية 7200 cm³، أوجد طول ضلع القطعة الأساسية. (الصياغة الدقيقة غير واضحة؛ بقطع 4 شرائح (2 cm) تُحل x²(x−2) = 7200 فيكون x = 20 cm — تقدير غير مؤكد)

كثيرات الحدود ← (1) دوال القوى ومعكوساتها: دوال القوى · الدوال الزوجية والدوال الفردية · معكوس دالة القوى. (2) الدوال الحدودية: سلوك النهاية · الصورة العامة. (3) العوامل الخطية لكثيرات الحدود: نظرية العامل · أصفار الدالة. (4) قسمة كثيرات الحدود: القسمة المطولة · القسمة التركيبية · نظرية الباقي. (5) حل معادلات كثيرات الحدود: الحل بالتحليل · الحل بالتقسيم · الحل بالأصفار النسبية الممكنة.

• تكون دالة القوى على الشكل y = axⁿ حيث a ≠ 0 ، n ∈ Z⁺. • الدالة الزوجية: D مجال تعريفها، تتحقق f(−x) = f(x) ، ∀x, −x ∈ D والعكس صحيح؛ في مستوى إحداثي المحور الصادي هو محور تماثل لبيان الدوال الزوجية. • الدالة الفردية: f(−x) = −f(x) ، ∀x, −x ∈ D والعكس صحيح؛ نقطة الأصل هي نقطة تماثل لبيان الدوال الفردية. • إذا كانت (a,b) تقع على بيان دالة ما فإن (b,a) تقع على بيان معكوسها. • الدالة الحدودية P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₀ حيث n عدد صحيح غير سالب وa أعداد حقيقية. • في الصورة العامة للدالة الحدودية ترتّب الحدود تنازليًّا وتجمع الحدود المتشابهة. • يصف سلوك النهاية رسم بياني امتداد طرفيه الأيمن والأيسر. • القيمة العظمى هي أكبر قيمة لـ y في فترة محددة؛ والقيمة الصغرى هي أصغر قيمة لـ y في فترة محددة. • المقدار (x − a) هو عامل خطي لكثيرة الحدود إذا وفقط إذا كان a صفرًا من أصفار كثيرة الحدود. • إذا قُسمت كثيرة الحدود f(x) من الدرجة n ≥ 1 على (x − a) حيث a ثابت فإن الباقي هو f(a). • الأصفار النسبية الممكنة لـ f(x) هي {a/b : a عامل من عوامل الحد الثابت a₀ ، b عامل من عوامل المعامل الرئيسي aₙ}.

علماء الآثار يدرسون إنجازات الحضارات القديمة (مثل المومياوات المصرية المحفوظة منذ نحو 3400 سنة ق.م). الهدف: التعرف على طرائق مختلفة لتحديد عمر قطعة أثرية؛ اللوازم: آلة حاسبة علمية. إحدى طرائق تأريخ الإبداعات الإنسانية التأريخ بالكربون المشع (كربون-14). العلاقة: t = 1.904 × 10⁴ × log(13.7 / n) حيث t عمر العنصر بالسنوات، وn عدد انبعاثات أشعة بيتا كل دقيقة لكل جرام من الكربون في العنصر. العناصر: عظم ماموث (400 g، 1640±30) · شظايا عظمية (15 g، 61.5±1.5) · قطعة فخار (25 g، 342±7) · فحم نباتي (10 g، 41.0±1.3) · قصبة رمر (250 g، 1020±30). المطلوب: (a) حساب عمر كل عنصر (b) تفسير الاستثناء في البيانات (c) نصف عمر الكربون-14 نحو 5730±40 سنة؛ شرح كيف يمكن لعالم آثار استخدام هذه العلاقة؛ (5) كتابة تقرير مفصل يتضمن صورًا ورسومًا بيانية.

4-1 استكشاف النماذج الأسية · 4-2 الدوال الأسية وتمثيلها بيانيًّا · 4-3 الدوال اللوغاريتمية وتمثيلها بيانيًّا · 4-4 خواص اللوغاريتمات · 4-5 المعادلات الأسية واللوغاريتمية · 4-6 اللوغاريتم الطبيعي.

سابقًا: نمذجة الدوال الخطية وحل معادلات خطية · نمذجة الدوال التربيعية وحل معادلات تربيعية · نمذجة كثيرات الحدود وحل معادلاتها · معكوس الدالة وتمثيله بيانيًّا. سنتعلم: تمثيل النمو الأسي والتضاؤل الأسي · تمثيل بيان بعض الدوال الأسية · استخدام الرمز e كأساس · إيجاد قيمة المقادير اللوغاريتمية · تمثيل الدوال اللوغاريتمية بيانيًّا · اختصار المقادير اللوغاريتمية وفكها · حل معادلات أسية · استخدام اللوغاريتمات والأسس لحل معادلات لوغاريتمية · علاقة اللوغاريتم الطبيعي بالدالة الأسية. المصطلحات: الدوال الأسية · معامل النمو · معامل التضاؤل · الرمز e · الدوال اللوغاريتمية · المعادلة الأسية · المعادلات اللوغاريتمية · اللوغاريتم الطبيعي. أضف إلى معلوماتك: تستخدم الدوال الأسية لتمثيل الاضمحلال الإشعاعي للمادة المشعة ونمو البكتيريا؛ ومعلومة جغرافية: جزيرة فيلكا (مساحتها نحو 43 km²) تقع في الركن الشمالي الغربي من الخليج العربي وتبعد نحو 20 km عن سواحل مدينة الكويت وفيها آثار تعود للإسكندر المقدوني.

عدد الفرق المتبقية بعد كل دور: الدور 0: 64 ← 1: 32 ← 2: 16 ← 3: 8 ← 4: 4 ← 5: 2 ← 6: 1. يجب لعب 6 أدوار حتى يبقى فريق واحد. العلاقة y = 64(½)ˣ ؛ الرسم البياني ليس دالة خطية (الفرق بين القيم غير ثابت بل النسبة بين كل قيمتين متتاليتين ثابتة = ½).

خطوة 1: جدول القيم: x=−3: 0.125 · −2: 0.25 · −1: 0.5 · 0: 1 · 1: 2 · 2: 4 · 3: 8. خطوة 2: تمثيل النقاط ووصلها بمنحنى. ∵ b = 2 > 1 ← الدالة تمثل نموًّا أسيًّا، عامل النمو b = 2. حاول (1): (a) y = 4(2)ˣ: نمو، عامل النمو 2 · (b) y = 3ˣ: نمو، عامل النمو 3. (حساب)

الأساس b = ½ ∈ (0,1) ← تضاؤل أسي، عامل التضاؤل ½. القيم: x=−2: 16 · −1: 8 · 0: 4 · 1: 2 · 2: 1 · 3: 0.5 (المنحنى متناقص ويقترب من المحور الأفقي ولا يقطعه). (حساب)

(a) b = ⅓ ∈ (0,1) ← تضاؤل أسي، عامل التضاؤل ⅓. (b) b = 0.1 ∈ (0,1) ← تضاؤل أسي، عامل التضاؤل 0.1. (حساب)

(a) b = 1 + I = 1 + 0.0244 = 1.0244 (I = 2.44/100 = 0.0244). (b) y = abˣ حيث x عدد السنوات بعد 2007 وy عدد السكان. عند x = 0 (سنة 2007): 1 038 598 = a(1.0244)⁰ = a×1 ← a = 1 038 598 (أي عدد غير صفري مرفوع للأس صفر يساوي 1) ← y = 1 038 598 (1.0244)ˣ. (c) سنة 2013 هي السنة السادسة ← x = 6 ← y = 1 038 598 (1.0244)⁶ ≈ 1 200 231 نسمة. حاول (3): (a) بنفس المعدل سنة 2017 (x=10): y ≈ 1 321 731 نسمة. (b) التفكير الناقد: لا يكون التوقع صحيحًا تمامًا لأن معدل التزايد الفعلي لا يبقى ثابتًا (يتغير بفعل الهجرة والمواليد والوفيات). (حساب)

نعوّض (x,y): ab² = 2 ... (1) و ab³ = 4 ... (2). بقسمة (2) على (1): b = 2. ثم a = 2/b² = 2/4 = ½ ← y = ½(2)ˣ. حاول (4): H(2,4) ، S(3,16): بقسمة ab³=16 على ab²=4 ← b = 4 ← a = 4/16 = ¼ ← y = ¼(4)ˣ. (حساب)

من الشكل: القيمة الابتدائية 20000 دينار وبعد سنة واحدة تصبح قيمتها حوالي 17000 دينار. (a) نسبة التغير = (17000 − 20000)/20000 = −0.15 = −15% ← تنخفض القيمة بمقدار 15% في العام الأول. (b) b = 1 + I = 1 − 0.15 = 0.85 (عامل الانخفاض)؛ عند x=0: 20000 = a(0.85)⁰ ← a = 20000 ← y = 20000(0.85)ˣ. عند x = 6: y = 20000(0.85)⁶ ≈ 7542.99 ← تصبح قيمة السيارة بعد 6 سنوات حوالي 7540 دينارًا. حاول (5): يبين التمثيل البياني أدناه الانخفاض في قيمة حاسوب خلال 4 سنوات: (a) قدّر النسبة المئوية للانخفاض في نهاية السنة الأولى (b) كوّن دالة أسية y = abˣ ثم استخدمها لتقدير قيمة الحاسوب في نهاية السنة الرابعة. (الأرقام من الرسم البياني؛ لا تُحل هنا لأن قراءة الرسم تقريبية)

(a) عامل النمو على فترة ساعة b = 2؛ على نصف ساعة √2 ≈ 1.414؛ وعلى ربع ساعة ⁴√2 ≈ 1.189. (b) f(t) = 2ᵗ: t=0: 1 · 1: 2 · 2: 4 · 3: 8 · 4: 16 (والقيم بينها تقريبية). (c) الرسم يمثل نمو البكتيريا. (d) g(t) = 2ᵗ وf(t) = 2ᵗ متطابقتان. (حساب)

جدول: x=−2: 0.111, 9 · −1: 0.333, 3 · 0: 1, 1 · 1: 3, 0.333 · 2: 9, 0.111 · 3: 27, 0.037. البيانان متماثلان حول المحور الصادي ويمران بالنقطة (0,1). حاول (1): y = 5ˣ (متزايد) وy = (⅕)ˣ (متناقص) والبيانان متماثلان حول المحور الصادي. (حساب)

جدول (x: ½(2)ˣ ، −½(2)ˣ): −2: 1/8 ، −1/8 · −1: 1/4 ، −1/4 · 0: 1/2 ، −1/2 · 1: 1 ، −1 · 2: 2 ، −2 · 3: 4 ، −4. البيانان متماثلان حول المحور السيني. حاول (2): (a) مثّل y = −4(2)ˣ وy = 4(2)ˣ (b) البيانان متماثلان (متناظران) حول المحور السيني. (حساب)

خطوة 1: جدول قيم f₁(x) = 8(½)ˣ: x=0: 8 · 1: 4 · 2: 2 · 3: 1 · 4: 0.5 · 5: 0.25 · 6: 0.125. خطوة 2: لرسم y₂ نسحب بيان f₁ حيث k = 3 ، h = −2: وحدتين إلى جهة اليسار وثلاث وحدات إلى الأعلى. حاول (3): مثّل كل دالة بانسحاب بيان y = 2(3)ˣ: (a) y₁ = 2(3)^x+1 ← انسحاب وحدة لليسار · (b) y₂ = 2(3)ˣ − 4 ← انسحاب 4 وحدات لأسفل · (c) y₃ = 2(3)^x−3 + 1 ← 3 وحدات لليمين ووحدة لأعلى. (حساب)

جدول: x=0: 0.11 · 0.5: 0.33 · 1: 1 · 1.5: 3 · 2: 9 · 2.5: 27 (ومنه الرسم متزايد؛ لاحظ أن (3)^2x = (9)ˣ). حاول (4): f(x) = (1/9)(3)^2x − 1: نفس البيان منسحبًا وحدة لأسفل. (حساب)

نصف العمر هو الوقت الذي تستغرقه المادة المشعة لتضاؤل أو لتحلل نصفها. (a) الجدول: عدد مرات نصف العمر 0,1,2,…,6 ← الساعات 0,6,12,18,24,30,36 ← الكمية 100, 50, 25, 12.5, 6.25, 3.125, 1.5625 mg. (b) عامل التضاؤل b = ½ هو لكل نصف عمر (6 h): y = 100(½)^x/6 حيث x عدد الساعات وx/6 عدد أنصاف العمر. (c) بعد 75 ساعة: y = 100(½)^75/6 = 100(½)^12.5 ≈ 0.01726 ← تبقى 0.017 mg تقريبًا.

(a) e² ≈ 7.389 · e⁻¹ ≈ 0.368 · e^{1/3} ≈ 1.396 · e^{3/4} ≈ 2.117 · 4e^{−1.5} ≈ 0.893. (b) جدول y = eˣ: x=−2: 0.135 · −1: 0.37 · 0: 1 · 1: 2.718 · 2: 7.39 · 3: 20 ← بيان متزايد يمر بالنقطة (0,1). حاول (5): e⁴ ≈ 54.598 · e⁻³ ≈ 0.050 · e^{1/2} ≈ 1.649. (حساب)

y = 1, 10, 100, 1000, 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷. لكل زيادة بمقدار وحدة في x تتضاعف y عشر مرات (تُضرب في 10). وإذا زادت x بمقدار d فإن y تُضرب في 10^d (مثلاً 0.5 ← ×3.16 ، 1.5 ← ×31.6 تقريبًا). (حساب)

طاقة زلزال مكسيكو = E×30⁸، وطاقة زلزال واشنطن = E×30^{6.8}. النسبة x: (E×30^{6.8})·x = E×30⁸ ← x = 30⁸/30^{6.8} = 30^{1.2} ≈ 59.2 ← طاقة زلزال مكسيكو أكبر بنحو 59.2 مرة. حاول (1): زلزال قوته 7 درجات مقابل 4.9 درجات: 30^{7−4.9} = 30^{2.1} ≈ 1265 مرة. (حساب)

نفرض log₈ 16 = x ← 16 = 8ˣ ← 2⁴ = 2^{3x} ← 4 = 3x ← x = 4/3 ← log₈ 16 = 4/3. حاول (2): (a) log₁₀ 100 = 2 (b) log₉ 27 = 3/2 (3^{2x}=3³) (c) log₆₄(1/32) = −5/6 (2^{6x} = 2⁻⁵). (حساب)

عصير الليمون: 2.3 = −log[H⁺] ← [H⁺] = 10^{−2.3} ≈ 5×10⁻³. الحليب: 6.6 = −log[H⁺] ← [H⁺] = 10^{−6.6} ≈ 2.5×10⁻⁷. بما أن 5×10⁻³ > 2.5×10⁻⁷ فتركيز أيونات الهيدروجين في العصير أكبر ← عصير الليمون أكثر حموضة. حاول (3): شراب القيقب pH = 5.2 ← [H⁺] = 10^{−5.2} ≈ 6.3×10⁻⁶. (حساب)

(a) 6x > 0 ⇒ x > 0 ← (0,+∞). (b) 3−x > 0 ⇒ x < 3 ← (−∞,3). (c) x² > 0 ⇒ |x| > 0 ⇒ x > 0 أو x < 0 ← (−∞,0)∪(0,∞) أي R−{0} (تذكر: √x² = |x|). (d) 5−3x > 0 ⇒ x < 5/3 ← (−∞, 5/3). حاول (4): (a) y = 2+log₅(x−2): (2,∞) (b) f(x) = log₄(x²+1): R (c) g(x) = log₇(1−x): (−∞,1). (حساب)

الخطوة 1: الدالة y = 2ˣ معكوسها y = log₂ x؛ جدول y = 2ˣ: x=−1: 0.5 · 0: 1 · 1: 2 · 2: 4 ← ارسم البيان. الخطوة 2: ارسم المستقيم y = x. الخطوة 3: اعكس إحداثيات النقاط: (0.5,−1)، (1,0)، (2,1)، (4,2) وارسم بيان y = log₂ x. حاول (5): ارسم y = log₃ x ومعكوسها y = 3ˣ بالطريقة نفسها. (حساب)

الخطوة 1: دالة المرجع y = log₆ x: جدول x=6: 1 · 1: 0 · 1/6: −1 · 1/36: −2. الخطوة 2: للحصول على y = log₆(x+2) − 3: ∵ h = −2 (سالبة) ← انسحاب أفقي جهة اليسار بمقدار وحدتين؛ ∵ k = −3 (سالبة) ← انسحاب رأسي للأسفل بمقدار 3 وحدات. حاول (6): y = log₃(x−3)+1: انسحاب 3 وحدات لليمين ووحدة لأعلى. (حساب)

باستخدام الآلة الحاسبة: log 3 + log 5 = log(3×5) = log 15 · log 1 + log 6 = log 6 · log 10 + log 2 = log 20. التعميم: log(m×n) = log m + log n. وبالمثل log(m/n) = log m − log n وlog mᵏ = k log m (مثلاً log 1000 = log 10³ = 3). وبتمثيل y = log x³ و y = 3 log x نلاحظ تطابق البيانين (لـ x > 0)، وكذلك y = log x⁻¹ و y = (−1) log x.

(a) = log₂(8/4) = log₂ 2 (= 1) [خاصية القسمة]. (b) = log_b x³ + log_b y = log_b(x³y) [القوى ثم الضرب]. (c) = log₅2³ + log₅2² − log₅2⁴ = log₅(2³×2²/2⁴) = log₅ 2. حاول (1): (1) log₂2 + log₂6 = log₂12 · (2) 3log_b4 − 3log_b2 = 3log_b2 = log_b8 · (3) 4log₃2 − log₃5 + log₃10 = log₃(16×10/5) = log₃32. (b) التفكير الناقد: لا يمكن كتابة 3log₂9 − log₆9 بلوغاريتم واحد لأن الأساسين مختلفان. (حساب)

(a) = log₅x − log₅y [القسمة]. (b) = log 3 + log x⁴ = log 3 + 4 log x [الضرب ثم القوى]. (c) = log(25/x)^{1/2} = ½ log(25/x) = ½(log 25 − log x) = ½(2 log 5 − log x) = log 5 − ½ log x. حاول (2): (a) log₂(7b) = log₂7 + log₂b · (b) log(c/3)² = 2 log c − 2 log 3 · (c) log₇(a³b⁴) = 3 log₇a + 4 log₇b. (حساب)

(a) log 20 = log(4×5) = 2 log 2 + log 5 ≈ 2(0.301)+0.699 = 1.301. (b) log 0.5 = log ½ = log 2⁻¹ = −log 2 ≈ −0.301. (c) log 8/3 = 3 log 2 − log 3 ≈ 0.903 − 0.477 = 0.426. (d) log 600 = log(2³×3×5²) = 3 log 2 + log 3 + 2 log 5 ≈ 0.903+0.477+1.398 = 2.778. حاول (3): (a) log 30 = log 2+log 3+log 5 ≈ 1.477 (b) log 4.5 = log(9/2) = 2 log 3 − log 2 ≈ 0.653 (c) log(1/25) = −2 log 5 ≈ −1.398 (d) log 1200 = 4 log 2 + log 3 + 2 log 5 ≈ 3.079. (حساب)

صفارة إنذار I = 10² ← L = 10 log(10²/10⁻¹²) = 10×14 = 140 dB (مؤلم). صوت مصنع I = 10⁻² ← 100 dB. صوت منظم غبار I = 10⁻⁵ ← 70 dB. صوت تكتكة ساعة I = 10⁻⁸ ← 40 dB. صوت تساقط أوراق الشجر I = 10⁻¹⁰ ← 20 dB (هادئ جدًّا). (حساب)

L₁ مستوى شدة الصوت الحالي، L₂ مستوى شدة الصوت بعد خفضه: L₁ = 10 log(I/I₀)، L₂ = 10 log(0.5I/I₀). L₁ − L₂ = 10 log(I/I₀) − 10 log(0.5 × I/I₀) = 10 log(I/I₀) − 10[log 0.5 + log(I/I₀)] = −10 log 0.5 ≈ 3.01 dB ← يجب أن ينخفض مستوى شدة الصوت حوالي 3 dB. حاول (4): لتخفيض شدة الصوت إلى 25% من شدة الصوت الحالية: L₁ − L₂ = −10 log 0.25 = 10 × 0.602 ≈ 6.02 dB. (حساب)

(1) فيل كبير k = 0.421 و F = 145 kg: 145 = 0.421 w^2/3 ← w^2/3 ≈ 344.4 (2) w = (344.4)^3/2 ≈ 6392 kg (3) لحل المعادلة نرفع الطرفين للقوة 3/2. (b) الحصان العربي 400 kg يأكل 15 kg يوميًّا: k = 15/400^2/3 ≈ 0.276. (حساب)

نأخذ لوغاريتم كل من الطرفين: log 7^3x = log 20 ← 3x log 7 = log 20 [خاصية القوى] ← x = log 20 /(3 log 7) ≈ 0.5132 [الآلة الحاسبة]. التحقق: 7^3(0.5132) ≈ 20.00382 ≈ 20 ✓. حاول (1): (a) 3ˣ = 4 ← x = log 4/log 3 ≈ 1.262 · (b) 6ˣ = 21 ← x = log 21/log 6 ≈ 1.699 · (c) 3^x+4 = 101 ← x = log 101/log 3 − 4 ≈ 0.201. (حساب)

(a) نأخذ لوغاريتم الطرفين: log x^2/3 = log 25 = log 5² ← (2/3) log x = 2 log 5 [القوى] ← بالضرب في 3/2: log x = 3 log 5 ← log x = log 5³ ← x = 5³ = 125 ∈ (0,∞) [رفع القوى]. (b) m^5/2 = 32 = 2⁵ ← (5/2) log m = 5 log 2 ← log m = 2 log 2 = log 4 ← m = 4. (الفقرة b محسوبة؛ لم تُراجع صفحتها)

(a) 128 = 2⁷ ← (7/2) log t = 7 log 2 ← log t = 2 log 2 ← t = 4. (b) u^4/3 = 16 ← (4/3) log u = log 16 = 4 log 2 ← log u = 3 log 2 ← u = 8. (حساب)

log₃15 = log 15/log 3 ≈ 2.4650. للتحويل للأساس 2: log₃15 = log₂x ← 2.4650 ≈ log x/log 2 ← 2.4650 (log 2) = log x ← log x ≈ 0.7420 ← x = 10^{0.7420} ≈ 5.5208 ← log₃15 ≈ log₂ 5.5208. حاول (3): (a) log₃400 = log 400/log 3 ≈ 5.4537 (ويمكن تحويله لأساس 8 بالطريقة نفسها). (b) التفكير الناقد: log₂x ≈ 2.4650 تُحل بكتابة x = 2^{2.4650} ≈ 5.52 دون قاعدة تغيير الأساس. (حساب) يمكن استخدام قاعدة تغيير الأساس لحل معادلات أسية وذلك بأخذ لوغاريتم الطرفين مستخدمًا أساس الأس كأساس للوغاريتم.

نأخذ اللوغاريتم للأساس 2 لكلا الطرفين: log₂(2^3x) = log₂ 172 ← 3x = log₂172 ← 3x = log 172/log 2 [تغيير الأساس] ← x ≈ 2.4754. حاول (4): 7^5x = 3000 ← 5x = log 3000/log 7 ≈ 4.114 ← x ≈ 0.823. (حساب) يمكن أيضًا حل معادلات أسية بيانيًّا؛ مثلاً 3^2x = 5: نقطة التقاطع (0.732, 5) ← الحل ≈ 0.732.

(a) y = abˣ حيث x السنوات بعد 1990: عند x=0: 112 = a ← a = 112. عند x = 16 (2006): 65 = 112 b¹⁶ ← b¹⁶ = 65/112 ← 16 log b = log(65/112) ← log b ≈ −0.01476904 ← b ≈ 0.96656476 ← y = 112(0.96656476)ˣ. (b) y = 5 ← 5 = 112(0.96656476)ˣ ← x ≈ 92 ← 1990 + 92 = 2082 (نقطة التقاطع (91.79, 5)) ← يبقى في شبه الجزيرة العربية 5 نمور فقط سنة 2082.

المجال: 3x+1 > 0 ⇒ x > −1/3 ← (−1/3, ∞). log(3x+1) = 5 ← 3x+1 = 10⁵ [الصورة الأسية] = 100000 ← x = 33333 ∈ (−1/3,∞) ← الحل مقبول. حاول (5): log(7−2x) = −1 ← 7−2x = 10⁻¹ = 0.1 ← x = 3.45 (المجال x < 3.5 ✓). (حساب)

المجال: x > 0. log x² − log 3 = 2 ← log(x²/3) = 2 [لوغاريتم واحد] ← x²/3 = 10² [الصورة الأسية] ← x² = 300 ← x = ±10√3. 10√3 ∈ (0,∞) مقبول، و−10√3 ∉ (0,∞) مرفوض ← x = 10√3. حاول (6): log 6 − log 3x = −2 ← log(2/x) = −2 ← 2/x = 10⁻² ← x = 200. (حساب)

(a) المجال: x(x+1) > 0 ← x < −1 أو x > 0 أي R − [−1, 0] (جدول إشارة). log x(x+1) = log 2 ← x(x+1) = 2 ← x²+x−2 = 0 ← (x−1)(x+2) = 0 ← x = 1 أو x = −2 وكلاهما ∈ R−[−1,0] ← مجموعة الحل {1, −2}. (b) log₂((x−1)/(x+3)) = log₂(1/x) [القسمة] ← (x−1)/(x+3) = 1/x [المتطابقة اللوغاريتمية] ← x(x−1) = x+3 ← x²−2x−3 = 0 ← (x−3)(x+1) = 0 ← x = 3 أو x = −1؛ −1 ∉ (1,∞) مرفوضة ← {3}. (c) log 32/log(x+1) = 5 [تغيير الأساس] ← log 32 = 5 log(x+1) = log(x+1)⁵ ← 32 = (x+1)⁵ ← 2⁵ = (x+1)⁵ ← x+1 = 2 ← x = 1 ∈ (0,∞) ← {1}. حاول (7): (a) log x² − log(x²−x) = 1 ، x ∈ (1,∞) ← x/(x−1) = 10 ← x = 10/9. (b) log₄(x+6) − log₄12 = log₄2 − log₄(x−4) ، x ∈ (4,∞) ← (x+6)(x−4) = 24 ← x²+2x−48 = 0 ← x = 6 أو −8 (مرفوضة) ← {6}. (حساب)

e ≈ 2.71828 (من الدرس 4-2) ويمكن استخدامه كأساس؛ الدالة y = log_e x هي معكوس y = eˣ وتسمى دالة اللوغاريتم الطبيعي ورمزها y = ln x وتقرأ «y تساوي ln x». بيانا y = eˣ وy = ln x متماثلان حول المستقيم y = x. باستخدام الآلة الحاسبة (مفتاح ln): ln 5, ln 3, ln 15, ln 5 + ln 3 ← ln 15 = ln 5 + ln 3؛ ln 1 = 0 ، ln e = 1 ، ln e² = 2. تطبق خواص اللوغاريتمات المعتادة على اللوغاريتم الطبيعي أيضًا.

8e^2x = 20 ← e^2x = 20/8 = 2.5 [قسمة على 8] ← ln e^2x = ln 2.5 [لوغاريتم طبيعي للطرفين] ← 2x ln e = ln 2.5 [خاصية القوى] ← 2x = ln 2.5 [ln e = 1] ← x = ln 2.5/2 ≈ 0.458. حاول (1): e^4(x+1) = 32 ← 4(x+1) = ln 32 ≈ 3.4657 ← x+1 ≈ 0.8664 ← x ≈ −0.134. (حساب)

v = −0.0098(100) + 2.8 ln 25 ≈ −0.98 + 2.8(3.219) ≈ −0.98 + 9.01 ≈ 8 km/s. هذه السرعة أكبر من 7.7 km/s ← نعم، يمكن لهذا الصاروخ أن يبلغ المدار الثابت.

v = −0.0098(30) + 1.2 ln 15 ≈ −0.294 + 1.2(2.708) ≈ 2.96 km/s < 7.7 km/s ← لا، لا يبلغ مدارًا ثابتًا. (حساب)

المجال: 3x+5 > 0 ⇒ x > −5/3. ln(3x+5) = 4 ← 3x+5 = e⁴ [الصورة الأسية] ← 3x = e⁴ − 5 ← x = (e⁴ − 5)/3 ≈ 16.53. حاول (3): (a) e^2x/5 + 7.2 = 9.1 ← e^2x/5 = 1.9 ← x ≈ 1.605 (b) 5 + ln((x+2)/3) = 7 ← x = 3e² − 2 ≈ 20.17. (حساب)

7e^2x = 10.5 [اطرح 2.5] ← e^2x = 1.5 [اقسم على 7] ← 2x ln e = ln 1.5 ← x = ln 1.5/2 ≈ 0.2027. حاول (4): (a) e^x+1 = 30 ← x = ln 30 − 1 ≈ 2.401 (b) 2^2x−3 + 4 = 7 ← 2x − 3 = log₂3 ≈ 1.585 ← x ≈ 2.292. (حساب)

x عدد السنوات بعد 2000، y عدد المشتركين، P عدد المشتركين عام 2000، m معدل التزايد السنوي: y = Pe^mx. (a) نعوض (11, 2260) وP = 360: 2260 = 360e^11m ← ln(2260/360) = 11m ← m ≈ 0.167 (معدل التزايد السنوي 16.7%) ← y = 360e^0.167x. (b) 360e^0.167x > 1000 ← x > ln(1000/360)/0.167 ≈ 6.12 ← عام 2007 يتخطى 1000 مليون (≈1.159 مليار). (c) > 3000 ← x > 12.696 ← عام 2013 (≈3.156 مليار). (d) x = ln(y/360)/0.167. (e) للتحقق نعوض y في الإجابات: x ≈ 6.12 و12.7 ✓. مسألة إضافية (الهاتف المحمول): نهاية 2000: 750 مليونًا؛ نهاية 2011: 5.6 مليار. (a) y = 750e^mx ، m = ln(5600/750)/11 ≈ 0.183 (b) 2 مليار: x ≈ 5.4 ← خلال 2006 (c) 9 مليار: x ≈ 13.6 ← خلال 2014 (d) x = ln(y/750)/0.183. (حساب لم يُراجع على الكتاب)

الدوال الأسية واللوغاريتمية ← استكشاف النماذج الأسية · الدوال الأسية وتمثيلها بيانيًّا · الدوال اللوغاريتمية وتمثيلها بيانيًّا (تمثيل ورسم، كتابة المقادير اللوغاريتمية وحسابها) · خواص اللوغاريتمات · المعادلات الأسية واللوغاريتمية · اللوغاريتم الطبيعي (الدالة y = eˣ، حل معادلات باستخدام اللوغاريتم الطبيعي).

• صورة الدالة الأسية y = abˣ؛ نموّ أسي عامله b إذا b > 1، وتضاؤل أسي إذا 0 < b < 1. • تتغير الرسوم البيانية للدالة y = ab^cx بتغير قيم الثوابت a, b, c. • y = bˣ ⟺ log_b y = x. • الأساس b في bˣ هو نفسه الأساس في اللوغاريتم، والأس x في bˣ هو x في log_b y = x. • اللوغاريتمات المعتادة للأساس 10 (log y). • الدوال اللوغاريتمية معكوسات الدوال الأسية. • خواص اللوغاريتمات (m, n, b موجبة، b ≠ 1): log_b mn = log_b m + log_b n · log_b(m/n) = log_b m − log_b n · log_b mᵏ = k log_b m. • المعادلة الأسية هي على الشكل a = b^cx حيث الأس يتغير. • a = b ⟺ log_m a = log_m b. • log_b m = log_c m / log_c b (قاعدة تغيير الأساس). • e ≈ 2.71828 ، e^{ln x} = x ، ln eˣ = x ، ln e = 1.

استخدم الفيزيائيون والمهندسون المتجهات خاصة في النصف الثاني من القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين؛ فالمتجهات هي قوى وانتقالات وسرعات وحقول كهربائية ومغناطيسية. الهدف: عند إقلاع الطائرات تتعرض لتيارات هوائية قد تغير اتجاهها؛ ندرس تأثير هذه التيارات على مسار الطائرة. اللوازم: أوراق رسم، آلة حاسبة، جهاز إسقاط، حاسوب. أسئلة: تبلغ سرعة طيران طائرة في الهواء الساكن 850 km/h؛ عند إقلاعها باتجاه الشرق واجهت هواء بسرعة 50 km/h باتجاه 40° من الجنوب إلى الغرب. (a) عبّر عن كل متجه بزوج مرتب (b) أوجد مجموع المتجهين وطول المتجه الناتج (c) زيارة شركة طيران وسؤال طيار عن حساب الاتجاه المناسب. (5) كتابة تقرير.

5-1 المتجه في المستوى · 5-2 جمع المتجهات وطرحها · 5-3 الضرب الداخلي.

سابقًا: الهندسة الإحداثية وقوانينها · إحداثيات النقطة في المستوى · الجذور التربيعية · النسب المثلثية ومقلوباتها. سنتعلم: المتجهات · ضرب المتجه في عدد حقيقي · جمع المتجهات وطرحها · إيجاد مركبات المتجهات · الضرب الداخلي · استخدام الضرب الداخلي ومركبات المتجهات لحل مسائل هندسية. المصطلحات: المتجه · تساوي متجهين · متجه الوحدة · المتجه المعاكس · الزاوية المحددة بمتجهين · متجها الوحدة الأساسيان · المتجهان المتوازيان · المتجه الصفري · مركبات المتجه · جمع/طرح متجهين · الضرب الداخلي · الزاوية الموجهة · القطعة الموجهة · نقطة بداية/نهاية · متجه الموضع · تكافؤ قطعتين موجهتين. أضف إلى معلوماتك: ساهم الفلكي ويليام هاملتون (William Hamilton) في تطوير حساب المتجهات، وهو أول من استخدم سنة 1843 تعبير «متجه» (Vector) وهو كلمة مشتقة من اللاتينية وتعني «الذي ينقل».

الانسحاب الذي يحوّل A إلى B ثم B إلى C يحوّل أيضًا E إلى F وF إلى G (انسحاب بالطول والاتجاه نفسيهما)؛ وتُحدَّد ثلاثة متوازيات أضلاع في الشكل. الانسحاب يتحدد بمقدار واتجاه ← هذا هو المتجه.

(a) AB: (7−2 , 3−(−1)) = (5, 4) · BC: (4−7 , 2−3) = (−3, −1) · CA: (2−4 , −1−2) = (−2, −3). (b) E(x,y): AE متجه موضعها (x−2 , y+1) = (3,−2) ← x−2 = 3 ← x = 5 ، y+1 = −2 ← y = −3 ← E(5, −3) (من تساوي الأزواج المرتبة). حاول (1): A(1,−3)، B(2,2)، C(2,3)، D(−2,−1): (a) AB = (1,5) · BD = (−4,−3). (b) KD يمثل DC: DC = (4,4) ← (−2−x , −1−y) = (4,4) ← K(−6, −5). (حساب)

⟨KL⟩ = ⟨x_L − x_K , y_L − y_K⟩ = ⟨2−(−2), −4−3⟩ = ⟨4, −7⟩ ← المركبة السينية 4، الصادية −7. ⟨PK⟩ = ⟨−2−0 , 3−3⟩ = ⟨−2, 0⟩. ⟨LP⟩ = ⟨0−2 , 3−(−4)⟩ = ⟨−2, 7⟩. حاول (2): F(5,13), E(3,11), D(−2,−7): ⟨EF⟩ = ⟨2,2⟩ · ⟨ED⟩ = ⟨−5,−18⟩ · ⟨DE⟩ = ⟨5,18⟩. (حساب)

(a) ‖u‖ = √(4+9) = √13 وحدة؛ tan α = |3/2| ← α ≈ 56° 18′ 35.76″؛ x > 0, y > 0 ← θ = α ≈ 56° 18′ 35.76″. (b) ‖v‖ = √(2+4) = √6؛ tan α = 2/√2 = √2 ← α ≈ 54° 44′ 8.2″؛ x < 0, y > 0 ← θ = 180° − α ≈ 125° 15′ 51.8″. (c) ‖w‖ = √(1+9) = √10؛ tan α = 3 ← α ≈ 71° 33′ 54.18″؛ x > 0, y < 0 ← θ = 360° − α ≈ 288° 26′ 5.82″. (d) ‖t‖ = √(9+1) = √10؛ tan α = 1/3 ← α ≈ 18° 26′ 5.82″؛ x < 0, y < 0 ← θ = 180° + α ≈ 198° 26′ 5.82″. حاول (3): (a) m = ⟨2,2⟩: 2√2 ، θ = 45° · (b) n = ⟨−1,−2⟩: √5 ، θ ≈ 243° 26′ 5.8″ · (c) p = ⟨−2,3⟩: √13 ، θ ≈ 123° 41′ 24.2″ · (d) q = ⟨1,−4⟩: √17 ، θ ≈ 284° 2′ 10.5″. (حساب)

‖ū‖ = 1 ← √((2/√5)² + y²) = 1 ← 4/5 + y² = 1 [بتربيع الطرفين] ← y² = 1/5 ← y = 1/√5 أو y = −1/√5. حاول (4): v̄ = ⟨x, 12/13⟩ ← x² + 144/169 = 1 ← x² = 25/169 ← x = ±5/13. (حساب)

⟨RS⟩ = ⟨x_S − x_R , y_S − y_R⟩ = ⟨−1−(−4) , 6−2⟩ = ⟨3,4⟩ ؛ ⟨OP⟩ = ⟨3−0 , 4−0⟩ = ⟨3,4⟩ ← للمتجهين المركبتان نفسهما ← المتجهان متساويان. حاول (5): A(0,1), B(1,3), C(3,6), D(4,8): ⟨AB⟩ = ⟨1,2⟩ = ⟨CD⟩ ✓. (حساب)

Ā = B̄ ⇒ 2x+1 = 3 و 3y−1 = 2 ← x = 1 ، y = 1. حاول (6): Ā = ⟨−2x+3 , 4y−1⟩ ، B̄ = ⟨−1,3⟩ ← −2x+3 = −1 ← x = 2 ؛ 4y−1 = 3 ← y = 1. (حساب)

(a) الرسم يبدو أن LG وCD متساويان؛ C(1,1), D(2,3) ← ⟨CD⟩ = ⟨x_D − x_C , y_D − y_C⟩ = ⟨1,2⟩؛ L(3,1), G(4,3) ← ⟨LG⟩ = ⟨1,2⟩ ← ⟨CD⟩ = ⟨LG⟩. (b) يبدو أن ⟨HE⟩ وَ ⟨AB⟩ متعاكسان: A(1,3), B(2,1) ← ⟨AB⟩ = ⟨1,−2⟩؛ E(3,3), H(4,1) ← ⟨HE⟩ = ⟨−1,2⟩ ← مركبات ⟨HE⟩ هي المعكوس الجمعي لمركبات ⟨AB⟩ ← المتجهان متعاكسان. حاول (7): ارسم متجه الموضع للمتجه ū حيث مركباته ⟨1,2⟩؛ من النقطة A(2,−1) ارسم متجهًا مساويًا لـ ū (يصل إلى (3,1)) ومتجهًا معاكسًا لـ ū (يصل إلى (1,−3)) واكتب مركباتهما: ⟨1,2⟩ و⟨−1,−2⟩. (حساب)

(a) 2Ā = ⟨2(−1), 2(2)⟩ = ⟨−2,4⟩. (b) −Ā = ⟨1,−2⟩. (c) 0.5Ā = ⟨−0.5, 1⟩. حاول (8): B̄ = ⟨3,−2⟩: (a) 3B̄ = ⟨9,−6⟩ (b) −5B̄ = ⟨−15,10⟩ (c) (3/2)B̄ = ⟨4.5,−3⟩. (حساب)

لنثبت أن A, B, C على استقامة واحدة نحدد أحد متجهين ونبحث عن عدد حقيقي k غير صفري بحيث ⟨AB⟩ = k⟨AC⟩. ⟨AB⟩ = ⟨−2−2 , 5−3⟩ = ⟨−4,2⟩؛ ⟨AC⟩ = ⟨10−2 , −1−3⟩ = ⟨8,−4⟩ = ⟨−2⟩⟨AB⟩ أي ⟨AC⟩ = −2⟨AB⟩ ← النقاط A, B, C على استقامة واحدة (k = −2). حاول (9): K(0,−1), L(2,3), M(−2,−5): ⟨KL⟩ = ⟨2,4⟩ ، ⟨KM⟩ = ⟨−2,−4⟩ = −1·⟨KL⟩ ← على استقامة واحدة. (حساب)

(a) k = 3 عدد موجب ← لهما الاتجاه نفسه؛ C نقطة مشتركة ← C₁, A, C على استقامة واحدة (C₁ ∈ ray CA) ← ‖CC₁‖ = 3‖CA‖ فنرسم النقطة C₁ على ظهر CA بحيث CC₁ = 3CA. (b) k = −2 عدد سالب ← لهما اتجاهان متعاكسان؛ A نقطة مشتركة ← B₁ ∈ ray BA من جهة A الأخرى؛ |k| = 2 ← ‖AB₁‖ = 2‖AB‖ فنرسم B₁ بحيث AB₁ = 2AB في اتجاه معاكس للمتجه ⟨AB⟩. حاول (10): ارسم مثلث ABC، ⟨AD⟩ = 3⟨AB⟩ ثم ارسم ⟨BH⟩ = −(3/2)⟨BC⟩.

أكمل رسم متوازي الأضلاع AMBC ثم ارسم MC؛ المتجه MC هو محصلة القوتين (قطر متوازي الأضلاع). إذا تغيّر قياس الزاوية AMB تتغير المحصلة ‖MC‖ (تكبر عندما تصغر الزاوية). إذا تغيّر طول MB تتغير المحصلة أيضًا.

(a) للمتجهين ⟨AB⟩, ⟨AC⟩ نقطة بداية مشتركة A ← M هي النقطة التي تجعل BACM متوازي أضلاع (قانون متوازي الأضلاع). (b) ⟨AL⟩ = ⟨AB⟩ + ⟨BC⟩ = ⟨AC⟩ (علاقة شال) ∵ ⟨AL⟩ = ⟨AC⟩ ∴ L = C. حاول (1): (a) ⟨BM⟩ = ⟨BA⟩ + ⟨BC⟩: M تكمل متوازي الأضلاع (b) ⟨BN⟩ = ⟨BC⟩ + ⟨CA⟩ = ⟨BA⟩ ← N = A. (حساب)

نرسم ⟨BK⟩ = ⟨AC⟩ (متجه مساوٍ لـ ⟨AC⟩ بدايته B). بالتعويض في المعادلة: ⟨BL⟩ = ⟨BK⟩ + ⟨BC⟩ ← للمتجهين ⟨BK⟩, ⟨BC⟩ نقطة بداية مشتركة B ← نستخدم قانون متوازي الأضلاع ← L هي النقطة التي تُكمل متوازي الأضلاع CBKL ← ⟨BL⟩ = ⟨AC⟩ + ⟨BC⟩. لاحظ أن L ∈ ray AC. حاول (2): في المثلث ABC عيّن N بحيث ⟨BN⟩ = ⟨BA⟩ + ⟨CA⟩. (إنشاء هندسي)

(a) L = (⟨AC⟩ + ⟨BA⟩) + ⟨CB⟩ [التجميع] = (⟨BA⟩ + ⟨AC⟩) + ⟨CB⟩ [الإبدال] = ⟨BC⟩ + ⟨CB⟩ [شال] = ⟨BB⟩ = 0̄ (المتجه الصفري). (b) K = (⟨AB⟩ + ⟨CA⟩) + (⟨BC⟩ + ⟨AB⟩) = (⟨CA⟩ + ⟨AB⟩) + (⟨BC⟩ + ⟨AB⟩) = ⟨CB⟩ + ⟨BC⟩ + ⟨AB⟩ = ⟨AB⟩. حاول (3): مضلع ABCD: (a) ⟨AB⟩ + ⟨CD⟩ + ⟨BC⟩ = ⟨AB⟩ + ⟨BC⟩ + ⟨CD⟩ = ⟨AD⟩ (b) ⟨AD⟩ + ⟨CA⟩ + ⟨BC⟩ + ⟨DB⟩ = ⟨CA⟩ + ⟨AD⟩ + ⟨DB⟩ + ⟨BC⟩ = ⟨CC⟩ = 0̄. (حساب)

(a) Ā + B̄ = ⟨2+(−1) , 3+5⟩ = ⟨1, 8⟩. (b) 2Ā + 3B̄ = ⟨4,6⟩ + ⟨−3,15⟩ = ⟨1, 21⟩. حاول (4): Ā = ⟨4,−2⟩ ، B̄ = ⟨−7,5⟩: (a) Ā + B̄ = ⟨−3, 3⟩ (b) 3Ā + 5B̄ = ⟨12,−6⟩ + ⟨−35,25⟩ = ⟨−23, 19⟩. (حساب)

⟨AB⟩ − ⟨AC⟩ = ⟨AB⟩ + (−⟨AC⟩) [طرح المتجهين] = ⟨AB⟩ + ⟨CA⟩ = ⟨CA⟩ + ⟨AB⟩ [الإبدال] = ⟨CB⟩ [علاقة شال]. حاول (5): مضلع ABCD: (a) ⟨AB⟩ + ⟨CD⟩ − ⟨AD⟩ − ⟨CB⟩ = ⟨AB⟩ + ⟨BC⟩ + ⟨CD⟩ + ⟨DA⟩ = 0̄ (b) ⟨AB⟩ − ⟨AC⟩ + ⟨BC⟩ + ⟨AD⟩ = ⟨CB⟩ + ⟨BC⟩ + ⟨AD⟩ = ⟨AD⟩. (حساب)

(a) Ā − B̄ = ⟨5−11 , 12−7⟩ = ⟨−6, 5⟩. (b) 4Ā − 6B̄ = ⟨20,48⟩ − ⟨66,42⟩ = ⟨20−66 , 48−42⟩ = ⟨−46, 6⟩. حاول (6): Ā = ⟨−3,0⟩ ، B̄ = ⟨5,−9⟩: (a) Ā − B̄ = ⟨−8, 9⟩ (b) −3Ā + 4B̄ = ⟨9,0⟩ + ⟨20,−36⟩ = ⟨29, −36⟩. (حساب)

يمثّل المستقيمان المتوازيان m₁, m₂ ضفتي النهر وتمثل النقطة Y موقع يوسف. من Y نرسم المتجه −K والمتجه −N؛ وليكن YO ناتج جمع هذين المتجهين. يقطع الضلع YO الضفة الأولى في E. ∴ يجب أن ينطلق عبد العزيز من الموقع الممثل بالنقطة E للوصول إلى Y. حاول (7): التفكير الناقد: نبدأ الحل من موقع يوسف لأن الهدف هو الوصول إلى Y فنعكس تأثير القوتين رجوعًا إلى نقطة البداية.

⟨OA⟩ = ⟨−5,1⟩ = −5ī + j̄ · ⟨OB⟩ = ⟨2,−3⟩ = 2ī − 3j̄ · ⟨OC⟩ = ⟨−1,0⟩ = −ī + 0j̄ = −ī. حاول (8): A(3,4), B(−2,5), C(−4,−1): OA = 3ī+4j̄ · OB = −2ī+5j̄ · OC = −4ī−j̄. (حساب)

(a) أوجد ‖OA‖ ، ‖OB‖. (b) استخدم المنقلة لإيجاد قياس الزاوية θ بين المتجهين ⟨OA⟩ ، ⟨OB⟩. (c) باستخدام الآلة الحاسبة أوجد ‖OA‖×‖OB‖×cos θ. (d) نسقط العمود OH من A على OB؛ مسقط OA على OB هو OH. (e) أوجد ‖OB‖×‖OH‖ وقارنها بما حصلت عليه في (c): القيمتان متساويتان (الضرب الداخلي = ‖OB‖ × طول مسقط OA على OB).

ū·v̄ = ‖ū‖ × ‖v̄‖ × cos(ū,v̄) حيث ‖ū‖ = √(3²+0²) = 3 وحدات؛ ‖v̄‖ = √(9+9) = √18 = 3√2 وحدة؛ cos(ū,v̄) = 3/(3√2) = √2/2 ← قياس الزاوية بين المتجهين 45° ← ū·v̄ = 3(3√2)(√2/2) = 9. حاول (1): ū = ⟨0,2⟩ ، v̄ = ⟨2,2⟩: ‖ū‖ = 2 ، ‖v̄‖ = 2√2 ، الزاوية 45° ← ū·v̄ = 2·2√2·(√2/2) = 4. (حساب)

(a) AC·AB = ‖AC‖‖AB‖cos(AC,AB) = 4×4×cos 60° = 4×4×½ = 8. (b) ∵ M منتصف BC ∴ MB = MC = 2؛ MB·MC = ‖MB‖‖MC‖cos(MB,MC) = 2×2×cos 180° = −4. (c) CM·CB = ‖CM‖‖CB‖cos(CM,CB) = 2×4×cos 0° = 8. حاول (2): مضلع سداسي منتظم ABCDEF محاط بدائرة مركزها O طول نصف قطرها 1 cm: (a) OA·OD = 1·1·cos 180° = −1 (b) OA·OB = cos 60° = ½ (c) CB·EF (متجهان متساويان في الاتجاه) = 1 (d) AB·DE (متعاكسان) = −1 (e) OB·OF (الزاوية 120°) = −½. (حساب)

(a) ⟨CA⟩ = ⟨−2−(−3), −3−(−1)⟩ = ⟨1,−2⟩ = ī − 2j̄ ؛ ⟨CB⟩ = ⟨1−(−3), 1−(−1)⟩ = ⟨4,2⟩ = 4ī + 2j̄. (b) ⟨CA⟩·⟨CB⟩ = 1×4 + (−2)×2 = 0. (c) ∵ ⟨CA⟩·⟨CB⟩ = 0 ∴ ⟨CA⟩ ⊥ ⟨CB⟩ ← منه قياس الزاوية (CA,CB) يساوي 90° ← المثلث ABC قائم الزاوية في C. حاول (3): A(6,−1), B(3,2), C(2,1): (a) ⟨BA⟩ = 3ī − 3j̄ ، ⟨BC⟩ = −ī − j̄ (b) ⟨BA⟩·⟨BC⟩ = −3 + 3 = 0 (c) المثلث ABC قائم الزاوية في B. (حساب)

∵ Ā ⊥ B̄ ∴ Ā·B̄ = 0 ← x_A x_B + y_A y_B = 0 ← (−2)(1) + (3)(y) = 0 ← −2 + 3y = 0 ← y = 2/3. حاول (4): Ā = ⟨3,−1⟩ ، B̄ = ⟨x,−2⟩: 3x + 2 = 0 ← x = −2/3. (حساب)

(a) طريقة أولى: x_A/x_B = −7/14 = −1/2 ، y_A/y_B = 5/(−10) = −1/2 ← Ā = −½B̄ ← Ā ∥ B̄. طريقة ثانية: x_A y_B − x_B y_A = (−7)(−10) − 14×5 = 70 − 70 = 0 ← Ā ∥ B̄. (b) طريقة أولى: Ā = kB̄ ← ⟨6,−8⟩ = ⟨2k, ky⟩ ← 6 = 2k ← k = 3 ؛ −8 = ky = 3y ← y = −8/3. طريقة ثانية: x_A y_B − x_B y_A = 0 ← 6y − 2(−8) = 0 ← 6y − 16 = 0 ← y = −16/6 = −8/3. حاول (5): (a) Ā = ⟨3,−2⟩ ، B̄ = ⟨6,−4⟩ ← B̄ = 2Ā ← متوازيان (b) Ā = ⟨7/3, 2/3⟩ ، B̄ = ⟨x, 4/5⟩ ، Ā ∥ B̄ ← (7/3)(4/5) − x(2/3) = 0 ← x = 14/5. (حساب)

(4Ā − 3B̄)·(Ā + 2B̄) = 4Ā·Ā + 8Ā·B̄ − 3B̄·Ā − 6B̄·B̄ [خاصية التوزيع] = 4Ā·Ā + 8Ā·B̄ − 3Ā·B̄ − 6B̄·B̄ [التجميع/الإبدال] = 4‖Ā‖² + 5Ā·B̄ − 6‖B̄‖² [Ā·Ā = ‖Ā‖²] = 4×9 + 5(−3) − 6×4 = 36 − 15 − 24 = −3. حاول (6): ‖Ā‖ = 3 ، ‖B̄‖ = 4 ، Ā·B̄ = 5: (3Ā − 2B̄)·(−Ā + 3B̄) = −3‖Ā‖² + 11Ā·B̄ − 6‖B̄‖² = −27 + 55 − 96 = −68. (حساب)

cos(Ā,B̄) = 15/(5×6) = 1/2 ← m(Ā,B̄) = cos⁻¹(½) = 60°. حاول (7): ‖Ā‖ = 3 ، ‖B̄‖ = 2 ، Ā·B̄ = −3√3: cos = −3√3/6 = −√3/2 ← 150°. (حساب)

cos(Ā,B̄) = Ā·B̄/(‖Ā‖‖B̄‖) = (2(−4) + 2√3·4√3)/(√(4+12)·√(16+48)) = (−8+24)/(4×8) = 16/32 = 1/2 ← m(Ā,B̄) = cos⁻¹(½) = 60°. حاول (8): Ā = ⟨6,3⟩ ، B̄ = ⟨3,−1⟩: Ā·B̄ = 15، ‖Ā‖ = 3√5، ‖B̄‖ = √10 ← cos = 1/√2 ← 45°. (حساب)

(a) ⟨BA⟩ = ⟨x_A − x_B , y_A − y_B⟩ = ⟨−a−x , −y⟩ ؛ ⟨BC⟩ = ⟨a−x , −y⟩. (b) BA·BC = (−a−x)(a−x) + (−y)(−y) = −a² + ax − ax + x² + y² = x² + y² − a². ∵ x²+y² = a² (معادلة الدائرة) ∴ BA·BC = 0 ← BA ⊥ BC ← قياس الزاوية θ يساوي 90° (الزاوية المحيطية المرسومة على قطر دائرة قائمة).

سأستخدم الضرب الداخلي؛ بما أنه لا توجد خاصية واحدة تسمى بمعرفة قياس الزاوية فسأستخدم خاصيتين معًا. أولاً: التحضير (بعد مطابقة فيثاغورث): (LB₁)² = 20² + 10² = 500 ← LB₁ ≈ 22.36 m ؛ (LB₂)² = 20² + (10+7.32)² ≈ 700 ← LB₂ ≈ 26.46 m. ثانيًا: الضرب الداخلي — طريقة أولى: LB₁·LB₂ = (LA + AB₁)·(LA + AB₂) = (LA)² + 0̄ + AB₁·AB₂ = 400 + 10×17.32 = 573.2. ثالثًا: طريقة ثانية: LB₁·LB₂ = ‖LB₁‖‖LB₂‖cos α ← 573.2 = 22.36×26.46 cos α ← cos α = 573.2/(22.36×26.46) = 0.9688 ← α ≈ 14° 21′. مسألة إضافية: في المربع ABCD، E منتصف BC، F منتصف CD، تتقاطع BF وDE في M. أوجد m(∠DMF): باستخدام الإحداثيات D(0,0)، C(1,0)، B(1,1)، E(1,0.5)، F(0.5,0): MD ∥ (−1,−0.5) وMF ∥ (−0.5,−1) ← cos = 1/1.25 = 0.8 ← ≈ 36° 52′. (حساب لم يُراجع على الكتاب)

المتجهات ← (1) المتجه في المستوى: الكميات القياسية والكميات المتجهة · تكافؤ قطعتين موجهتين · طول (معيار) متجه واتجاهه · متجه الوحدة · ضرب متجه في عدد حقيقي. (2) جمع وطرح المتجهات: متجها الوحدة الأساسيان · جمع وطرح المتجهات هندسيًّا وجبريًّا. (3) الضرب الداخلي: خواص الضرب الداخلي · تطبيقات على الضرب الداخلي · الزاوية بين متجهين.

• للقطعة الموجهة اتجاه وقياس. • القطعة الموجهة OM التي بدايتها نقطة الأصل ونهايتها M(x,y) تسمى متجه الموضع ويمثلها الزوج المرتب (x,y). • إذا كانت AB قطعة موجهة فإن متجه OM الموضع لهذه القطعة M(x_B − x_A , y_B − y_A). • المتجه هو مجموعة كل القطع الموجهة المتكافئة والتي أحدها متجه الموضع. • يكون متجهان متساويين إذا كانت القطعتان الموجهتان المناظرتان لهما متكافئتين. • المتجهان ⟨a,b⟩ ، ⟨c,d⟩ متساويان إذا وفقط إذا a = c ، b = d. • متجهان متوازيان Ā ، B̄ إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي k ≠ 0 يحقق Ā = kB̄. • تكون النقاط A, B, C على استقامة واحدة إذا وفقط إذا وجد عدد حقيقي k ≠ 0 يحقق AB = kAC. • جمع متجهين: ABCD متوازي أضلاع حيث AB + AC = AD ؛ AB + BC = AC. • Ā + (−Ā) = 0̄ ، Ā + 0̄ = Ā ، (Ā + B̄) + C̄ = Ā + (B̄ + C̄) ، Ā + B̄ = B̄ + Ā. • Ā = ⟨x_A,y_A⟩ ، B̄ = ⟨x_B,y_B⟩ ، k عدد حقيقي: Ā + B̄ = ⟨x_A + x_B , y_A + y_B⟩ ، kĀ = ⟨kx_A, ky_A⟩. • Ā = B̄ إذا وفقط إذا x_A = x_B ، y_A = y_B. • Ā, B̄ متوازيان إذا وفقط إذا x_A·y_B − x_B·y_A = 0. • Ā·B̄ = ‖Ā‖·‖B̄‖cos(Ā,B̄) = x_A·x_B + y_A·y_B. • إذا Ā(x,y) فإن ‖Ā‖ = √(x²+y²) ، ‖Ā‖² = Ā·Ā ؛ cos(Ā,B̄) = Ā·B̄/(‖Ā‖·‖B̄‖). • إذا A(x_A,y_A) ، B(x_B,y_B) فإن AB = √((x_B−x_A)² + (y_B−y_A)²).

أظهرت الإحصاءات أن من أكثر المشاكل التي تواجه الأشخاص في تنقلاتهم يوميًّا هي زحمة السير الخانقة على الطرقات؛ ولا زالت الدراسات تركّز على كيفية إيجاد وسائل نقل أسرع وأكثر أمانًا وأقل تكلفة. الهدف: تحديد مشاكل النقل والسفر ثم تقديم تصميمًا لوسيلة نقل جديدة أو عرضًا لخدمة تستطيع من خلالها حل المشكلة، وتقوم باستطلاع لتقرر إن كان تصميمك أو خدمتك قابلين للتسويق. اللوازم: ورق رسم بياني، آلة حاسبة علمية. أسئلة: ما أسباب زحمة السير؟ · كيف ستختار عينة الاستطلاع؟ · ما نوع الأسئلة التي ستطرحها على الأشخاص؟ · ما هي وسائل النقل المستخدمة؟ · ما نوع الخدمة التي يفضلونها؟ · نظّم المعلومات التي حصلت عليها ومثّلها بيانيًّا. (التقرير) اكتب تقريرًا مفصلاً عن منتجك أو خدمتك المقترحة؛ اعرض ما توصلت إليه على زملائك.

6-1 المجتمع الإحصائي والمعاينة · 6-2 العينات · 6-3 أساليب عرض البيانات · 6-4 الانحراف المعياري · 6-5 القاعدة التجريبية · 6-6 القيمة المعيارية.

سابقًا: التمثيلات البيانية · قيم النزعة المركزية (المتوسط الحسابي – الوسيط – المنوال) · مقاييس تشتت البيانات (المدى – الأرباعيات) · التباين – الانحراف المعياري · استخدام مخطط الصندوق ذي العارضتين في عرض البيانات وتحليلها. سنتعلم: دراسة المجتمع الإحصائي والمعاينة · استخدام العينة البسيطة والطبقية والمنتظمة · عرض البيانات في جداول تكرارية وكتابة التكرار النسبي والمئوي · تمثيل البيانات بالقطاعات الدائرية · تمثيل البيانات بالمدرج التكراري والمنحنى التكراري · إيجاد التباين والانحراف المعياري واستخدامهما لاتخاذ قرارات · تطبيقات على مقاييس التشتت (الانحراف المعياري – القاعدة التجريبية – القيمة المعيارية). المصطلحات: مجتمع إحصائي · الحصر الشامل · المعاينة · المتغير · عينة بسيطة · عينة طبقية · عينة منتظمة · جدول تكراري · تكرار نسبي · تكرار مئوي · قطاعات دائرية · مدرج تكراري · منحنى تكراري · التباين · الانحراف المعياري · مقاييس التشتت · القاعدة التجريبية · القيمة المعيارية.

(1) حدد مع زملائك عدد الأشخاص الذين سوف تستطلع آراءهم. (2) ما هي المعايير التي يجب اتباعها في هذا الاستطلاع لتحديد أفضل لاعب؟ (3) ما الطرائق التي يجب اتباعها في إجراء هذا الاستطلاع؟ — أسئلة نقاش مفتوحة.

(a) مجتمع طلاب الصف الحادي عشر في مدارس الكويت: نوعه: مجتمع منتهٍ؛ وحدة الدراسة: طالب. (b) مجتمع الطيور على سطح الأرض: نوعه: غير منتهٍ؛ وحدة الدراسة: طير. حاول (1): (a) لاعبو فرق كرة السلة في دولة الكويت: مجتمع منتهٍ، الوحدة: لاعب. (b) الأسماك في مياه الخليج العربي: مجتمع غير منتهٍ، الوحدة: سمكة. (حلّ نموذجي)

(a) لا يمكن الحصر الشامل لأنه يستلزم سحب كل الدم من الجسم (تدمير الوحدات). (b) نعم يمكن الحصر الشامل لأن المجتمع (طلاب صفك) منتهٍ وصغير ولا تُتلف الوحدات عند دراستها.

(a) دراسة أعمار طلاب صف معين (مجتمع منتهٍ وصغير). (b) فحص مدة صلاحية أعمدة الإنارة بتشغيلها حتى تتلف / فحص عمر مصابيح كهربائية (تتلف الوحدات). (حلّ نموذجي)

(a) كمية متقطعة (b) كيفية مرتبة (c) كمية مستمرة (d) كيفية اسمية. حاول (3): (a) عدد أعضاء فريق كرة القدم: كمية متقطعة (b) الوظيفة (ضابط، محاسب، محام، تاجر، مدرس…): كيفية اسمية (c) أطوال قامات طلاب الصف الحادي عشر: كمية مستمرة (d) تقديرات الطلاب في مادة اللغة الإنجليزية في جامعة الكويت: كيفية مرتبة. (حلّ نموذجي)

يجب أن يكون الاختيار عشوائيًّا لتفادي التحيز، وأن يمثل كل فئة بنسبة حجمها (عينة طبقية) — وهذا ما يشرحه الدرس.

بما أن حجم المجتمع 80 فإننا نأخذ أول رقمين جهة اليسار من الصف الأول والعمود الأول ثم نتحرك رأسيًّا إلى الأسفل فنجد الأعداد: 41, 86, 37, 96, 31, 53, 28. ولكن لا يوجد 86 و96 مقابل لهما ترقيم الطلاب لذا يبقى لدينا: 41, 37, 31, 53, 28 فنكمل لنجد العددين الآخرين على ألا يكون ما لما يتكرر: 35, 02. وبذلك يصبح لدينا حسب الترقيم الطلاب: 28, 53, 31, 37, 41, 02, 35.

بما أن حجم المجتمع 90 فإننا نأخذ أول رقمين جهة اليسار من الصف السادس والعمود الرابع ثم نتحرك رأسيًّا إلى الأسفل ونختار الأرقام بحيث لا يتجاوز العدد 90 ولا يتكرر. فالموظفون الذين تصبح أرقامهم: 59, 61, 3, 24, 77, 70, 10. حاول (1): أعد الخطوات نفسها ابتداءً من الصف العاشر والعمود الخامس (الأعداد تُقرأ من جدول الأعداد العشوائية في الكتاب).

كسر المعاينة = 80/1600 = 0.05. حجم عينة الإداريين: 100×0.05 = 5 · حجم عينة التقنيين والفنيين: 300×0.05 = 15 · حجم عينة العمال والمستخدمين: 1200×0.05 = 60. وبالتالي تكون العينة العشوائية الطبقية مكونة من: 5 (إداريين)، 15 (تقنيًّا وفنيًّا)، 60 (عاملاً ومستخدمًا). حاول (2): سحب عينة طبقية مكونة من 7 أفراد من 35 موظفًا: مدراء أقسام 10، محاسبون ومدققون 20، مستخدمون 5. كسر المعاينة = 7/35 = 0.2 ← مدراء الأقسام 2 · المحاسبون والمدققون 4 · المستخدمون 1. (حساب)

أولاً: كسر المعاينة = 18/900 = 0.02. ثانيًا: حجم كل عينة بسيطة: الإداريون 100×0.02 = 2 · المهندسون والتقنيون 200×0.02 = 4 · العمال والمستخدمون 600×0.02 = 12. ثالثًا: نستخدم جدول الأعداد العشوائية لإيجاد أرقام: 2 إداريين من بين 100 إلى 199 ، 4 مهندسين وتقنيين من 200 إلى 399 ، 12 عاملاً ومستخدمًا من 400 إلى 999. فنجد الأعداد: الإداريون 159, 103 · المهندسون والتقنيون 246, 383, 349, 341 · العمال والمستخدمون 780, 595, 617, 770, 926, 709, 447, 690, 652, 803, 465, 531. حاول (3): مستشفى يوجد فيه 80 إداريًّا مرقمين من 1 إلى 80، 140 طبيبًا من 81 إلى 220، 240 ممرضًا من 221 إلى 460، 40 عاملاً من 461 إلى 500. المطلوب عينة طبقية من 25: كسر المعاينة = 25/500 = 0.05 ← إداريون 4 · أطباء 7 · ممرضون 12 · عمال 2 (المجموع 25). (حساب)

نوجد طول الفترة = 900/15 = 60. نختار أول عدد عشوائي مؤلف من رقمين جهة اليسار باستخدام جدول الأعداد العشوائية على ألا يزيد عن العدد 60: نجد العدد 31 على التقاطع بين الصف الثامن والعمود العاشر. فتكون الأعداد: 31, 91, 151, 211, 271, 331, 391, 451, 511, 571, 631, 691, 751, 811, 871 ← العينة العشوائية المنتظمة تتكون من العمال حيث ترقيمهم بالأعداد السابقة. حاول (4): إذا أراد صاحب المصنع تشكيلها على أن يكون حجمها 10 فطول الفترة = 900/10 = 90 (يبدأ من العدد العشوائي الأول ≤ 90 ثم يضاف 90 كل مرة). (حساب)

نوجد طول الفترة = 700/10 = 70. نختار أول عدد عشوائي مؤلف من رقمين جهة اليسار بحيث لا يزيد عن طول الفترة (70): نجد العدد 38. فتكون العينة: 38, 108, 178, 248, 318, 388, 458, 528, 598, 668. حاول (5): 140 طالبًا علميًّا، عينة منتظمة حجمها 7: طول الفترة = 140/7 = 20 (يبدأ من عدد عشوائي ≤ 20 ثم يضاف 20 كل مرة). (حساب)

(1) نسبة الطلاب الذين أطوال قاماتهم أقل من 170 cm = (2+8+6+8)/50 = 24/50 = 48%. (2) نسبة الذين أطوالهم 170 cm فأكثر = (13+7+6)/50 = 26/50 = 52%. (حساب)

(a) التكرار النسبي: 4/25 ، 4/25 ، 6/25 ، 4/25 ، 5/25 ، 2/25 (المجموع 25/25). التكرار المئوي: ممتاز 16% · جيد جدًّا 16% · جيد 24% · متوسط 16% · مقبول 20% · ضعيف 8% (المجموع 100%). (b) الزوايا المركزية: ممتاز (4/25)×360° = 57.6° · جيد جدًّا 57.6° · جيد (6/25)×360° = 86.4° · متوسط 57.6° · مقبول (5/25)×360° = 72° · ضعيف (2/25)×360° = 28.8°. حاول (1): ألوان العيون لدى 40 طالبًا ثانويًّا: زيتي 4 · عسلي 6 · بني 13 · أزرق 4 · أسود 13. التكرار المئوي: 10% · 15% · 32.5% · 10% · 32.5%؛ الزوايا: 36° ، 54° ، 117° ، 36° ، 117°. (حساب)

(a) مراكز الفئات: (15+20)/2 = 17.5 · 22.5 · 27.5 · 32.5 · 37.5 · 42.5 · 47.5 · 52.5. (b) لرسم المنحنى التكراري نصل النقاط الممثلة للأزواج المرتبة التي تمثل مراكز الفئات وتكراراتها ونقفل المنحنى التكراري عند البداية وعند النهاية في مركز فئة تكرارها صفر: (12.5,0) ، (17.5,3) ، (22.5,4) ، (27.5,8) ، (32.5,9) ، (37.5,7) ، (42.5,4) ، (47.5,3) ، (52.5,2) ، (57.5,0). (c) نرسم مستطيلات ارتفاعاتها التكرارات 3, 4, 8, 9, 7, 4, 3, 2 ثم نصل منتصفات أضلاعها العليا. حاول (2): التوزيع التكراري لأطوال 30 طالبًا بالسنتيمتر: 155–: 4 · 160–: 6 · 165–: 11 · 170–: 5 · 175–: 3 · 180–: 1 (المجموع 30): (a) مراكز الفئات 157.5, 162.5, 167.5, 172.5, 177.5, 182.5 (b) ارسم المنحنى التكراري (c) ارسم المدرج التكراري. (حلّ نموذجي)

(a) لا يمكن التعرف على المادة الأفضل دون إجراء عمليات حسابية أو من خلال متوسط حسابي. (b) المتوسط الحسابي: أحياء 10.6 · رياضيات 10.8 · فيزياء 11 · كيمياء 11. (c) الانحراف المعياري (باستخدام الآلة الحاسبة): أحياء ≈ 1.02 · رياضيات ≈ 3.31 · فيزياء ≈ 4.90 · كيمياء ≈ 0.63. (d) المتوسطات متقاربة لكن الانحراف المعياري يختلف كثيرًا: درجات الكيمياء متقاربة (تشتت صغير) بينما درجات الفيزياء والرياضيات متباعدة (تشتت كبير). (حساب)

(a) مراكز الفئات: 12.5, 17.5, 22.5, 27.5, 32.5, 37.5, 42.5, 47.5, 52.5. x̄ = Σnᵢxᵢ/Σnᵢ = [(11×12.5)+(21×17.5)+(23×22.5)+(14×27.5)+…+(3×47.5)+(2×52.5)]/120 = 3360/120 = 28 دقيقة. (b) الجدول: (xᵢ−x̄)²: 240.25, 110.25, 30.25, 0.25, 20.25, 90.25, 210.25, 380.25, 600.25؛ nᵢ(xᵢ−x̄)²: 2642.75, 2315.25, 695.75, 3.5, 324, 1624.5, 2523, 1140.75, 1200.5؛ المجموع = 12470. التباين v = 12470/120 ≈ 103.916؛ الانحراف المعياري σ = √v ≈ 10.2. (c) بما أن المتوسط الحسابي x̄ = 28 min والانحراف المعياري σ ≈ 10.2 فهذا يدل على تشتت كبير لقيم البيانات عن المتوسط الحسابي. حاول (1): أسعار الأدوية بالدينار: 0–: 19 · 5–: 30 · 10–: 47 · 15–: 28 · 20–: 26 · 25–: 10 (المجموع 160): مراكز الفئات 2.5, 7.5, 12.5, 17.5, 22.5, 27.5 ← المتوسط الحسابي ≈ 13.81 ديناراً، التباين ≈ 49.53، الانحراف المعياري ≈ 7.04. (حساب)

المدى يقيس تشتت قيم البيانات؛ إذا كانت قيمة المدى صغيرة فنستطيع القول إن قيم البيانات قريبة من بعضها بعضًا ولكن إذا كانت قيمة المدى كبيرة فإن قيم البيانات بعيدة عن بعضها أو يوجد فيها قيم متطرفة. كما أن الانحراف المعياري يقيس مدى تشتت قيم البيانات بالمقارنة مع المتوسط الحسابي؛ فإذا كانت قيمة الانحراف المعياري صغيرة تكون قيم البيانات قريبة جدًّا من قيمة المتوسط الحسابي، أما إذا كانت قيمة الانحراف المعياري كبيرة فتكون قيم البيانات بعيدة عن قيمة المتوسط الحسابي. مثال: البيانات 14,15,16,17,18: المتوسط x̄ = 16 والانحراف المعياري σ₁ ≈ 1.414 (البيانات متجمعة حول المتوسط). والبيانات 3,9,17,23,28: المتوسط ȳ = 16 والانحراف المعياري σ₂ ≈ 9.077 (تبتعد عن المتوسط).

(a) x̄ = 350 ، σ = 110. (1) حوالي 68% من الأرباح تقع في الفترة [x̄−σ, x̄+σ] = [240, 460]. (2) حوالي 95% تقع في [x̄−2σ, x̄+2σ] = [130, 570]. (3) حوالي 99.7% تقع في [x̄−3σ, x̄+3σ] = [20, 680]. (b) نلاحظ أن المبلغ 690 دينارًا يقع خارج الفترة الأخيرة [20,680] والتي تناظر 99.7% من الأرباح لذلك من غير المتوقع أن تكون أرباح هذه الشركة قد وصلت إلى المبلغ 690 دينارًا. حاول (1): متوسط أرباح شركة تجارية 475 دينارًا بانحراف معياري 115: (a) 68% في [360,590] · 95% في [245,705] · 99.7% في [130,820]. (b) 750 دينارًا تقع خارج [245,705] وداخل [130,820] ← ممكن لكنه نادر (أقل من 2.5%). (حساب)

(a) (1) حوالي 68% من البطاريات عمرها يقع على الفترة [60−10, 60+10] = [50,70]. (2) حوالي 95% على الفترة [60−20, 60+20] = [40,80]. (3) حوالي 99.7% على الفترة [60−30, 60+30] = [30,90]. (b) بما أن المنحنى يقترب كثيرًا من التوزيع الطبيعي: 34% + 34% + 13.5% + 2.5% = 84% ← 84% من هذه البطاريات يزيد عمرها عن 50 شهرًا أي أن ما تعلنه الشركة صحيح. (c) المنحنى يبين أن 2.5% من هذه البطاريات يقل عمرها عن 40 شهرًا. حاول (2): مصنع مصابيح كهربائية: متوسط عمر المصباح 700 h بانحراف معياري 100 h: (a) 68% في [600,800] · 95% في [500,900] · 99.7% في [400,1000] (b) نسبة المصابيح التي يزيد عمرها عن 500 h = 100% − 2.5% = 97.5% (c) نسبة التي يقل عمرها عن 400 h ≈ 0.15%. (حساب)

للإجابة نستخدم القيمة المعيارية.

القيمة المعيارية للدرجة 16 في الرياضيات: z₁ = (16 − 13)/5 = 0.6. في الكيمياء: z₂ = (16 − 14)/4 = 0.5. ∵ 0.5 < 0.6 ∴ القيمة المعيارية للدرجة 16 في مادة الرياضيات أفضل من القيمة المعيارية للدرجة 16 في مادة الكيمياء؛ وبالتالي الدرجة 16 في مادة الرياضيات أفضل من الدرجة 16 في مادة الكيمياء. حاول (1): درجة 15 في الفيزياء (متوسط 14، σ = 3.8) وفي الكيمياء (متوسط 13، σ = 7.8): z الفيزياء = 1/3.8 ≈ 0.263 ؛ z الكيمياء = 2/7.8 ≈ 0.256 ← الدرجة في الفيزياء أفضل قليلًا. (حساب)

لتحديد المادة التي كانت فيها موضي أكثر تحصيلاً نحول الدرجات الفعلية إلى قيم معيارية. القيمة المعيارية للدرجة 64 في اللغة العربية: z₁ = (64−69)/8 = −0.625. القيمة المعيارية للدرجة 48 في الجغرافيا: z₂ = (48−56)/10 = −0.8. ∵ −0.625 > −0.8 ∴ القيمة المعيارية للطالبة في مادة اللغة العربية أفضل من أدائها في مادة الجغرافيا ← أداء موضي في اللغة العربية أفضل. حاول (2): خالد في المدينة A طوله 180 cm (متوسط أطوال الرجال 174 cm، σ = 12 cm): z = 6/12 = 0.5؛ صالح في المدينة B طوله 172 cm (المتوسط 165 cm، σ = 15 cm): z = 7/15 ≈ 0.467 ← طول خالد أفضل (أطول نسبيًّا) مقارنةً بالرجال في مدينته. (حساب)

(1) الرواتب الصغيرة (تكرارها 4 و13) في (b) أفضل من (a) لكن الرواتب الكبيرة (تكرارها 1) في (a) أفضل؛ فرواتب العاملين في (b) أفضل لكن رواتب الإداريين في (a) أفضل. (2) المتوسط الحسابي: (a) x̄ = 790 KD · (b) ȳ = 810 KD. (b) المتوسط الحسابي لرواتب (b) أفضل قليلًا من (a). (c) لا تكفي معرفة المتوسط الحسابي وحده عند المقارنة بين الرواتب لوجود قيم متطرفة في الجدولين. (3) الانحراف المعياري: (a) σ₁ ≈ 431.45 · (b) σ₂ ≈ 218.86 ← رواتب (b) أقل تشتتًا (تقارب من المتوسط الحسابي) والملاحظ أن σ₁ ≈ 2σ₂. مسألة إضافية: في أحد الاختبارات (النهاية العظمى 10 درجات) درجات مجموعتين: (a): 8,3,7,3,5,7,9,6,8,3,3,8,6,9 · (b): 6,7,3,5,6,6,8,4,7,9,6,7,5,6. (1) المتوسط الحسابي لكل مجموعة ≈ 6.07 (متساويان). (2) الانحراف المعياري σ₁ ≈ 2.22 للمجموعة (a) و σ₂ ≈ 1.49 للمجموعة (b) ← المجموعة (b) أقل تشتتًا. (حساب؛ عدد القيم 14 بحسب قراءة الصورة)