اضغط «إظهار الإجابة» تحت كل سؤال للتحقق من إجابتك، ثم جرّب «اختبر نفسك» في النهاية.
١
الوحدة الأولى: الأعداد الحقيقية
الرياضيات · صفحات 10–35مدخل الوحدة (مشروع الوحدة وما سنتعلمه)
ما مشروع الوحدة الأولى؟ وما هدفه؟
إظهار الإجابة
المشروع: العلاقة بين الهندسة والأعداد الحقيقية. أثناء العمل نرسم مثلثات قائمة الزاوية بمعلومية طول كل من ضلعي الزاوية القائمة، ثم نطبق قانون فيثاغورث لإيجاد طول الوتر. الهدف: إيجاد قيمة √٢ ، √٣ ، √٥ … دون استخدام الآلة الحاسبة. اللوازم: مسطرة، فرجار، زاوية قائمة.
أسئلة حول التطبيق في مشروع الوحدة.
إظهار الإجابة
أ) ارسم مثلثًا قائم الزاوية متطابق الضلعين طول كل من ضلعي زاويته القائمة ١ سم، وأوجد طول الوتر بتطبيق قانون فيثاغورث ثم باستخدام المسطرة: الوتر = √٢ . ب) ارسم مثلثًا قائم الزاوية طول ضلعيه ١ سم، √٢ سم، ثم أوجد الوتر بفيثاغورث وبالمسطرة: الوتر = √٣ . ج) بالطريقة نفسها أوجد √٤ ، √٥ … ثم اكتب تقريرًا مفصلًا يبين كيف استخدمت الهندسة لإيجاد قيمة تقريبية لـ √٢ و √٣ … وألصق الأشكال التي رسمتها. (حلّ نموذجي: الوتر في المثلث الأول = √(١²+١²) = √٢ ≈ ١٫٤ سم، ثم √((√٢)²+١²) = √٣ ≈ ١٫٧ سم.)
ما المعارف السابقة وما الذي سنتعلمه في الوحدة؟ وما المصطلحات الأساسية؟
إظهار الإجابة
المعارف السابقة: تعرّفت الأعداد الحقيقية، والجذور التربيعية، واستخدمت الآلة الحاسبة لإيجاد الجذور التربيعية. سوف تتعلم: الجذور والتعبيرات الجذرية · تبسيط التعبيرات الجذرية · جمع وطرح التعبيرات الجذرية · ضرب وقسمة التعبيرات الجذرية · إيجاد المرافق واستخدامه · كتابة عدد حقيقي بالصورة الجذرية · كتابة عدد حقيقي بالصورة الأسية. المصطلحات: الجذر التربيعي · الجذر التكعيبي · الجذر النوني · المرافق · دليل الجذر · الصورة الجذرية · المجذور · الصورة الأسية.
١-١ الجذور والتعبيرات الجذرية والعمليات عليها (سوف تتعلم: الجذور التربيعية والتكعيبية · جمع وطرح التعبيرات الجذرية · ضرب وقسمة التعبيرات الجذرية · استخدام المرافق · كسر بصورة عدد نسبي)
دعنا نفكر وننتاقش: (١) مساحة مربع طول ضلعه ٤ أمتار؟ (٢) مساحة مربع ٦٤ مترًا مربعًا، فما طول ضلعه؟ (٣) استخدم الآلة الحاسبة لإيجاد طول ضلع مربع مساحته ٧٢ مترًا مربعًا؟ (٤) ما حجم مكعب إذا كان طول ضلعه ٥ أمتار؟ (٥) ما طول ضلع مكعب إذا كان حجمه يساوي ٢٧ مترًا مكعبًا؟
إظهار الإجابة
١) ٤ × ٤ = ١٦ متر مربع. ٢) ٨ أمتار (لأن ٨ × ٨ = ٦٤). ٣) √٧٢ ≈ ٨٫٤٩ مترًا. ٤) ٥ × ٥ × ٥ = ١٢٥ مترًا مكعبًا. ٥) ٣ أمتار (لأن ٣ × ٣ × ٣ = ٢٧).
(١-١-أ) الجذور والتعبيرات الجذرية
ما الجذران التربيعيان للعدد ٢٥؟ وما الجذر التكعيبي للعدد ١٢٥ وللعدد −١٢٥؟
إظهار الإجابة
بما أن ٥² = ٢٥ و(−٥)² = ٢٥ فإن العددين ٥ و−٥ هما الجذران التربيعيان للعدد ٢٥. وبما أن ٥³ = ١٢٥ فإن العدد (+٥) هو الجذر التكعيبي للعدد (+١٢٥). وأيضًا (−٥)³ = −١٢٥ فإن (−٥) هو الجذر التكعيبي للعدد (−١٢٥).
ما الجذر التكعيبي؟ وما المقصود بدليل الجذر والمجذور؟
إظهار الإجابة
إذا كان أ = ب³ فإن ب = ∛أ هو الجذر التكعيبي للعدد أ؛ ب هو الجذر، ٣ هو دليل الجذر، وأ هو المجذور. ولكل عدد حقيقي س: ∛(س³) = س ، (∛س)³ = س.
مثال (١): أوجد الجذر التكعيبي لكل عدد مما يلي: (أ) −٨ (ب) ١٢٥. حاول أن تحل: (أ) −٢٧ (ب) ٦٤.
إظهار الإجابة
الحل: (أ) الجذر التكعيبي للعدد (−٨) هو ∛(−٨) = ∛((−٢)³) = −٢ ؛ أي نكتب (−٨) على صورة مكعب كامل. (ب) الجذر التكعيبي للعدد ١٢٥ هو ∛١٢٥ = ∛(٥³) = ٥. حاول أن تحل: (أ) ∛(−٢٧) = −٣ (ب) ∛٦٤ = ٤.
(١-١-ب) تبسيط التعبيرات الجذرية
متى يكون التعبير الجذري في أبسط صورة؟
إظهار الإجابة
يكون التعبير الجذري في أبسط صورة عندما: ■ لا يكون للمجذور عوامل مرفوعة لقوة أكبر من أو تساوي دليل الجذر. ■ لا يوجد جذر في المقام. ■ لا يكون المجذور كسرًا. ■ يكون دليل الجذر أصغر عدد صحيح موجب ممكن؛ فمثلًا ¹²√٦٤ ليس في أبسط صورة، لأن ¹²√٦٤ = ¹²√٢⁶ = ²√٢ = √٢ .
مثال (٢): بسّط التعبيرات الجذرية: (أ) √(٤س⁶) (ب) ∛(٨س³) (ج) √(١٦س⁴ص⁶).
إظهار الإجابة
(أ) √(٤س⁶) = √(٢²(س³)²) = |٢س³| = ٢|س³| = ٢س²|س| (نكتب ٤س⁶ على صورة مربعات كاملة، و√(س²) = |س|). (ب) ∛(٨س³) = ∛((٢س)³) = ٢س (نكتب ٨س³ على صورة مكعبات كاملة، و∛(س³) = س). (ج) √(١٦س⁴ص⁶) = √((٤س²ص³)²) = |٤س²ص³| = ٤س²|ص³| = ٤س²ص²|ص|. حاول أن تحل (٢): (أ) √(٩س²ص⁴) = ٣|س|ص² (ب) ∛(−٢٧س⁶) = −٣س² (ج) √(س⁸ص⁶) = س⁴|ص³| = س⁴ص²|ص|.
(١-١-ج) جمع وطرح التعبيرات الجذرية
كيف نعرف أن التعبيرين الجذريين متشابهان؟
إظهار الإجابة
يجب وضع التعبيرات الجذرية في أبسط صورة مما يسمح لنا بمعرفة ما إذا كانت متشابهة أم لا. لاحظ أن: ٥∛٣ ، ٢∛٣ تعبيران جذريان متشابهان · ٨√س ، −٣√س (س ≥ ٠) تعبيران جذريان متشابهان · √٢٧ ، √١٢ تعبيران جذريان متشابهان (لماذا؟ لأن √٢٧ = ٣√٣ و√١٢ = ٢√٣). في حين أن: ٣√٥ ، ٣∛٥ تعبيران جذريان غير متشابهين (لاختلاف الدليل) · ٨√س ، −٣√ص (س ≥ ٠، ص ≥ ٠) غير متشابهين (لاختلاف المجذور). تذكر: نتعامل مع التعبيرات الجذرية المتشابهة مثل تعاملنا مع الحدود الجبرية المتشابهة.
مثال (٣): أوجد الناتج في أبسط صورة: (أ) ٣√٥ + ٤√٥ (ب) √٢٧ + ٣√١٢ − √٧٥. حاول أن تحل (٣): (أ) √٥ + √٢٠ (ب) √٤٨ − √٥٠ − √٨.
إظهار الإجابة
(أ) √٥(٣ + ٤) = ٧√٥ (اجمع). (ب) √٢٧ + ٣√١٢ − √٧٥ = √(٣²×٣) + ٣√(٢²×٣) − √(٥²×٣) (اكتب على صورة مربعات كاملة) = ٣√٣ + ٦√٣ − ٥√٣ = ٤√٣. حاول أن تحل: (أ) √٥ + ٢√٥ = ٣√٥ (ب) (حلّ نموذجي) √٤٨ − √٥٠ − √٨ = ٤√٣ − ٥√٢ − ٢√٢ = ٤√٣ − ٧√٢ (الحدود غير متشابهة فلا تُجمع).
مثال (٤): أوجد الناتج في أبسط صورة: (أ) ٢∛٣ + ٥∛٣٧٥ (ب) ٣√٣٢ − √٩٨ (ج) √١٨ − √٥٠ + √٧٢ (د) ∛١٢٨ + ∛٥٤ − ٢∛٢٥٠.
إظهار الإجابة
(أ) ٢∛٣ + ٥∛(٣×١٢٥) (اكتب ١٢٥ على صورة مكعب كامل) = ٢∛٣ + ٥×٥∛٣ = ٢∛٣ + ٢٥∛٣ = ٢٧∛٣. (ب) ٣√(١٦×٢) − √(٤٩×٢) = ٣×٤√٢ − ٧√٢ = ١٢√٢ − ٧√٢ = ٥√٢. (ج) √(٩×٢) − √(٢٥×٢) + √(٣٦×٢) = ٣√٢ − ٥√٢ + ٦√٢ = ٤√٢. (د) ∛(٦٤×٢) + ∛(٢٧×٢) − ٢∛(١٢٥×٢) = ٤∛٢ + ٣∛٢ − ١٠∛٢ = −٣∛٢.
حاول أن تحل (٤): أوجد الناتج في أبسط صورة: (أ) ٤∛٨ + ٢∛٦٤ (ب) ٢√٧٥ − √٢٧ (ج) √١٢ + √١٤٧ − √١٠٨ (د) ∛٣٢٠ − ∛٤٠ − ∛١٣٥.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) (أ) ٤×٢ + ٢×٤ = ١٦ (ب) ١٠√٣ − ٣√٣ = ٧√٣ (ج) ٢√٣ + ٧√٣ − ٦√٣ = ٣√٣ (د) ٤∛٥ − ٢∛٥ − ٣∛٥ = −∛٥.
(١-١-د) ضرب وقسمة التعبيرات الجذرية
مثال (٥): بسّط كلًّا من التعبيرين الجذريين: (أ) √(٧٢س³) حيث س ≥ ٠ (ب) ∛(٨٠ن⁵).
إظهار الإجابة
(أ) √(٧٢س³) = √(٦²×٢×س²×س) = ٦|س|√(٢س) = ٦س√(٢س) (لأن |س| = س إذا كان س ≥ ٠). (ب) ∛(٨٠ن⁵) = ∛(٢³×١٠×ن³×ن²) = ٢ن∛(١٠ن²) (لأن ∛(س³) = س لكل عدد حقيقي س).
حاول أن تحل (٥): بسّط: (أ) √(٥٠س⁴) (ب) ∛(١٨س³).
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) (أ) √(٢٥×٢×س⁴) = ٥س²√٢ (ب) س∛١٨.
مثال (٦): اضرب ثم بسّط: (أ) √٢ × √٨ (ب) ∛(٥س³ص⁴) × ∛(٥٤س²ص³).
إظهار الإجابة
(أ) √٢ × √٨ = √(٢×٨) = √١٦ = ٤ (اضرب ثم بسّط). (ب) ∛(٥س³ص⁴ × ٥٤س²ص³) = ∛(٥×٢×٣³×س⁵×ص⁷) = ∛(١٠×٣³×س³×(ص²)³×س²×ص) = ٣س ص²∛(١٠س²ص). (باستخدام ∛س × ∛ص = ∛(س×ص)). حاول أن تحل (٦): اضرب ثم بسّط تعبيرين جذريين من النوع نفسه (س ≥ ٠) · (ب) √(٤س⁴ص) × √(٥س ص).
مثال (٧): اقسم ثم بسّط: (أ) ∛٣٢ / ∛(−٤) (ب) ∛(١٦٢س⁵) / ∛(٣س²) ، س ≠ ٠ (ج) √(٢٥٦س³) / √(٣٢س) ، س > ٠.
إظهار الإجابة
(أ) ∛(٣٢/−٤) = ∛(−٨) = ∛((−٢)³) = −٢ (اقسم ثم اكتب −٨ على صورة مكعب كامل). (ب) ∛(١٦٢س⁵ / ٣س²) = ∛(٥٤س³) = ∛(٢×٣³×س³) = ٣س∛٢. (ج) √(٢٥٦س³ / ٣٢س) = √(٨س²) = √(٢×(٢س)²) = |٢س|√٢ = ٢|س|√٢ = ٢س√٢ حيث س > ٠.
حاول أن تحل (٧): اقسم ثم بسّط: (أ) √٢٤٣ / √٢٧ (ب) √(١٢س⁴) / √(٣س) ، س > ٠ (ج) ∛(١٢٨س¹⁵) / ∛(٢س²) ، س ≠ ٠.
إظهار الإجابة
(أ) √(٢٤٣/٢٧) = √٩ = ٣. (ب) √(٤س³) = ٢س√س. (ج) ∛(٦٤س¹³) = ٤س⁴∛س.
مثال (٨): بسّط: (أ) (٤ + √٣)² (ب) (٤ + √٣)(٤ − √٣) (ج) (٦ + √٣)(٢ − √٢).
إظهار الإجابة
(أ) (أ + ب)² = أ² + ٢أب + ب² ⇒ (٤ + √٣)² = ١٦ + ٨√٣ + ٣ = ١٩ + ٨√٣ (جمع الحدود المتشابهة). (ب) (أ + ب)(أ − ب) = أ² − ب² ⇒ ١٦ − ٣ = ١٣. (ج) (٦ + √٣)(٢ − √٢) = ١٢ − ٦√٢ + ٢√٣ − √٦.
حاول أن تحل (٨): بسّط: (أ) (٥ − √٣)² (ب) (٧ + √٥)(٣ − √٢) (ج) (٦ − √٥)(٦ + √٥).
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) (أ) ٢٥ − ١٠√٣ + ٣ = ٢٨ − ١٠√٣ (ب) ٢١ − ٧√٢ + ٣√٥ − √١٠ (ج) ٣٦ − ٥ = ٣١.
(١-١-هـ) المرافق واستخدامه
ما المرافق؟ أعطِ أمثلة.
إظهار الإجابة
√٢ يسمى مرافق لـ √٢ ، لأن √٢ × √٢ = ٢ (عدد نسبي). ٣ + √٢ يسمى مرافق لـ ٣ − √٢ ، لأن (٣ + √٢)(٣ − √٢) = ٩ − ٢ = ٧ (عدد نسبي). ∛٢٥ يسمى مرافق لـ ∛٥ ، لأن ∛٥ × ∛٢٥ = ∛١٢٥ = ٥ (عدد نسبي).
كيف نعيد كتابة كسر مقامه جذر بحيث يصبح المقام عددًا نسبيًا؟
إظهار الإجابة
يمكن إعادة كتابة كسر يحوي مقامه جذورًا تربيعية أو جذورًا تكعيبية بصورة كسر مقامه عدد نسبي، وذلك بضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام.
مثال (٩): اختصر كلًّا مما يلي بحيث يكون المقام عددًا نسبيًا: (أ) (١ + √٢) / √٣ (ب) (√٢ − ١) / (٣ − √٢).
إظهار الإجابة
(أ) نضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام (√٣): (١ + √٢)/√٣ × √٣/√٣ = (√٣ + √٦)/(√٣)² (خاصية التوزيع) = (√٣ + √٦)/٣ (بسّط، المقام عدد صحيح). (ب) نضرب في مرافق المقام (٣ + √٢): (√٢ − ١)(٣ + √٢)/((٣ − √٢)(٣ + √٢)) ، (أ − ب)(أ + ب) = أ² − ب² ⇒ = (٣√٢ + ٢ − ٣ − √٢)/(٩ − ٢) = (٢√٢ − ١)/٧.
حاول أن تحل (٩): اختصر بحيث يكون المقام عددًا نسبيًا: (أ) (√٣ + √٢) / √٣ (ب) (٣ − √٢) / (٢ − √٢).
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) (أ) (٣ + √٦)/٣ (ب) (٣ − √٢)(٢ + √٢)/(٤ − ٢) = (٦ + ٣√٢ − ٢√٢ − ٢)/٢ = (٤ + √٢)/٢.
مثال (١٠) ربط بالحياة: قانون أينشتاين ط = ك × س² يربط بين الطاقة ط والكتلة ك وسرعة الضوء س. (أ) أوجد قيمة س بدلالة ط، ك. (ب) أعد كتابة إجابتك في (أ) بحيث يكون المقام خاليًا من الجذور.
إظهار الإجابة
(أ) ط = ك × س² ⇒ (اقسم طرفي المعادلة على ك؛ ك ≠ ٠) س² = ط/ك ⇒ س = √(ط/ك) ، س > ٠. (ب) س = √(ط/ك) = √ط/√ك (√(أ/ب) = √أ/√ب حيث أ > ٠، ب > ٠) ⇒ نضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام: س = (√ط/√ك) × (√ك/√ك) = √(ك × ط)/ك.
حاول أن تحل (١٠): القانون ع = ٢ × ف / ن² يربط بين العجلة ع، والمسافة ف، والوقت ن لجسم متحرك بعجلة منتظمة. (أ) أوجد ن بدلالة ع، ف. (ب) أعد كتابة إجابتك في (أ) بحيث يكون المقام خاليًا من الجذور.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) (أ) ن² = ٢ف/ع ⇒ ن = √(٢ف/ع) (ب) ن = √(٢ف)/√ع = √(٢ف ع)/ع.
مثال (١١): أوجد قيمة التعبير (س + ١)²(٣س − ٢) / (٧س − ٤) حيث س = √٢ − ١ ، ثم بسّط الناتج.
إظهار الإجابة
نعوّض س بقيمتها: (√٢ − ١ + ١)²(٣(√٢ − ١) − ٢) / (٧(√٢ − ١) − ٤) = (√٢)²(٣√٢ − ٥) / (٧√٢ − ١١) (بسّط) = ٢(٣√٢ − ٥)(١١ + ٧√٢) / ((١١ − ٧√٢)(١١ + ٧√٢)) (اضرب بسط الكسر ومقامه في مرافق المقام) = ٢(٤٢ + ٣٣√٢ − ٣٥√٢ − ٥٥) / (١١² − (٧√٢)²) (خاصية التوزيع) = ٢(−١٣ − ٢√٢) / (١٢١ − ٩٨) (جمع الحدود المتشابهة) = −٢(١٣ + ٢√٢) / ٢٣ ... = (٢٦ + ٤√٢) / ٢٣ (بسّط).
حاول أن تحل (١١): أوجد قيمة التعبير (٢ − س)³ / (س + ١) حيث س = ٢ − √٣ ، ثم بسّط الناتج.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) (√٣)³/(٣ − √٣) = ٣√٣/(٣ − √٣) = ٣√٣(٣ + √٣)/(٩ − ٣) = (٩√٣ + ٩)/٦ = (٣√٣ + ٣)/٢.
٢
الوحدة الأولى (تابع): ١-٢ الأسس النسبية وخواصها
الرياضيات · صفحات 24–35دعنا نفكر ونتناقش
كيف نصل إلى فكرة الأس النسبي (الكسري)؟
إظهار الإجابة
عرفت سابقًا أن س³ × س³ = س⁶ (٣ + ٣ = ٦) ، وقلنا إن س³ هو جذر تربيعي لـ س⁶ (٦ ÷ ٢ = ٣). كذلك س² × س² = س⁴ ∴ س² جذر تربيعي لـ س⁴. وس⁻¹ × س⁻¹ = س⁻² ∴ س⁻¹ جذر تربيعي لـ س⁻² ، س ≠ ٠. الجذر التربيعي الأساسي للعدد الموجب س هو √س ، ويكون: √س × √س = س. وإذا كتبنا هذه العبارة في الصورة الأسية: س^□ × س^□ = س = س¹ (لماذا؟) بالمقارنة مع ما ورد أعلاه نستطيع أن نكتب: □ + □ = ١ ∴ □ = ½ . فنكتب √س × √س = س^(½) × س^(½) = س ، وقد اعتمدت هذه الصورة وعممت لكتابة أي تعبير جذري.
(١-٢-أ) الأسس النسبية
ما الجذر النوني؟
إظهار الإجابة
إذا كان أ عددًا حقيقيًا، ن ∈ ص₊ (عدد صحيح موجب)، ن ≥ ٢ ، فإن الجذر النوني للعدد أ يرمز له بالرمز ⁿ√أ ويساوي عددًا حقيقيًا ب بحيث بⁿ = أ.
ما العلاقة بين الجذر النوني والأس النسبي؟
إظهار الإجابة
إذا كان الجذر النوني للعدد أ هو عددًا حقيقيًا، م عددًا صحيحًا، ن ∈ ص₊ ، ن ≥ ٢ ، فإن: ⁿ√أ = أ^(١/ن) · ⁿ√(أᵐ) = (ⁿ√أ)ᵐ = (أᵐ)^(١/ن) = أ^(م/ن) · ⁿ√(أⁿ) = |أ| إذا كان ن عددًا زوجيًا، = أ إذا كان ن عددًا فرديًا.
مثال (١): بسّط كلًّا من التعبيرات الجذرية: (أ) ⁴√١٦ (ب) ⁵√(−٣٢) (ج) ⁶√(٦٤س¹²).
إظهار الإجابة
(أ) ⁴√١٦ = ⁴√(٢⁴) = |٢| = ٢ (ن عدد زوجي: ⁿ√(سⁿ) = |س|). (ب) ⁵√(−٣٢) = ⁵√((−٢)⁵) = −٢ (ن عدد فردي: ⁿ√(سⁿ) = س). (ج) ⁶√(٦٤س¹²) = ⁶√((٢س²)⁶) = |٢س²| = ٢س² (ن عدد زوجي، س ≥ ٠ ... فالقيمة المطلقة لـ ٢س² = ٢س²).
حل مثال (٤-ب): اكتب ⁵√ص ، √(ب³) ، (∛س)⁵ بالصورة الأسية لكل ب > ٠.
إظهار الإجابة
⁵√ص = ص^(1/5) · √(ب³) = (ب³)^(½) = ب^(3×½) = ب^(3/2) ∴ √(ب³) = ب^(3/2) · (∛س)⁵ = (س^(⅓))⁵ = س^(5×⅓) = س^(5/3) ∴ (∛س)⁵ = س^(5/3). (القاعدة: ⁿ√س = س^(1/ن) لكل س > ٠ ، (سᵐ)ⁿ = س^(م×ن).)
حاول أن تحل (٤): (أ) اكتب ص^(3/8) لكل ص > ٠ بالصورة الجذرية. (ب) بسّط س^… لكل س ≤ ٠ ثم اكتب بالصورة الجذرية. (ج) اكتب ∛(س²) ، (√ص)³ لكل ص ≥ ٠ بالصورة الأسية.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) (أ) ص^(3/8) = ⁸√(ص³). (ج) ∛(س²) = س^(2/3) ، (√ص)³ = ص^(3/2). (الجزء ب غير واضح في الصورة فلم أحله.)
مثال (٥) ربط بالحياة: عدم شعور رائد الفضاء بانعدام الوزن في رحلة فضائية يعود إلى دوران جهاز يجلس عليه، ويشعره بجاذبية وهمية تحاكي الجاذبية الأرضية. يدور الجهاز وفق المعادلة ن = و^(٠٫٥) / (٢ × π × نق^(٠٫٥))، حيث ن: السرعة الدورانية وتقاس بالدورة في الثانية، نق: نصف قطر جهاز الدوران ويقاس بالمتر، و: الجاذبية الوهمية التي تحاكي الجاذبية الأرضية. احسب سرعة دوران جهاز طول نصف قطره ١٫٧ متر، يدور ليحاكي الجاذبية الأرضية التي تساوي ٩٫٨ م/ث².
إظهار الإجابة
اكتب المعادلة: ن = و^(٠٫٥)/(٢ × π × نق^(٠٫٥)) ← عوّض: = (٩٫٨)^(٠٫٥)/(٢ × π × (١٫٧)^(٠٫٥)) ← باستخدام الآلة الحاسبة ≃ ٠٫٣٨٢ ∴ سرعة دوران الجهاز تساوي تقريبًا ٠٫٣٨٢ دورة في الثانية.
حاول أن تحل (٥): احسب السرعة الدورانية المطلوبة للجهاز في المثال (٥) ليحاكي جاذبية تعادل نصف مقدار الجاذبية الأرضية.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) و = ٤٫٩ ⇒ ن = (٤٫٩)^(٠٫٥)/(٢π(١٫٧)^(٠٫٥)) ≃ ٠٫٢٧٠ دورة في الثانية.
(١-٢-ب) خواص الأسس النسبية
ما خواص الأسس النسبية؟
إظهار الإجابة
ليكن م، ن عددين نسبيين وأ، ب عددين حقيقيين حيث أᵐ، أⁿ، بᵐ، بⁿ أعداد حقيقية. نكتب الخواص التالية:
مثال (٦): بسّط كلًّا مما يلي: (أ) ٤^(2/5) × ٤^(1/5) (ب) (٥^(1/2))³ (ج) (٧ × ٥)^(1/2) (د) ٣^(−1/2) (هـ) ١٧^(5/3) / ١٧^(1/2).
إظهار الإجابة
(أ) ٤^(2/5+1/5) = ٤^(3/5) = ⁵√(٤³) = ⁵√٦٤ = ٢⁵√٢. (ب) (٥^(1/2))³ = ٥^(3×1/2) = ٥^(3/2) = √(٥³) = ٥√٥. (ج) (٧ × ٥)^(1/2) = ٧^(1/2) × ٥^(1/2) = √٧ × √٥ = √٣٥. (د) ٣^(−1/2) = ١/٣^(1/2) = ١/√٣ = √٣/٣. (هـ) ١٧^(5/3)/١٧^(1/2) = ١٧^(5/3−1/2) = ١٧^(10/6−3/6) = ١٧^(7/6) = ⁶√(١٧⁷) = ١٧ ⁶√١٧.
حاول أن تحل (٦): بسّط: (أ) ٥^(1/3) × ٥^(2/3) (ب) (٧^(1/3))² (ج) (٢٣)^(1/2) (د) ٦^(−1/2) (هـ) ٨^(1/3) / ٨^(1/3).
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) (أ) ٥¹ = ٥ (ب) ٧^(2/3) = ∛٤٩ (ج) √٢٣ (د) ١/√٦ = √٦/٦ (هـ) ٨⁰ = ١ (قراءة تقريبية للأس في الصورة).
مثال (٧): بسّط (أ) (٣٢)^(3/5) (ب) عددًا آخر مكتوبًا بأس عشري.
إظهار الإجابة
(أ) (٣٢)^(3/5) = ((٣٢)^(1/5))³ = ((٢⁵)^(1/5))³ (٣٢ = ٢⁵) = (٢^(5×1/5))³ (بᵐ)ⁿ = ب^(م×ن) = ٢³ = ٨ ∴ (٣٢)^(3/5) = ٨. (الجزء ب سيأتي في الصفحة التالية.)
مثال (٧-ب): بسّط ٤^(٣٫٥) (حوّل ٣٫٥ إلى كسر مركب). حاول أن تحل (٧): (أ) ٥^(3/2) (ب) ١٦^(3/4) (ج) (٣٢)^(4/5).
إظهار الإجابة
٤^(٣٫٥) = ٤^(7/2) = (٢²)^(7/2) (٤ = ٢²) = ٢^(2×7/2) (بᵐ)ⁿ = ب^(م×ن) = ٢⁷ = ١٢٨ ∴ ٤^(٣٫٥) = ١٢٨. حاول أن تحل (حلّ نموذجي): (أ) √(٥³) = ٥√٥ (ب) (⁴√١٦)³ = ٢³ = ٨ (ج) ((٢⁵)^(1/5))⁴ = ٢⁴ = ١٦.
مثال (٨): أوجد ناتج كل مما يلي: (أ) ⁴√٥ × ⁴√٧ (ب) ∛١٦ / ∛٢.
إظهار الإجابة
(أ) طريقة أولى: ⁴√٥ × ⁴√٧ = ٥^(1/4) × ٧^(1/4) = (٧ × ٥)^(1/4) = (٣٥)^(1/4) = ⁴√٣٥. طريقة ثانية: ⁴√٥ × ⁴√٧ = ⁴√(٥ × ٧) = ⁴√٣٥ (ⁿ√س × ⁿ√ص = ⁿ√(س×ص)). (ب) طريقة أولى: ∛١٦/∛٢ = ١٦^(1/3)/٢^(1/3) = (١٦/٢)^(1/3) = ٨^(1/3) = ∛٨ = ٢. طريقة ثانية: ∛١٦/∛٢ = ∛(١٦/٢) = ∛٨ = ∛(٢³) = ٢.
حاول أن تحل (٨): أوجد الناتج: (أ) ⁵√٩ × ⁵√٢٧ (ب) ∛٢٤٣ / ∛٣.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) (أ) ⁵√٢٤٣ = ⁵√(٣⁵) = ٣ (ب) ∛(٢٤٣/٣) = ∛٨١ = ٣∛٣.
المرشد لحل المسائل
لتعزيز حب كرة القدم لدى الناشئة أقام أحد النوادي ملعبًا لتدريبهم. استخدم المعادلة ح = ٤√س لمعرفة طول سور الملعب ح بمعلومية مساحة الملعب س. (أ) تبلغ مساحة الملعب الحالية ١٥٠٠ متر مربع، فما طول السور اللازم لإحاطته؟ (ب) قررت الإدارة زيادة المساحة لتصبح ٤ أمثال ما كانت عليه محافظة على شكلها؛ فما طول السور الإضافي؟
إظهار الإجابة
(أ) ح = ٤√١٥٠٠ ≃ ١٥٤٫٩٢ ؛ يبلغ طول السور حوالي ١٥٥ مترًا. (ب) المساحة بعد الزيادة = ١٥٠٠ × ٤ = ٦٠٠٠ متر مربع، ح = ٤√٦٠٠٠ ≃ ٣٠٩٫٨ أي حوالي ٣١٠ أمتار؛ طول السور الإضافي: ٣١٠ − ١٥٥ = ١٥٥ مترًا. ملاحظة: عندما أصبحت مساحة الملعب ٤ أمثال ما كانت عليه في السابق، أصبح طول السور الحالي مثلي طول السور السابق.
مسألة إضافية: أوجد أبعاد قطعة أرض مستطيلة الشكل، يساوي طولها ثلاثة أمثال عرضها، ومساحتها ٢٧٠٠ متر مربع.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) ٣ع² = ٢٧٠٠ ⇒ ع² = ٩٠٠ ⇒ العرض = ٣٠ م والطول = ٩٠ م.
مخطط تنظيمي وملخص الوحدة الأولى
ما المخطط التنظيمي للوحدة الأولى؟
إظهار الإجابة
الأعداد الحقيقية ← (١) الجذور والتعبيرات الجذرية والعمليات عليها: الجذور التربيعية · الجذور التكعيبية · عمليات لتبسيط الجذور · استخدام المرافق. (٢) الأسس النسبية وخواصها: الصورة الجذرية للعدد · الصورة الأسية للعدد · تحويل بين الصورتين · خواص الأسس النسبية.
٣
الوحدة الثانية: العينات
Samples · صفحات 36–53مشروع الوحدة: داء الكوليسترول
ما هدف مشروع الوحدة؟
إظهار الإجابة
دراسة أعراض ارتفاع الكوليسترول وانخفاضه وتأثيره على حياة الإنسان · طرائق الوقاية لتفادي أخطاره · تأثير الوراثة والأطعمة في تصنيعه · النسبة المئوية للمصابين بداء الكوليسترول · تكوين جدول بكميات الكوليسترول عند عينة من الأشخاص.
ما مقدمة المشروع؟
إظهار الإجابة
الكوليسترول (داء العصر) ينتجه الكبد في جسم الإنسان، وهو موجود بكميات كبيرة في المأكولات ذات المصدر الحيواني: صفار البيض، الكبد، الكلية، النخاعات، الروبيان، اللحوم الحمراء، الحليب الكامل الدسم ومشتقاته. أثبتت الدراسات أن ٢٠٪ منه ينتج من الطعام و٨٠٪ ينتجه الكبد.
ما اللوازم وما المطلوب في المشروع؟
إظهار الإجابة
اللوازم: آلة حاسبة وأوراق جدولة الانتشار. المطلوب: تحديد مكان الزيارة (مستشفى أو مختبر أو عيادة طبيب) وتنظيم استمارة بالأسئلة (أعراض الارتفاع · العوامل المؤثرة: الغذاء والوراثة والوزن والنشاط والعمر والجنس · طرق الخفض · دور HDL المفيد وLDL الضار ومعدلهما الطبيعي · الأمراض الناتجة · نسبة الوفيات)، ثم تكوين جدول بكمية الكوليسترول (ملليجرام بالديسيلتر) لعدد من الأشخاص، وكتابة تقرير مفصل يتضمن الإجابات والجداول والنسب المئوية مع الاقتراحات والنصائح.
ما المعارف السابقة وما الذي سنتعلمه؟
إظهار الإجابة
السابق: جمع البيانات · المجتمع الإحصائي · العينة · العينة العشوائية. الجديد: المجتمع الإحصائي والحصر الشامل · العينة واستخداماتها · تصنيف البيانات (كيفية أو كمية) · أنواع العينات العشوائية.
لماذا تهتم منظمة الصحة العالمية بداء السكري والكوليسترول؟ (أضف إلى معلوماتك)
إظهار الإجابة
لأنهما في عداد الأمراض الخبيثة والمزمنة، ولهما تأثير مباشر على أمراض السكري والغدة الدرقية والكلية والكبد وارتفاع نسبة الكوليسترول في الدم، ويأتي في مقدمة الاهتمام النشرات الإرشادية والتوجيهية عن المسببات وكيفية التعامل معها والتحقق من صلاحية الأدوية وجودة إنتاجها.
٢-١ المجتمع الإحصائي (Statistical Population)
ما الإحصاء؟
إظهار الإجابة
أحد مجالات الرياضيات التطبيقية، علم يهتم بجمع البيانات وتنظيمها وتصنيفها وعرضها وتحليلها ليساعد على اتخاذ قرارات صحيحة مبنية على توقعات واستنتاجات.
عمل تعاوني: استطلاع آراء مشاهدي المسلسلات الرمضانية في الكويت — ما المطلوب؟
إظهار الإجابة
١) تحديد عدد الأشخاص الذين سيُستطلع رأيهم على مساحة الدولة. ٢) تحديد الطرائق المتبعة: (أ) المقابلة الشخصية (ب) الاستبانة (ج) الهاتف المنزلي أو الخلوي (د) البريد العادي أو الإلكتروني.
مثال ١: حدد المجتمع الإحصائي ونوعه ووحدة الدراسة: (أ) طلاب المرحلة الثانوية في الكويت في إحدى السنوات (ب) المدخنون في جميع دول العالم.
إظهار الإجابة
(أ) المجتمع: طلاب المرحلة الثانوية في الكويت · النوع: منتهٍ، يمكن معرفة العدد الإجمالي · وحدة الدراسة: الطالب. (ب) المجتمع: المدخنون في جميع دول العالم · النوع: غير منتهٍ، لا يمكن معرفة العدد الإجمالي · وحدة الدراسة: المدخن.
حاول ١: حدد المجتمع ونوعه ووحدة الدراسة: (أ) الطلاب المشاركون في زيارة المركز العلمي في أحد الأيام (ب) زوار حديقة الحيوانات.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) (أ) المجتمع: الطلاب المشاركون في الزيارة · منتهٍ · وحدة الدراسة: الطالب. (ب) المجتمع: زوار حديقة الحيوانات · وحدة الدراسة: الزائر · يُعدّ منتهيًا إذا حُدّدت فترة الدراسة (يمكن عدّهم)، وغير منتهٍ إذا لم تُحدَّد.
مثال ٢: اعرض بعض المتغيرات لطلاب صفك التي يمكن دراستها.
إظهار الإجابة
تتنوع الإجابات، ومنها: (أ) طول القامة بالسنتيمتر (ب) وزن كل طالب بالكيلوجرام (ج) لون العيون (د) لون الشعر.
حاول ٢: اعرض بعض المتغيرات الممكنة للكتب في مكتبة مدرستك.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) عدد صفحات الكتاب · سنة الطباعة · موضوع الكتاب · لغة الكتاب · سعر الكتاب.
٢-١-أ جمع البيانات (Collecting Data)
ما الحصر الشامل؟
إظهار الإجابة
عملية جمع بيانات جميع المفردات من المجتمع محل الدراسة (غالبًا ما تصعب دراسة مفردات المجتمع ككل لما تحتاجه من نفقات ووقت وجهد). ولا يصلح في المجتمعات غير المنتهية لاستحالة حصر مفرداتها في قائمة.
ما المعاينة؟
إظهار الإجابة
عملية اختيار جزء من مفردات المجتمع بطريقة مدروسة تجعل هذه المفردات تمثل المجتمع وتحقق أهداف الدراسة.
مثال ٣: هل يمكن استخدام الحصر الشامل؟ (أ) دراسة نسبة السكر في الدم عند مريض مصاب بداء السكري (ب) نسبة الطلاب الذين يكتبون باليد اليسرى إلى عدد طلاب المرحلة الثانوية في مدرستك.
إظهار الإجابة
(أ) لا يمكن، لأن استخدام كافة كمية الدم الموجودة في جسم المريض سيؤدي إلى نهاية حياته، لذا نحتاج إلى جزء من الدم. (ب) يمكن، لأن عدد الطلاب في المرحلة الثانوية يسمح بدراسة عدد الطلاب الذين يكتبون باليد اليسرى وبالتالي يمكن كتابة النسبة.
حاول ٣: اكتب مثالًا عن (أ) دراسة في مجتمع يمكن استخدام الحصر الشامل فيه (ب) دراسة في مجتمع لا يمكن استخدام الحصر الشامل فيه.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) (أ) دراسة أعمار طلاب صف واحد في المدرسة. (ب) دراسة عمر المصابيح الكهربائية التي ينتجها مصنع (لأن الفحص يتلفها).
مثال ٤: شركة تنتج عبوات عصير برتقال، وتاجر يريد شراء كمية كبيرة. كيف يتأكد من جودة نوعيته؟
إظهار الإجابة
يختار التاجر عددًا من العبوات ويحللها في المختبر، وعلى ضوء النتائج يقرر هل نوعية العصير جيدة أم لا.
حاول ٤: ماذا تفعل إذا أردت معرفة أطوال قامات طلاب المرحلة الثانوية في جميع مدارس الكويت؟
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) أختار عينة تمثّل الطلاب من المدارس (معاينة) وأقيس أطوالهم، لأن الحصر الشامل يحتاج إلى وقت وجهد ونفقات كبيرة.
مثال ٥: تريد دراسة نسبة الأميين في العالم إلى عدد السكان في إحدى السنوات. ماذا تفعل؟
إظهار الإجابة
المجتمع الإحصائي كبير جدًّا، لذا يجب أن نختار عينة تمثل جزءًا مهمًا منه، ثم نتوقع النسبة المطلوبة.
حاول ٥: ماذا تفعل لتعرف من هو الممثل الأكثر شعبية في الكويت هذا العام؟
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) أختار عينة ممثلة من سكان الكويت وأسألهم (استبانة أو مقابلة) ثم أحسب أكثر ممثل اختيارًا.
٢-١-ب أنواع البيانات وطرائق جمعها
ما أنواع البيانات حسب الهدف؟
إظهار الإجابة
تتنوع البيانات حسب الهدف الذي تتوجه إليه دراسة المفردات، وتنقسم إلى نوعين: كيفية وكمية.
مثال ٦: ألوان الشعر لعشرة طلاب (بني، أسود، بني، أشقر، أسود، أسود، بني، كستنائي، أسود، بني) — ما نوع البيانات؟
إظهار الإجابة
كيفية اسمية.
حاول ٦: إجابات خمسة عشر طالبًا عن توقعاتهم لمجالات العمل (ضابط، محاسب، محام، معلم، ضابط، ...) — ما نوع البيانات؟
إظهار الإجابة
كيفية اسمية (أسماء مهن).
مثال ٧: ترتيب الدول في أولمبياد بكين ٢٠٠٨ حسب عدد الميداليات (الصين، أمريكا، روسيا، بريطانيا، ألمانيا، أستراليا) — ما نوع البيانات؟
إظهار الإجابة
كيفية مرتبة.
حاول ٧: استمارة رحلة كُتب عليها (موافق – غير موافق – سأجيب لاحقًا – لا إجابة) — ما نوع البيانات؟
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) كيفية اسمية، لأنها صفات (آراء) لا ترتيب فيها.
مثال ٨: درجات طلاب الصف الحادي عشر في اختبار نهايته العظمى ٢٠ (١٢، ١٣٫٥، ١٧، ١٦٫٥، ٨٫٥، ٩، ١٠، ...) — ما نوع البيانات؟
إظهار الإجابة
كمية مستمرة.
حاول ٨: درجات حرارة خمسة أطفال في مستشفى (٣٦٫٥°، ٣٨°، ٣٧٫٨°، ٣٩°، ٣٧٫٥°) — ما نوع البيانات؟
إظهار الإجابة
كمية مستمرة.
مثال ٩: أهداف دول في نهائيات كأس العالم ٢٠١٠ (ألمانيا ٥، هولندا ٥، اليابان ٤، الكاميرون ٢، إيطاليا ٤، البرازيل ٥، إسبانيا ٤) — ما نوع البيانات؟
إظهار الإجابة
كمية متقطعة.
حاول ٩: نقاط دول في كأس العالم ٢٠١٠ (فرنسا ١، الأرجنتين ٩، الجزائر ١، غانا ٤، البرتغال ٥) — ما نوع البيانات؟
إظهار الإجابة
كمية متقطعة.
مثال ١٠: (أ) شركة سيارات تريد معرفة آراء الزبائن في خدمات ما بعد البيع، كيف يتم ذلك؟ (ب) مدير مالي يريد معرفة آراء الموظفين في نسبة الزيادة، كيف يتم ذلك؟
إظهار الإجابة
(أ) الاتصال بالزبائن بالهاتف المنزلي أو الخلوي أو البريد الإلكتروني. (ب) باستبانة تُكتب عليها الأسئلة ذات الصلة أو بالمقابلة المباشرة مع كل موظف.
حاول ١٠: فندق يريد معرفة آراء النزلاء من مختلف أنحاء العالم بالخدمة أثناء إقامتهم — ما أفضل طريقة؟
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) الاستبانة (ورقية أو إلكترونية) يملؤها النزيل، لأنها أسهل وأسرع للوصول إلى نزلاء من أماكن مختلفة.
٢-٢ أنواع العينات (Samples Types)
دعنا نفكر ونتناقش: أسرة مستشفى من ١٠٠ إداري و١٥٠ طبيبًا و٢٥٠ ممرضًا. كيف يُختار ٢٥ ممرضًا دون تحيز؟ وكيف يُختار فريق من ١٠ أعضاء بشكل عادل يتناسب مع أعداد الفئات؟
إظهار الإجابة
١) يُختار الممرضون عشوائيًا (لكل ممرض الفرصة نفسها). ٢) يُختار من كل فئة عدد يتناسب مع حجمها (عينة طبقية). تمهيد للعينة العشوائية البسيطة والطبقية.
٢-٢-أ العينة العشوائية البسيطة (Simple Random Sample)
متى تكون العينة عشوائية بسيطة؟
إظهار الإجابة
إذا كان المجتمع يتضمن عدد ن من المفردات المتجانسة وأردنا دراستها باتجاه معين اعتمادًا على عينة عشوائية عدد مفرداتها م، وكانت كل عينة عشوائية من هذا المجتمع لها الفرصة نفسها في أن نختارها. يكون لكل مفردة من مفردات المجتمع الفرصة نفسها في الظهور.
ما طرائق اختيار العينة العشوائية البسيطة؟
إظهار الإجابة
باستخدام جدول الأعداد العشوائية، أو آلات حاسبة متخصصة، أو برامج إحصائية مثل Microsoft Excel.
مثال ١: ٨٠ طالبًا مرقمين من ١ إلى ٨٠، المطلوب عينة عشوائية بسيطة حجمها ٧ باستخدام جدول الأعداد العشوائية ابتداءً من الصف الأول والعمود الثاني.
إظهار الإجابة
بما أن حجم المجتمع ٨٠ نأخذ أول رقمين لجهة اليسار من الصف الأول والعمود الثاني ثم نتحرك رأسيًا إلى الأسفل فنجد: ٢٨، ٥٣، ٣١، ٣٧، ٩٦، ٨٦، ٤١. لا يوجد ٩٦ و٨٦ في ترقيم الطلاب فيبقى: ٢٨، ٥٣، ٣١، ٣٧، ٤١. نكمل بعددين آخرين دون تكرار: ٢، ٣٥. فالعينة: ٢٨، ٥٣، ٣١، ٣٧، ٤١، ٢، ٣٥. ملاحظة: يتم اختيار الصف الأول والعمود الأول من جدول الأعداد العشوائية إذا لم يتم التحديد.
حاول ١: في مثال ١ إذا كان السحب ابتداءً من الصف العاشر والعمود الخامس، فما الأعداد التي نحصل عليها؟
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) الخطوات نفسها: نبدأ من الصف ١٠ والعمود ٥ ونأخذ أول رقمين من اليسار ونتحرك رأسيًا لأسفل، ونستبعد ما فوق ٨٠ أو ما يتكرر حتى نجمع ٧ أعداد. (القيم تعتمد على جدول الأعداد العشوائية.)
مثال ٢: ٢٠٠ عامل مرقمون من ٢٠١ إلى ٤٠٠، المطلوب عينة بسيطة من ١٠ عمال ابتداءً من الصف الخامس والعمود الرابع.
إظهار الإجابة
الأعداد: ٢٤٦، ٣٨٣، ٣٤٩، ٣٤١، ٢١٥، ٢٦٧، ٣١٨، ٢٧١، ٣٦٨، ٢٨٨. فيكون العمال حاملو هذه الأرقام عينة عشوائية بسيطة.
حاول ٢: ٣٠٠ موظف مرقمون من ٦٠١ إلى ٩٠٠، المطلوب عينة بسيطة من ٦ موظفين ابتداءً من الصف العاشر والعمود الرابع عشر.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) نأخذ أعدادًا من ثلاثة أرقام من الصف ١٠ والعمود ١٤ نازلين، ونقبل ما بين ٦٠١ و٩٠٠ فقط دون تكرار حتى نحصل على ٦ أعداد.
٢-٢-ب العينة العشوائية الطبقية (Stratified Random Sample)
ما العينة العشوائية الطبقية ومتى تُستخدم؟
إظهار الإجابة
نقسّم المجتمع الإحصائي إلى مجموعات لا تتقاطع مع بعضها ثم نأخذ عينة عشوائية بسيطة من كل مجموعة. تُستخدم عادة عند إمكان تقسيم المجتمع إلى طبقات مختلفة غير متقاطعة وكل طبقة متجانسة من حيث المفردات التي تؤلفها.
مثال ٣: عينة طبقية من ٨٠ فردًا من ١٦٠٠ موظف: إداريون ١٠٠، تقنيون وفنيون ٣٠٠، عمال ومستخدمون ١٢٠٠. ما حجم العينة من كل طبقة؟
إظهار الإجابة
كسر المعاينة = ٨٠ ÷ ١٦٠٠ = ٠٫٠٥. الإداريون = ٠٫٠٥ × ١٠٠ = ٥ · التقنيون والفنيون = ٠٫٠٥ × ٣٠٠ = ١٥ · العمال والمستخدمون = ٠٫٠٥ × ١٢٠٠ = ٦٠. فالعينة: ٥ (إداريين) و١٥ (تقنيًا وفنيًا) و٦٠ (عاملًا ومستخدمًا).
حاول ٣: عينة طبقية من ٧ أفراد من ٣٥ موظفًا في مصرف: مدراء أقسام ١٠، محاسبون ومدققون ٢٠، عمال ومستخدمون ٥. ما حجم كل عينة بسيطة؟
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) كسر المعاينة = ٧ ÷ ٣٥ = ٠٫٢. المدراء: ٠٫٢ × ١٠ = ٢ · المحاسبون والمدققون: ٠٫٢ × ٢٠ = ٤ · العمال والمستخدمون: ٠٫٢ × ٥ = ١.
مثال ٤: مؤسسة فيها ١٠٠ إداري مرقمين من ١٠٠ إلى ١٩٩، و٢٠٠ مهندس وتقني من ٢٠٠ إلى ٣٩٩، و٦٠٠ عامل ومستخدم من ٤٠٠ إلى ٩٩٩. المطلوب عينة طبقية من ١٨ فردًا ابتداءً من الصف الثاني والعمود العاشر.
إظهار الإجابة
أولًا: كسر المعاينة = ١٨ ÷ ٩٠٠ = ٠٫٠٢. ثانيًا: الإداريون ٠٫٠٢ × ١٠٠ = ٢ · المهندسون والتقنيون ٠٫٠٢ × ٢٠٠ = ٤ · العمال والمستخدمون ٠٫٠٢ × ٦٠٠ = ١٢. ثالثًا: نستخدم جدول الأعداد العشوائية بأخذ ثلاثة أرقام من اليسار من الصف الثاني والعمود العاشر نازلين: الإداريون (بين ١٠٠ و١٩٩): ١٠٤، ١١٩ · المهندسون والتقنيون (بين ٢٠٠ و٣٩٩): ٣١٧، ٢٤٤، ٣١٣، ٣٤٦ · العمال والمستخدمون (بين ٤٠٠ و٩٩٩): ٩٠٩، ٦٧٢، ٧١٥، ٤٢٥، ٧٦٣، ٥٣٥، ٥٨٩، ٧٠١، ٨٤٩، ٧٤٧، ٨٥٠، ٧٦٨. ملاحظة: يمكن استخدام جداول الأعداد العشوائية لسحب عينة طبقية من عينات عشوائية بسيطة.
حاول ٤: في مثال ٤ إذا أراد صاحب المؤسسة عينة طبقية من ٩ أفراد: (أ) كسر المعاينة (ب) حجوم العينات البسيطة (ج) استخدام الصف الثالث والعمود السابع لإيجاد الترقيم.
إظهار الإجابة
(أ) ٩ ÷ ٩٠٠ = ٠٫٠١. (ب) الإداريون: ٠٫٠١ × ١٠٠ = ١ · المهندسون والتقنيون: ٠٫٠١ × ٢٠٠ = ٢ · العمال والمستخدمون: ٠٫٠١ × ٦٠٠ = ٦. (ج) (حلّ نموذجي) نأخذ ثلاثة أرقام من اليسار من الصف ٣ والعمود ٧ نازلين، ونقبل كل رقم في مجال طبقته (١٠٠–١٩٩ أو ٢٠٠–٣٩٩ أو ٤٠٠–٩٩٩) حتى يكتمل العدد دون تكرار.
٢-٢-ج العينة العشوائية المنتظمة (Systematic Random Sample)
ما العينة العشوائية المنتظمة؟
إظهار الإجابة
من أكثر العينات استخدامًا، يتم تقسيم المجتمع إلى فترات متساوية الطول وعددها يساوي حجم العينة. يمكن سحب المفردة الأولى بجدول الأعداد العشوائية أو عن طريق المختبر الإحصائي.
مثال ٥: ٩٠٠ عامل مرقمون من ١ إلى ٩٠٠، عينة منتظمة حجمها ١٥ ابتداءً من الصف الثامن والعمود العاشر.
إظهار الإجابة
طول الفترة = ٩٠٠ ÷ ١٥ = ٦٠. نختار أول عدد من رقمين لجهة اليسار بحيث لا يزيد عن ٦٠: نجد ٣١ على تقاطع الصف الثامن والعمود العاشر. ثم نضيف ٦٠ كل مرة: ٣١، ٩١، ١٥١، ٢١١، ٢٧١، ٣٣١، ٣٩١، ٤٥١، ٥١١، ٥٧١، ٦٣١، ٦٩١، ٧٥١، ٨١١، ٨٧١.
حاول ٥: في مثال ٥ ما العينة المنتظمة إذا كان حجمها ١٠ ابتداءً من الصف الخامس عشر والعمود السابع؟
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) طول الفترة = ٩٠٠ ÷ ١٠ = ٩٠. نأخذ أول عدد (لا يزيد عن ٩٠) من الصف ١٥ والعمود ٧ ثم نضيف ٩٠ تباعًا حتى نحصل على ١٠ أعداد.
مثال ٦: ٧٠٠ طالب مرقمين من ١ إلى ٧٠٠، إرسال ١٠ طلاب لندوة «حماية الحيوانات المهددة بالانقراض»، عينة منتظمة حجمها ١٠ ابتداءً من الصف الثاني والعشرين والعمود الثالث.
إظهار الإجابة
طول الفترة = ٧٠٠ ÷ ١٠ = ٧٠. العدد الأول (لا يزيد عن ٧٠) = ٣٨. ثم: ٣٨، ١٠٨، ١٧٨، ٢٤٨، ٣١٨، ٣٨٨، ٤٥٨، ٥٢٨، ٥٩٨، ٦٦٨.
حاول ٦: ١٤٠ طالبًا في الصف الحادي عشر علمي مرقمين من ١ إلى ١٤٠، عينة منتظمة حجمها ٧ من الصف السادس والعمود التاسع.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) طول الفترة = ١٤٠ ÷ ٧ = ٢٠. العدد الأول من الجدول (لا يزيد عن ٢٠) ثم نضيف ٢٠ في كل مرة لنحصل على ٧ أعداد.
المرشد لحل المسائل
مؤسسة لحياكة الملابس القطنية: ٢٥ إداريًا (١٠١–١٢٥)، ٧٥ تقنيًا وفنيًا (٢٠١–٢٧٥)، ٤٠٠ عامل (٣٠١–٧٠٠). يريد صاحبها اختيار ٢٠ شخصًا لدورة تدريبية تتضمن إداريين وفنيين وتقنيين وعمالًا. كيف نساعده؟
إظهار الإجابة
ملاحظة: يُختار الصف الأول والعمود الأول من جدول الأعداد العشوائية إذا لم يُحدَّد. لدينا طبقات (إداريون، فنيون وتقنيون، عمال) فنكوّن عينة طبقية. عدد العاملين = ٥٠٠ وحجم العينة = ٢٠، فكسر المعاينة = ٢٠ ÷ ٥٠٠ = ٠٫٠٤. الإداريون = ٢٥ × ٠٫٠٤ = ١ · الفنيون والتقنيون = ٧٥ × ٠٫٠٤ = ٣ · العمال = ٤٠٠ × ٠٫٠٤ = ١٦. السحب بثلاثة أرقام من اليسار من الصف الأول والعمود الأول نازلين: الإداري: ١٢١ · الفنيون والتقنيون: ٢٠١، ٢٠٩، ٢٢٧ · العمال: ٥٩٢، ٦٧٢، ٤٦٢، ٦٦٠، ٤٦٨، ٥٩٠، ٦٣٠، ٥٤٣، ٤١٢، ٦٦٥، ٣١٥، ٣٦٠، ٣٥٩، ٤١٤، ٦٥٧، ٦٢٠.
مسألة إضافية: مصرف فيه ٢٠٠ موظف مرقمون من ١ إلى ٢٠٠ موزعون في فروعه. تريد الإدارة عينة عشوائية منتظمة من ٢٠ موظفًا. كيف نشكّل العينة؟
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) طول الفترة = ٢٠٠ ÷ ٢٠ = ١٠. نختار أول عدد من الجدول (لا يزيد عن ١٠) ثم نضيف ١٠ تباعًا حتى نحصل على ٢٠ عددًا.
مخطط تنظيمي وملخص الوحدة الثانية
ما المخطط التنظيمي للوحدة الثانية؟
إظهار الإجابة
أنواع العينات ← (١) المجتمع الإحصائي: المجتمع الإحصائي (منتهٍ، غير منتهٍ) · المتغير · جمع البيانات (الحصر الشامل، المعاينة) · أنواع البيانات وطرائق جمعها (كيفية، كمية). (٢) العينات: العينة العشوائية البسيطة · الطبقية · المنتظمة.
٤
الوحدة الثالثة: أساليب عرض البيانات
Ways to Display Data · صفحات 54–73مشروع الوحدة: دراسة جودة التعبئة
ما مقدمة المشروع وهدفه؟
إظهار الإجابة
شركات تعبئة المياه الصالحة للشرب أو العصير تحتاج إلى أجهزة وآلات للتعبئة، ويلاحظ المستهلك أن عبوات المياه في الأسواق تختلف في كمية المياه. الهدف: اختيار عينة عشوائية من عبوات المياه فئة ٥٠ ملليترًا لقياس كمية المياه في كل عبوة بعد تحديد شروط الجودة للجهاز الذي قام بتعبئتها. اللوازم: آلة حاسبة وورق رسم بياني.
ما أسئلة التطبيق وما التقرير المطلوب؟
إظهار الإجابة
(أ) المجمّع التجاري الذي ستزوره (ب) اسم شركة المياه (ج) كم عبوة فئة ٥٠ ملليترًا ستختار (د) الشروط الموضوعة للتحقق من جودة التعبئة (هـ) تنظيم البيانات في قائمة (و) هل ستستخدم المتوسط الحسابي أم الوسيط لاتخاذ القرار المناسب؟ التقرير: تقرير مفصل عن النتائج + اقتراحات تعرضها على زملائك ومناقشة النتائج، وإعادة النظر بأي نقطة غير واضحة، وتقديم اقتراحات مشتركة لشركات التعبئة.
ما المعارف السابقة وما الذي سنتعلمه؟
إظهار الإجابة
السابق: التمثيلات البيانية · التكرار المتجمع الصاعد والنازل · إيجاد الوسيط بيانيًا. الجديد: عرض البيانات في جداول تكرارية · التكرار النسبي والنسبة المئوية · التكرار المتجمع الصاعد والنازل · المنحنيات التكرارية المتجمعة · التمثيل بالدائرة للبيانات الكيفية · الخط المنكسر والمدرج والمضلع والمنحنى التكراري.
ما شروط إنشاء مصنع مياه الشرب؟ (أضف إلى معلوماتك)
إظهار الإجابة
الموقع المناسب للوضع · محطة لتحلية المياه (إذا كانت ضرورية) · نظام تعقيم بالأوزون · جهاز لنفخ العبوات من جميع الأحجام · جهاز لطباعة تاريخ التعبئة وانتهاء الصلاحية · جهاز للقفل الدائري حول فوهة العبوة · ماكينة لتغليف العبوات · خطوط سير العبوات · خزانات للمياه · مختبر للتحليل. (وتوفير المياه من أهم مشاكل الدول، والمشكلة الكبرى عدم الدقة في التعبئة أو عدم الجودة.)
٣-١ عرض وتمثيل البيانات (Display and Data Representation)
عمل تعاوني: ما المطلوب؟
إظهار الإجابة
تسجل شركة عدد أشهر عمل الآلات الكهربائية التي تنتجها (٤٠ قيمة بين ٣٥ و٧٥)، وتعاون زملاءك في إكمال جدول فئاته (−٣٥، −٤٠، −٤٥، −٥٠، −٥٥، −٦٠، −٦٥، −٧٠، −٧٥) وأسطره: علامات التكرار · التكرار · التكرار المتجمع الصاعد · التكرار المتجمع النازل · نسبة التكرار إلى العدد الكلي · النسبة المئوية لكل تكرار.
٣-١-أ الجدول التكراري النسبي والمئوي (Frequency Table)
مثال ١: رواتب ٣٥ عاملًا بالدينار (٢٩٨ … ٤٩٨). (أ) المدى (ب) طول الفئة إذا وُزعت إلى ١٠ فئات متساوية (ج) جدول الفئات وعلامات التكرار والتكرار النسبي والنسبة المئوية.
إظهار الإجابة
(أ) القيمة الصغرى = ٢٩٨، العظمى = ٤٩٨، فالمدى = ٤٩٨ − ٢٩٨ = ٢٠٠. (ب) طول الفئة = المدى ÷ عدد الفئات = ٢٠٠ ÷ ١٠ = ٢٠ دينارًا. (ج) الفئات: −٢٩٨ (تكرار ٢، ٢/٣٥ = ٥٫٧١٪) · −٣١٨ (١، ١/٣٥ = ٢٫٨٦٪) · −٣٣٨ (٤، ١١٫٤٣٪) · −٣٥٨ (٦، ١٧٫١٤٪) · −٣٧٨ (١١، ٣١٫٤٣٪) · −٣٩٨ (٥، ١٤٫٢٩٪) · −٤١٨ (٣، ٨٫٥٧٪) · −٤٣٨ (١، ٢٫٨٦٪) · −٤٥٨ (١، ٢٫٨٦٪) · −٤٧٨ (١، ٢٫٨٦٪). المجموع ٣٥ وتكراره النسبي = ١.
حاول ١: (أ) إذا كان طول الفئة في المثال ١ يمثل ٢٥ دينارًا فما عدد الفئات؟ (ب) كوّن الجدول بالفئات الجديدة.
إظهار الإجابة
(أ) عدد الفئات = ٢٠٠ ÷ ٢٥ = ٨ فئات. (ب) (حلّ نموذجي محسوب من بيانات المثال) الفئات: −٢٩٨ (٢) · −٣٢٣ (٣) · −٣٤٨ (٦) · −٣٧٣ (١٣) · −٣٩٨ (٦) · −٤٢٣ (٣) · −٤٤٨ (١) · −٤٧٣ (١) = ٣٥؛ والتكرار النسبي = التكرار ÷ ٣٥ والنسبة المئوية = النسبي × ١٠٠٪.
٣-١-ب-١ تمثيل البيانات الكيفية بالقطاعات الدائرية
كيف تُمثَّل البيانات بالقطاعات الدائرية؟
إظهار الإجابة
تُمثَّل القيمة الكلية بمساحة سطح دائرة نصف قطرها اختياري، ثم تُجزّأ المنطقة الدائرية إلى قطاعات دائرية جزئية تتناسب مساحاتها السطحية مع قيم هذه المجموعات الجزئية، وتُميَّز عن بعضها ويُحدَّد قياس الزاوية المركزية لكل قطاع.
مثال ٢: تقديرات ٢٥ طالبًا في اختبار. (أ) كوّن جدولًا تكراريًا نسبيًا ومئويًا (ب) مثّل البيانات بالقطاعات الدائرية.
إظهار الإجابة
(أ) ممتاز ٤ (٤/٢٥ = ١٦٪) · جيد جدًا ٤ (١٦٪) · جيد ٦ (٦/٢٥ = ٢٤٪) · متوسط ٤ (١٦٪) · مقبول ٥ (٢٠٪) · غير مقبول ٢ (٨٪) · المجموع ٢٥ (١٠٠٪). (ب) الزوايا: ممتاز ٤/٢٥ × ٣٦٠ = ٥٧٫٦° · جيد جدًا ٥٧٫٦° · جيد ٦/٢٥ × ٣٦٠ = ٨٦٫٤° · متوسط ٥٧٫٦° · مقبول ٥/٢٥ × ٣٦٠ = ٧٢° · غير مقبول ٢/٢٥ × ٣٦٠ = ٢٨٫٨°. (المجموع ٣٦٠°.)
حاول ٢: إحصاء ألوان العيون لدى ٤٠ طالبًا (أسود، أزرق، بني، عسلي، زيتي) — (أ) جدول تكراري نسبي ومئوي (ب) تمثيل بالقطاعات الدائرية.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) نعدّ تكرار كل لون من القائمة (المجموع ٤٠)، ثم التكرار النسبي = التكرار ÷ ٤٠، والنسبة المئوية = النسبي × ١٠٠٪، وزاوية القطاع = النسبي × ٣٦٠° (أي التكرار × ٩°).
٣-١-ب-٢ المدرج التكراري والمنحنى التكراري والمضلع التكراري
مثال ٣: نتائج تحليل تركيز مادة النيترات في ٥٠ وحدة ماء للخدمة المشتركة (ملجم/لتر): (أ) المدى (ب) عدد الفئات إذا كان طول الفئة ٥ (ج) جدول (د) المدرج والمنحنى والمضلع.
إظهار الإجابة
(أ) الصغرى = ١٥، العظمى = ٥٥، المدى = ٥٥ − ١٥ = ٤٠. (ب) عدد الفئات = ٤٠ ÷ ٥ = ٨ فئات. (ج) الفئات (مركز الفئة): −١٥ (١٧٫٥) تكرار ٨ · −٢٠ (٢٢٫٥) ٥ · −٢٥ (٢٧٫٥) ٦ · −٣٠ (٣٢٫٥) ٧ · −٣٥ (٣٧٫٥) ٥ · −٤٠ (٤٢٫٥) ٦ · −٤٥ (٤٧٫٥) ٧ · −٥٠ (٥٢٫٥) ٦ · المجموع ٥٠. تذكر: الفئة ١٥− تمثلها [١٥، ٢٠) ومركز الفئة = (١٥ + ٢٠) ÷ ٢ = ١٧٫٥.
كيف يُرسم المدرج التكراري؟
إظهار الإجابة
نرسم مستطيلات متجاورة قاعدة كل منها طول الفئة (على المحور الأفقي) وارتفاعه التكرار (على المحور الرأسي): ارتفاعات هنا ٨، ٥، ٦، ٧، ٥، ٦، ٧، ٦.
كيف يُرسم المنحنى التكراري؟
إظهار الإجابة
من المدرج: نأخذ مركز الفئة في كل مستطيل ومنه منتصف القطعة المستقيمة المقابلة في كل مستطيل، ثم نصل هذه المنتصفات بمنحنى ونغلقه من طرفيه بإضافة فئة قبل الأولى وفئة ثانية بعد الأخيرة على أن يكون تكرار كل فئة مضافة يساوي صفرًا. أو باستخدام مراكز الفئات برسم المنحنى الواصل بين النقاط (١٢٫٥، ٠)، (١٧٫٥، ٨)، (٢٢٫٥، ٥)، (٢٧٫٥، ٦)، (٣٢٫٥، ٧)، (٣٧٫٥، ٥)، (٤٢٫٥، ٦)، (٤٧٫٥، ٧)، (٥٢٫٥، ٦)، (٥٧٫٥، ٠).
كيف يُرسم المضلع التكراري؟
إظهار الإجابة
بالخطوات نفسها المتبعة في رسم المنحنى التكراري (من المدرج أو من مراكز الفئات) لكن نصل النقاط بقطع مستقيمة.
حاول ٣: (أ) كوّن جدولًا مماثلًا للمثال ٣ بطول فئة ٨ ملجم مبينًا علامات التكرار والتكرار ومركز الفئة (ب) ارسم المدرج والمنحنى والمضلع.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) عدد الفئات = ٤٠ ÷ ٨ = ٥ فئات: −١٥، −٢٣، −٣١، −٣٩، −٤٧ (الأخيرة تضم ٥٥ فنأخذها [٤٧، ٥٥] أو نضيف فئة)، مراكزها ١٩، ٢٧، ٣٥، ٤٣، ٥١، ثم نرسم المدرج والمنحنى والمضلع كما في المثال.
٣-١-ب-٣ المضلع التكراري المتجمع الصاعد والنازل
مثال ٤: الاتصالات الهاتفية في مكتب خدمات (٨ صباحًا إلى ٦ مساءً): −٨:٠٠ (١٥) · −١٠:٠٠ (٤١) · −١٢:٠٠ (٧٥) · −١٤:٠٠ (٦٠) · −١٦:٠٠ (٣٤). (أ) أكمل الجدول بالتكرار المتجمع الصاعد والنازل.
إظهار الإجابة
الصاعد (أقل من الحد الأعلى للفئة): أقل من ١٠ (١٥) · أقل من ١٢ (٥٦) · أقل من ١٤ (١٣١) · أقل من ١٦ (١٩١) · أقل من ١٨ (٢٢٥). النازل (الحد الأدنى للفئة فأكثر): ٨ فأكثر (٢٢٥) · ١٠ فأكثر (٢١٠) · ١٢ فأكثر (١٦٩) · ١٤ فأكثر (٩٤) · ١٦ فأكثر (٣٤).
مثال ٤ (ب، ج، د): كيف نمثل التكرار المتجمع الصاعد والنازل ونستنتج الوسيط؟
إظهار الإجابة
(ب) بالمنحنى التكراري المتجمع الصاعد والمنحنى التكراري المتجمع النازل. (ج) بالمضلع التكراري المتجمع الصاعد والنازل بالخطوات نفسها لكن نصل النقاط بقطع مستقيمة. (د) نأخذ من نقطة تقاطع الرسمين خطًا مستقيمًا عموديًا على الخط الأفقي فنجد أن قيمة الوسيط عند الساعة ١٣:٣٠ تقريبًا (الوسيط ≈ ١٣٫٥).
حاول ٤: معدل الدرجات السنوية في الرياضيات لـ ٢٠ طالبًا (النهاية العظمى ٢٠): (أ) جدول تكراري بفئات مع علامات التكرار والتكرار والصاعد والنازل (ب) المضلعان المتجمعان (ج) قيمة تقريبية للوسيط.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) نحدد المدى ثم طول الفئة وعدد الفئات، ونفرز القيم بعلامات التكرار، ثم نحسب الصاعد (أقل من الحد الأعلى) والنازل (الحد الأدنى فأكثر)، ونرسم المضلعين ونأخذ الوسيط من إحداثي تقاطعهما (ويقابل التكرار المتجمع ١٠ = نصف ٢٠).
٣-١-ب-٤ تمثيل البيانات باستخدام الخط المنكسر (Line Graph)
مثال ٥: عائدات دولة بالمليون دينار ١٩٩٨–٢٠٠٥: ٢٥٠٠، ٣٢٠٠، ٥٣٠٠، ٤٣٠٠، ٤٠٠٠، ٥٥٠٠، ٧١٠٠، ٨٠٠٠. مثّلها بالخط المنكسر. ماذا تتوقع؟
إظهار الإجابة
نأخذ على الخط الأفقي فترات متساوية للسنوات وعلى الرأسي فترات متساوية من ملايين الدنانير، ونضع النقاط التي تمثل كل زوج مرتب (سنة، عائدات) ونصل بينها بقطع مستقيمة. نلاحظ أن العائدات انخفضت خلال السنتين ٢٠٠١ و٢٠٠٢م ثم عادت إلى الارتفاع، ومن المتوقع أن تستمر بالارتفاع.
حاول ٥: الإنتاج السنوي للنفط (مليون برميل): ٢٠٠٠ (١٥٠) · ٢٠٠١ (٢٠٠) · ٢٠٠٢ (٣٠٠) · ٢٠٠٣ (٣٠٠) · ٢٠٠٤ (٣٥٠) · ٢٠٠٥ (٤٠٠). مثّلها بالخط المنكسر. ماذا تتوقع؟
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) نمثل الأزواج (٢٠٠٠، ١٥٠)، (٢٠٠١، ٢٠٠)، (٢٠٠٢، ٣٠٠)، (٢٠٠٣، ٣٠٠)، (٢٠٠٤، ٣٥٠)، (٢٠٠٥، ٤٠٠) ونصل بقطع مستقيمة. الإنتاج في ازدياد (ثبت بين ٢٠٠٢ و٢٠٠٣) فيُتوقع أن يستمر بالارتفاع.
مثال ٦: عدد الأيام المشمسة في شهر يوليو في مدينة باردة: ١٩٩٠ (١٣) · ١٩٩١ (١٤) · ١٩٩٢ (١١) · ١٩٩٣ (١٠) · ١٩٩٤ (١٢) · ١٩٩٥ (١١) · ١٩٩٦ (٩) · ١٩٩٧ (٩) · ١٩٩٨ (١٣) · ١٩٩٩ (١١) · ٢٠٠٠ (٨). مثّلها بالخط المنكسر. ماذا تلاحظ؟
إظهار الإجابة
نأخذ على الأفقي فترات متساوية للسنوات وعلى الرأسي فترات متساوية لعدد الأيام ونضع النقاط (سنة، أيام) ونصلها. نلاحظ أن عدد الأيام المشمسة يميل إلى التناقص على مر السنين.
حاول ٦: كمية المطر (ملم) في إحدى العواصم الأوروبية خلال شهور السنة: ١: ٥٤ · ٢: ٤٣ · ٣: ٣٢ · ٤: ٣٨ · ٥: ٥٢ · ٦: ٥٠ · ٧: ٥٥ · ٨: ٦٢ · ٩: ٥١ · ١٠: ٤٩ · ١١: ٥٠ · ١٢: ٤٩. مثّلها بالخط المنكسر. ماذا تلاحظ؟
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) نمثل الأزواج (الشهر، الكمية) ونصلها بقطع مستقيمة. نلاحظ أن أقل كمية في الشهر ٣ (٣٢ ملم) وأعلاها في الشهر ٨ (٦٢ ملم)، وأن الكمية بعد الشهر ٨ تتناقص تدريجيًا إلى نحو ٤٩ ملم.
المرشد لحل المسائل
عمر ٥٠٠ مصباح كهربائي بالساعات: −٣٠٠ (٤٥) · −٥٠٠ (١٥٥) · −٧٠٠ (٢٧٠) · −٩٠٠ (٣٠). (أ) أكمل الجدول بالتكرار المتجمع الصاعد والنازل والتكرار النسبي والنسبة المئوية (ب) مثّل بالمدرج والمنحنى والمضلع (ج) مثّل بالقطاعات الدائرية.
إظهار الإجابة
(أ) التكرار المتجمع الصاعد: ٤٥ · ٢٠٠ · ٤٧٠ · ٥٠٠. المتجمع النازل: ٥٠٠ · ٤٥٥ · ٣٠٠ · ٣٠. التكرار النسبي: ٤٥/٥٠٠ = ٩/١٠٠ · ١٥٥/٥٠٠ = ٣١/١٠٠ · ٢٧٠/٥٠٠ = ٢٧/٥٠ · ٣٠/٥٠٠ = ٣/٥٠. النسبة المئوية: ٩٪ · ٣١٪ · ٥٤٪ · ٦٪. (ب) نرسم المدرج بمستطيلات ارتفاعاتها ٤٥، ١٥٥، ٢٧٠، ٣٠ ثم المنحنى والمضلع بوصل مراكز القمم وإضافة فئتين تكرارهما صفر في الطرفين. (ج) الزوايا: ٩/١٠٠ × ٣٦٠ = ٣٢٫٤° · ٣١/١٠٠ × ٣٦٠ = ١١١٫٦° · ٢٧/٥٠ × ٣٦٠ = ١٩٤٫٤° · ٣/٥٠ × ٣٦٠ = ٢١٫٦°.
مسألة إضافية: ألوان شعر الرأس عند ٢٥ طالبًا (أسود، بني، كستنائي، أشقر). (أ) كوّن جدولًا بعلامات التكرار والتكرار النسبي والنسبة المئوية (ب) مثّل بالقطاعات الدائرية.
إظهار الإجابة
(حلّ نموذجي) نفرز الألوان بعلامات التكرار (المجموع ٢٥)، التكرار النسبي = التكرار ÷ ٢٥، النسبة المئوية = النسبي × ١٠٠٪ (كل مفردة = ٤٪)، وزاوية القطاع = النسبي × ٣٦٠° (كل مفردة = ١٤٫٤°).
مخطط تنظيمي وملخص الوحدة الثالثة
ما المخطط التنظيمي للوحدة الثالثة؟
إظهار الإجابة
عرض وتمثيل البيانات ← علامات التكرار ← التكرار (← المتجمع الصاعد · المتجمع النازل) · التكرار النسبي ← النسبة المئوية للتكرار · القطاعات الدائرية · المدرج التكراري · المنحنى التكراري · المضلع التكراري · الخط المنكسر.
ما جدول الأعداد العشوائية الذي في نهاية الكتاب؟
إظهار الإجابة
جدول من ٩٠ صفًا و١٤ عمودًا (صفحات ٧١–٧٢) كل خلية فيها عدد من خمسة أرقام، يُستخدم لسحب العينات العشوائية بقراءة أرقام من اليسار ابتداءً من صف وعمود محددين (أو الصف ١ والعمود ١ إذا لم يُحدَّد).
✎
اختبر نفسك
اختر الإجابة وسيظهر الصواب فورًاالنتيجة: 0 / 0
★ نصائح ليلة الاختبار
١) قوانين الجذور والأسس: √س × √ص = √(س ص) · (√س)² = س · √(س²) = |س| · ⁿ√(سᵐ) = س^(م/ن) · ب^(−ن) = ١/بⁿ · المرافق: (أ + √ب)(أ − √ب) = أ² − ب.
٢) قوانين الإحصاء: كسر المعاينة = حجم العينة ÷ حجم المجتمع · حجم عينة الطبقة = كسر المعاينة × حجم الطبقة · طول الفترة = حجم المجتمع ÷ حجم العينة · المدى = العظمى − الصغرى · طول الفئة = المدى ÷ عدد الفئات.
٣) أرقام تحفظ: التكرار النسبي = التكرار ÷ المجموع · النسبة المئوية = النسبي × ١٠٠ · زاوية القطاع = النسبي × ٣٦٠° · مركز الفئة = (الحد الأدنى + الأعلى) ÷ ٢ · مجموع النسب ١٠٠٪ ومجموع الزوايا ٣٦٠°.
٤) تصنيف البيانات: كيفية (اسمية، مرتبة) وكمية (مستمرة = عدد حقيقي، متقطعة = عدد صحيح) · الوسيط تقريبًا من تقاطع المضلعين المتجمعين الصاعد والنازل · وتذكّر أن بعض حلول «حاول أن تحل» مبنية على جدول الأعداد العشوائية فهي (حلّ نموذجي).