مذكرة الرياضيات – الصف الحادي عشر العلمي – الجزء الأول

الدروس: 1-1 الجذور والتعبيرات الجذرية · 1-2 الأسس النسبية · 1-3 حل المعادلات. مشروع الوحدة: معدل السرعة — التعرّف على قوانين كبلر الثلاثة (يوهانز كبلر 1609 و1618) وحساب مدار كوكب وسرعته وزمنه الدوري باستخدام آلة حاسبة علمية. أين أنت الآن: تعرّفت الأعداد الحقيقية والجذر التربيعي وحل المتباينات واستخدام الآلة الحاسبة لإيجاد الجذور التربيعية والقيمة المطلقة. ماذا سوف تتعلّم: ضرب الجذور التربيعية والتكعيبية وقسمتها · ضرب التعبيرات الجذرية وقسمتها · إيجاد المرافق واستخدامه · كتابة عدد حقيقي بالصورة الجذرية وبالصورة الأسّية · حل معادلات جذرية وأسّية. المصطلحات: الجذر التربيعي، التكعيبي، النوني، المرافق، دليل الجذر، المجذور، المعادلة الجذرية والأسّية، الصورة الجذرية والأسّية.

الأعداد الطبيعية N (الكلية Whole Numbers) · الأعداد الصحيحة Z (Integers) · الأعداد النسبية Q (Rational) · الأعداد غير النسبية Q̄ (Irrational) · الأعداد الحقيقية R (Real). الرموز: ∀ «لكلّ»، ∃/: «حيث»، ∈ «ينتمي إلى». قوانين الأسس (n, m ∈ Z): a^m·aⁿ = a^m+n · a^m/aⁿ = a^m−n · (a^m)ⁿ = a^mn · (ab)^m = a^mb^m · (a/b)^m = a^m/b^m · a⁰ = 1 (a ≠ 0).

سوف تتعلّم: كتابة عدد حقيقي في الصورة الجذرية والأسّية · تحويل من الصورة الجذرية إلى الأسّية وبالعكس · الجذر النوني · خواص الجذور · ضرب الجذور وقسمتها. من x³·x³ = x⁶ نستنتج أن x³ جذر تربيعي لـ x⁶؛ وكذلك x²·x² = x⁴؛ x⁻¹·x⁻¹ = x⁻². وبما أن √x هو الجذر التربيعي الأساسي للعدد x الموجب: x = √x·√x ، أي x^□·x^□ = x¹ ← □ + □ = 1 ← □ = 1/2 ، أي √x = x^(1/2). وهكذا يمكن كتابة أي تعبير جذري باستخدام الأس النسبي.

حل معادلات جذرية وحل معادلات أسّية. مصطلحات: معادلة جذرية Radical Equation، معادلة أسّية Exponential Equation، كثيرة حدود من الدرجة الثانية Quadratic Polynomial. تمهيد: ليكن a = √(7+4√3): (2+√3)² = 7+4√3 فـ a = 2+√3 ؛ ومنه حل المعادلة x² = 7+4√3 هو x = ±(2+√3)؛ وكذلك y² = 7−4√3 ← ±(2−√3)؛ و(√7−√5)² = 12−2√35 فحل x² = 12−2√35 هو x = ±(√7−√5).

الاستراتيجية: إيجاد حجم المكعب، إيجاد حجم الكرة، ثم إيجاد نسبة حجم الكرة إلى حجم المكعب. الخطوة الأولى — حجم المكعب: V = x³.

الدروس: 2-1 مجال الدالة · 2-2 الدوال التربيعية ونمذجتها · 2-3 الدوال التربيعية والقطوع المكافئة · 2-4 مقارنة بين صورة المعادلة التربيعية بدلالة إحداثيات رأس المنحنى والصورة العامة · 2-5 المعكوسات ودوال الجذر التربيعي · 2-6 حل المتباينات. مشروع الوحدة: رياضة القوس والنشاب (السهم قطره الأقصى 9.3 mm؛ حلقات ملوّنة من الداخل: أصفر، أحمر، أزرق، أسود وأبيض بنقاط من 10 إلى 1؛ الحلقة الصفراء الرامي نقاط 10)، ونمذجة مسار السهم بدالة تربيعية. ماذا سوف تتعلّم: الدوال التربيعية واستخداماتها · نمذجة البيانات · إيجاد أوسع مجال للدوال الحدودية والنسبية والجذرية · إيجاد القيم الصغرى والعظمى لدالة تربيعية · رسم القطع المكافئ بدلالة إحداثيات رأسه · إيجاد رأس المنحنى من الدالة المكتوبة في الصورة العامة · كتابة المعادلات التربيعية بدلالة إحداثيات الرأس وفي الصورة العامة · إيجاد معكوس الدالة الخطية والدالة التربيعية · استخدام دوال الجذر التربيعي لتمثيل مواقف حياتية · حل متباينات تتضمن حدوديات من الدرجة الثانية في متغير واحد أو حدوديات نسبية. المصطلحات الأساسية:

سوف تتعلّم: الدوال التربيعية واستخداماتها · تقدير ما تستخدمه الدالة من نموذج خطي. المفردات: الدوال التربيعية Quadratic Functions · الصورة العامة General Form · حد من الدرجة الثانية Quadratic Term · حد مطلق (ثابت) Constant Term · دالة خطية Linear Function · مجال الدالة Domain of the Function. العمل التعاوني: ثقب في أسفل زجاجة بلاستيكية، ملؤها بالماء، وقياس مستوى الماء كل 10 s؛ ثم تمثيل البيانات (الزمن بالثواني ومستوى الماء بالملّيمتر) في جدول وبيانيًّا وتحديد أي منحنى يلائم البيانات أكثر (خطي أم تربيعي).

سوف تتعلّم: إيجاد القيمة الصغرى أو القيمة العظمى لدالة تربيعية · إيجاد معادلة محور التماثل · إيجاد معادلة القطع المكافئ بدلالة إحداثيات الرأس · رسم القطع المكافئ بدلالة إحداثيات رأسه. المفردات: قطع مكافئ Parabola · رأس القطع المكافئ Vertex of the Parabola · محور التماثل Axis of Symmetry. عمل تعاوني: عند قذف كرة في الهواء يكون مسارها على شكل قطع مكافئ؛ مثال y = −0.35x² + 50: القيمة العظمى y = 50 عند x = 0.

سوف تتعلّم: إيجاد رأس منحنى الدالة من الصورة العامة · كتابة المعادلات التربيعية بدلالة إحداثيات الرأس وفي الصورة العامة. المفردات: رأس القطع المكافئ Vertex of a Parabola · الصورة العامة General Form. في العمل التعاوني تُقارن أزواج المعادلات: (1) y = x²−4x+4 و y = (x−2)² ← a=1, b=−4, h=2 · (2) y = x²+6x+8 و y = (x+3)²−1 ← a=1, b=6, h=−3 · (3) y = −3x²−12x−8 و y = −3(x+2)²+4 ← a=−3, b=−12, h=−2 · (4) y = 2x²+12x+19 و y = 2(x+3)²+1 ← a=2, b=12, h=−3. يُلاحَظ أن بيان كل زوج واحد (المعادلتان متكافئتان)،…

سوف تتعلّم: إيجاد معكوس الدالة · استخدام دوال الجذر التربيعي. المفردات: المعكوس Inverse · معكوس دالة Inverse of a Function · دوال الجذر التربيعي Square Root Functions. في العمل التعاوني: طول قطعة جليد L = 11d − 0.5 حيث d قطر المقطع الدائري: (a) إذا d = 5 فإن L = 54.5 cm؛ (2) لإيجاد قطر أكبر مقطع لجليد طوله 27 cm نعكس الخطوات: d = (L + 0.5)/11 = 27.5/11 = 2.5 cm. تسمى الدالة التي تعكس ما تفعله دالة أخرى معكوس الدالة. نشاط: f(x) = 2x − 8 و g(x) = (x+8)/2: f(6) = 4 و g(4) = 6 — كل منهما تعكس عمليات الأخرى؛ لذلك تسمى g معكوس f أو f معكوس g. بيانا f, g متناظران حول المستقيم y = x.

سوف تتعلّم: حل متباينات من الدرجة الثانية في متغيّر واحد · حل متباينات تتضمّن حدوديات نسبية في متغيّر واحد · إيجاد مجال دالة جذرية. المفردات: متباينة Inequality · حدوديات نسبية Rational Expressions · متباينة من الدرجة الثانية Quadratic Inequality. من الرسم f(x) = −x²+6x−5 (قطع مكافئ رأسه (3,4)): f(x) = 0 عند x = 1 و x = 5؛ f(x) > 0 لـ 1 < x < 5؛ f(x) < 0 لـ x < 1 أو x > 5. وللدالة f(x) = (x−3)/(x−2): تساوي صفرًا عند x = 3 وغير معرّفة عند x = 2. ويمكن أن نعبّر عن اتحاد المجموعتين (−∞,1) ∪ (5,∞) بصورة أخرى هي R∖[1,5].

(x²−5x+3)/(x+4) − 3 < 0 ← (x²−5x+3−3x−12)/(x+4) < 0 (مقام مشترك) ← (x²−8x−9)/(x+4) < 0 ← (x+1)(x−9)/(x+4) < 0. أصفار البسط: x = −1 أو 9؛ أصفار المقام: x = −4. من جدول الإشارات: مجموعة حل المتباينة = (−∞,−4) ∪ (−1, 9). تذكّر: من المهم جدًّا تحديد أصفار المقام قبل الاختصار. حاول (6): (x²+5x)/(x+3) > −2 ← (x+1)(x+6)/(x+3) > 0 ← (−6,−3) ∪ (−1,∞). (حلّ نموذجي)

دالة على الصورة y = axⁿ حيث a ≠ 0 و n ∈ Z⁺ (عدد صحيح موجب). مثل y = x⁴ ، w = 0.014c³. يمكن كتابتها أيضًا f(x) = axⁿ.

باستخدام جدول القيم: x² < x⁴ عندما |x| > 1، وx² > x⁴ عندما 0 < |x| < 1 (يتساويان عند x = 0 وx = ±1). الحل البياني لـ x⁶ < x⁴ يتوافق مع x² < x⁴ (في المدى |x|<1 يكون x⁶ < x⁴).

لمحيط 20 cm: w = 0.014(20)³ = 0.014×8000 = 112 g. حاول (1):

دالة على الصورة P(x) = aₙxⁿ + aₙ₋₁xⁿ⁻¹ + … + a₁x + a₀ حيث n عدد صحيح غير سالب وaₙ, aₙ₋₁, …, a₀ أعداد حقيقية. مثال: P(x) = 2x³ − 5x² − 2x − 5.

من المفيد أحيانًا التعامل مع كثيرات الحدود في صورة عوامل. مثلاً عوامل x³−2x²−5x+6 هي (x−1)، (x+2)، (x−3). والعلاقة: كل ثابت من حدود كثيرة الحدود له علاقة بالعوامل (الحد الثابت 6 هو حاصل ضرب 1×(−2)×(−3)... ). عند تحليل كثيرة الحدود إلى عوامل خطية لا يمكن القيام بتحليلات أخرى. معلومة: العوامل الصحيحة الممكنة للعدد 6 هي ±1, ±2, ±3, ±6. المفردات: القيمة العظمى (Maximum Value) · عوامل دالة حدودية · أصفار دالة حدودية · نظرية العامل.

(a) x²÷x = x → نضرب x(x+4) = x²+4x ونطرح فيبقى 2x+8 → 2x÷x = 2 → 2(x+4)=2x+8 → الباقي 0. ناتج القسمة (x+2) والباقي صفر. التحقق: (x+2)(x+4) = x²+6x+8 ✓. (b) x²÷x = x → x(x−2) =…

(a) إذا كان أحد أبعاده (x+4): القسمة التركيبية بالصفر −4: 1, 0,…

(a) بتمثيل الدالتين بيانيًّا توجد 3 نقاط تقاطع إحداثياتها السينية −3, −1, 1 ← حلول المعادلة x³+3x² = x+3 هي x=−3, x=−1, x=1 ← مجموعة الحل {−3, −1, 1}. (b) بيان f(x) = x³+3x²−x−3 يقطع محور السينات في الأصفار نفسها فتكون مجموعة حل x³+3x²−x−3 = 0 هي نفسها. (c) المقارنة: الحلان واحد لأن المعادلتين متكافئتان.

من الشكل: العمق والارتفاع متساويان (x) وطول القالب 4x. الطول المتبقي = 4x − 2. حجم المتبقي = الطول × العرض × الارتفاع: 224 = (4x−2)(x)(x) = 4x³ − 2x² (معادلة تكعيبية). باستخدام الآلة البيانية: y₁ = 4x³−2x² ،…

علماء الآثار يدرسون إنجازات الحضارات القديمة (مثل المومياوات المصرية المحفوظة منذ نحو 3400 سنة ق.م). الهدف: التعرف على طرائق مختلفة لتحديد عمر قطعة أثرية؛ اللوازم: آلة حاسبة علمية. إحدى طرائق تأريخ الإبداعات الإنسانية

عدد الفرق المتبقية بعد كل دور: الدور 0: 64 ← 1: 32 ← 2: 16 ← 3: 8 ← 4: 4 ← 5: 2 ← 6: 1. يجب لعب 6 أدوار حتى يبقى فريق واحد. العلاقة y = 64(½)ˣ ؛ الرسم البياني ليس…

(a) b = ⅓ ∈ (0,1) ← تضاؤل أسي، عامل التضاؤل ⅓. (b) b = 0.1 ∈ (0,1) ← تضاؤل أسي، عامل التضاؤل 0.1. (حساب)

(a) عامل النمو على فترة ساعة b = 2؛ على نصف ساعة √2 ≈ 1.414؛ وعلى ربع ساعة ⁴√2 ≈ 1.189. (b) f(t) = 2ᵗ: t=0: 1 · 1: 2 · 2: 4 · 3: 8 · 4: 16 (والقيم بينها تقريبية). (c) الرسم يمثل نمو البكتيريا. (d) g(t) = 2ᵗ وf(t) = 2ᵗ متطابقتان. (حساب)

نصف العمر هو الوقت الذي تستغرقه المادة المشعة لتضاؤل أو لتحلل نصفها. (a) الجدول: عدد…

y = 1, 10, 100, 1000, 10⁴, 10⁵, 10⁶, 10⁷. لكل زيادة بمقدار وحدة في x تتضاعف y عشر مرات (تُضرب في 10). وإذا زادت x بمقدار d فإن y تُضرب في 10^d (مثلاً 0.5 ← ×3.16 ، 1.5 ← ×31.6 تقريبًا). (حساب)

باستخدام الآلة الحاسبة: log 3 + log 5 = log(3×5) = log 15 · log 1 + log 6 = log 6 · log 10 + log 2 = log 20. التعميم: log(m×n) = log m + log n. وبالمثل log(m/n) = log m − log n وlog mᵏ = k log m (مثلاً log 1000 = log 10³ = 3). وبتمثيل y = log x³ و y = 3 log x نلاحظ تطابق البيانين (لـ x > 0)، وكذلك y = log x⁻¹ و y = (−1) log x.

(1) فيل كبير k = 0.421 و F = 145 kg: 145 = 0.421 w^2/3 ← w^2/3 ≈ 344.4 (2) w = (344.4)^3/2 ≈ 6392 kg (3) لحل المعادلة نرفع الطرفين للقوة 3/2. (b) الحصان العربي 400 kg يأكل 15 kg يوميًّا: k = 15/400^2/3 ≈ 0.276. (حساب)

نأخذ لوغاريتم كل من الطرفين: log 7^3x

e ≈ 2.71828 (من الدرس 4-2) ويمكن استخدامه كأساس؛ الدالة y = log_e x هي معكوس y = eˣ وتسمى دالة اللوغاريتم الطبيعي ورمزها y = ln x وتقرأ «y تساوي ln x». بيانا y = eˣ وy = ln x متماثلان حول المستقيم y = x. باستخدام الآلة الحاسبة (مفتاح ln): ln 5, ln 3, ln 15, ln 5 + ln 3 ← ln 15 = ln 5 + ln 3؛ ln 1 = 0 ، ln e = 1 ، ln e² = 2. تطبق خواص اللوغاريتمات المعتادة على اللوغاريتم الطبيعي أيضًا.

x عدد السنوات بعد 2000، y عدد المشتركين، P عدد المشتركين عام 2000، m معدل التزايد السنوي: y = Pe^mx. (a) نعوض (11, 2260) وP = 360: 2260 = 360e^11m ← ln(2260/360) = 11m ←

استخدم الفيزيائيون والمهندسون المتجهات خاصة في النصف الثاني من القرن التاسع عشر وبداية القرن العشرين؛ فالمتجهات هي قوى وانتقالات وسرعات وحقول كهربائية ومغناطيسية. الهدف:

الانسحاب الذي يحوّل A إلى B ثم B إلى C يحوّل أيضًا E إلى F وF إلى G (انسحاب بالطول والاتجاه نفسيهما)؛ وتُحدَّد ثلاثة متوازيات أضلاع في الشكل. الانسحاب يتحدد بمقدار واتجاه ← هذا هو المتجه.

أكمل رسم متوازي الأضلاع AMBC ثم ارسم MC؛ المتجه MC هو محصلة القوتين (قطر متوازي الأضلاع). إذا تغيّر قياس الزاوية AMB تتغير المحصلة ‖MC‖ (تكبر عندما تصغر الزاوية). إذا تغيّر طول MB تتغير المحصلة أيضًا.

(a) أوجد ‖OA‖ ، ‖OB‖. (b) استخدم المنقلة لإيجاد قياس الزاوية θ بين المتجهين ⟨OA⟩ ، ⟨OB⟩. (c) باستخدام الآلة الحاسبة أوجد ‖OA‖×‖OB‖×cos θ. (d) نسقط العمود OH من A على OB؛ مسقط OA على OB هو OH. (e) أوجد ‖OB‖×‖OH‖ وقارنها بما حصلت عليه في (c): القيمتان متساويتان (الضرب الداخلي = ‖OB‖ × طول مسقط OA على OB).

سأستخدم الضرب الداخلي؛ بما أنه لا توجد خاصية واحدة تسمى بمعرفة قياس الزاوية فسأستخدم خاصيتين معًا. أولاً: التحضير (بعد مطابقة فيثاغورث): (LB₁)² = 20² + 10² = 500 ← LB₁ ≈ 22.36 m ؛ (LB₂)² = 20² + (10+7.32)² ≈ 700 ← LB₂ ≈ 26.46 m.

أظهرت الإحصاءات أن من أكثر المشاكل التي تواجه الأشخاص في تنقلاتهم يوميًّا هي زحمة السير الخانقة على الطرقات؛ ولا زالت الدراسات تركّز على كيفية إيجاد وسائل نقل أسرع وأكثر أمانًا وأقل تكلفة. الهدف:

(1) حدد مع زملائك عدد الأشخاص الذين سوف تستطلع آراءهم. (2) ما هي المعايير التي يجب اتباعها في هذا الاستطلاع لتحديد أفضل لاعب؟ (3) ما الطرائق التي يجب اتباعها في إجراء هذا الاستطلاع؟ — أسئلة نقاش مفتوحة.

يجب أن يكون الاختيار عشوائيًّا لتفادي التحيز، وأن يمثل كل فئة بنسبة حجمها (عينة طبقية) — وهذا ما يشرحه الدرس.

(1) نسبة الطلاب الذين أطوال قاماتهم أقل من 170 cm = (2+8+6+8)/50 = 24/50 = 48%. (2) نسبة الذين أطوالهم 170 cm فأكثر = (13+7+6)/50 = 26/50 = 52%. (حساب)

(a) لا يمكن التعرف على المادة الأفضل دون إجراء عمليات حسابية أو من خلال متوسط حسابي. (b) المتوسط…

المدى يقيس تشتت قيم البيانات؛ إذا كانت قيمة المدى صغيرة فنستطيع القول إن قيم البيانات قريبة من بعضها بعضًا ولكن إذا كانت قيمة المدى كبيرة فإن قيم البيانات بعيدة عن بعضها أو يوجد فيها قيم متطرفة. كما أن الانحراف المعياري يقيس مدى تشتت قيم البيانات بالمقارنة مع المتوسط الحسابي؛ فإذا كانت قيمة الانحراف المعياري صغيرة تكون قيم البيانات قريبة جدًّا من قيمة المتوسط الحسابي، أما إذا كانت قيمة الانحراف المعياري كبيرة فتكون قيم البيانات بعيدة عن قيمة المتوسط الحسابي. مثال: البيانات 14,15,16,17,18: المتوسط x̄ = 16 والانحراف…

للإجابة نستخدم القيمة المعيارية.