اضغط «إظهار الإجابة» تحت كل سؤال للتحقق من إجابتك، ثم جرّب «اختبر نفسك» في النهاية.
١
الجبر وحل المعادلات
الوحدة الأولى · صفحات 12–80 · خمسة دروس(١-١) دالة القيمة المطلقة · صفحات 16–32
ما الصورة الأساسية لدالة القيمة المطلقة؟ وما مكوّناتها؟
إظهار الإجابة
f(x) = |x| ، (١) المجال ℝ · (٢) المجال المقابل ℝ · (٣) القاعدة: f(x) = x إذا x ≥ 0 ، وf(x) = −x إذا x < 0.
ما المقصود بمحور التماثل؟
إظهار الإجابة
خط يقسم التمثيل البياني إلى جزأين متطابقين تمامًا (يحوّل التمثيل البياني إلى نفسه).
استنتج خواص بيان الدالة y = |x|.
إظهار الإجابة
١) اتحاد شعاعين لهما نفس نقطة البداية (رأس المنحنى) وهي نقطة الأصل، ويشبهان الحرف V · ٢) رأس المنحنى (0 , 0) وعنده أصغر قيمة للدالة · ٣) متماثلة حول محور الصادات x = 0 (تسمى فيما بعد دالة زوجية) · ٤) المدى [0 , ∞).
كيف نعيد تعريف |ax + b| دون رمز القيمة المطلقة؟
إظهار الإجابة
|ax+b| = ax+b إذا ax+b ≥ 0 ، و= −(ax+b) إذا ax+b < 0 (أي نضع ax+b = 0 لإيجاد نقطة التحول).
اذكر خواص القيمة المطلقة.
إظهار الإجابة
١) |x| ≥ 0 · ٢) |a·b| = |a|·|b| · ٣) |a+b| ≤ |a|+|b| · ٤) |a|² = a² · ٥) √(x²) = |x| · ٦) |−x| = |x| · ٧) |a−x| = |x−a|.
ما مجال دالة القيمة المطلقة؟
إظهار الإجابة
ℝ ما لم يُذكر غير ذلك (ويُكتب المجال أولًا عند رسم أي دالة).
رسم الدالة بالرأس ومحور التماثل (مثال ١)
ارسم بيان الدالة f(x) = |2x + 4|.
إظهار الإجابة
المجال ℝ · نضع 2x+4 = 0 فينتج x = −2 (محور التماثل) · الرأس (−2 , 0) · قيم يمين المحور: f(−1)=2 ، f(0)=4 · ومن التماثل: f(−3)=2 ، f(−4)=4 · المنحنى مفتوح لأعلى. الطريقة الثانية: إعادة تعريف القيمة المطلقة (2x+4 إذا x ≥ −2 ، و−2x−4 إذا x < −2) ثم جدول قيم.
ما أثر الإشارة السالبة خارج القيمة المطلقة؟
إظهار الإجابة
لا تؤثر على نقطة رأس المنحنى، لكن يصبح المنحنى مفتوحًا لأسفل ويتغير المدى إلى (−∞ , c].
أوجد الرأس ومحور التماثل والمدى للدالة y = |x − 2| + 1 (مثال ٢أ).
إظهار الإجابة
a=1 , b=−2 , c=1 · الرأس (2 , 1) · محور التماثل x = 2 · المدى [1 , ∞) وعند الرأس أصغر قيمة.
وللدالة y = −|2x + 3| (مثال ٢ب)؟
إظهار الإجابة
a=2 , b=3 , c=0 · الرأس (−3/2 , 0) · محور التماثل x = −3/2 · المدى (−∞ , 0] وعند الرأس أكبر قيمة.
تحقق من فهمك (٢): أوجد الرأس والمحور والمدى ثم ارسم: أ) f(x)=|x+1|+3 ب) y=−|x+1| ج) g(x)=−|½x+1| د) f(x)=1−|x−2|.
إظهار الإجابة
أ) الرأس (−1 , 3) · المحور x=−1 · المدى [3 , ∞) · ب) الرأس (−1 , 0) · المحور x=−1 · المدى (−∞ , 0] · ج) a=½ , b=1 فالرأس (−2 , 0) · المحور x=−2 · المدى (−∞ , 0] · د) الرأس (2 , 1) · المحور x=2 · المدى (−∞ , 1].
رسم الدالة بالتحويلات الهندسية (دالة المرجع g(x) = |x|)
كيف نرسم f(x) = |x + 3| بالإزاحة؟
إظهار الإجابة
نجد صفر المطلق: x + 3 = 0 ⇒ x = −3 (وهو محور التماثل) · نكوّن جدول قيم · بيانها هو بيان |x| منسحبًا 3 وحدات في الاتجاه السالب لمحور السينات (جهة اليسار).
كيف نحصل على بيان f(x) = |x − 1|؟ (مثال ٣)
إظهار الإجابة
بإزاحة بيان |x| وحدة واحدة جهة اليمين (محور التماثل x = 1).
كيف نحصل على بيان f(x) = |x| − 1؟ وعلى |x| + 2؟ (مثال ٤)
إظهار الإجابة
الأول: بانسحاب وحدة واحدة في الاتجاه السالب لمحور الصادات (لأسفل) والرأس (0 , −1) · الثاني: بانسحاب وحدتين لأعلى والرأس (0 , 2).
ارسم f(x) = |x − 4| + 2 ثم f(x) = |x + 3| − 1 بالإزاحة (مثال ٥).
إظهار الإجابة
الأولى: 4 وحدات لليمين ثم وحدتان لأعلى (الرأس (4 , 2)، وتتقاطع مع |x| في (3 , 3)) · الثانية: 3 وحدات لليسار ثم وحدة لأسفل (الرأس (−3 , −1)، وتقطع محور السينات عند x = −4 وx = −2).
تحقق من فهمك (٣): حدّد مسافة الانسحاب لكل من: |x−3| ، |x+2| ، |x−3.5| ، |x−1.5|.
إظهار الإجابة
3 يمينًا · 2 يسارًا · 3.5 يمينًا · 1.5 يمينًا.
مسألة المظلة (ص 28): مظلة على شكل V تمثلها y = |x| عُدّلت بإزاحة 3 وحدات يمينًا و4 وحدات لأعلى؛ اكتب الدالة الجديدة وحدد الرأس.
إظهار الإجابة
الدالة الجديدة y = |x − 3| + 4 · رأس المنحنى (3 , 4).
ما ترتيب التحويلات عند رسم f(x) = −|x + b| + c؟ ولماذا لا يجوز عكس الترتيب؟ (مثال ٦)
إظهار الإجابة
١) انعكاس في محور السينات أولًا للدالة الأساسية · ٢) إزاحة أفقية (يمينًا أو يسارًا) · ٣) إزاحة رأسية (لأعلى أو لأسفل) · ٤) تحديد الرأس ومحور التماثل. وعكس الترتيب (إزاحة ثم انعكاس) يعطي منحنى آخر غير المطلوب.
ارسم f(x) = −|x + 1| + 2 بالتحويلات.
إظهار الإجابة
انعكاس لـ |x| ثم إزاحة وحدة جهة اليسار ثم وحدتان لأعلى · الرأس (−1 , 2) · يقطع محور السينات عند x = −3 وx = 1.
الأنشطة والتقويم
(أتدرب ١–٥) ضع ✓ أو ✗: (١) بيان f(x)=|x| ينطبق على بيان g(x)=x (٢) بيان f(x)=|x| انعكاس لبيان g(x)=−|x| حول محور السينات (٣) بيان f(x)=|x−4|+2 ينتج بانسحاب 4 وحدات يمينًا ووحدتين لأعلى (٤) محور تماثل f(x)=|x−3| هو x=3 (٥) مدى f(x)=|x+3|−3 هو [−3 , ∞).
إظهار الإجابة
(١) ✗ (ينطبق عليه فقط عندما x ≥ 0) · (٢) ✓ · (٣) ✓ · (٤) ✓ · (٥) ✓.
اختر: أي الدوال التالية رأس منحناها (−3 , 2)؟
إظهار الإجابة
y = |x + 3| + 2 (الرأس (−a , c) مع a = 3 وc = 2).
عيّن المجال والمدى: أ) f(x)=2|x| ب) g(x)=|−3x| ج) g(x)=|x|+3 د) h(x)=|x+4| هـ) f(x)=2|x−4|−6.
إظهار الإجابة
المجال ℝ في الجميع · أ) المدى [0 , ∞) · ب) [0 , ∞) (لأن |−3x| = 3|x|) · ج) [3 , ∞) · د) [0 , ∞) · هـ) الرأس (4 , −6) والمدى [−6 , ∞).
ارسم باستخدام التحويلات: f(x)=|x+5| · h(x)=|x−2| · h(x)=|x|−2 · h(x)=−|x+3| · f(x)=−|x−4|+3 · f(x)=|1−x|+2.
إظهار الإجابة
|x+5|: 5 يسارًا · |x−2|: 2 يمينًا · |x|−2: 2 لأسفل · −|x+3|: انعكاس ثم 3 يسارًا (الرأس (−3 , 0)) · −|x−4|+3: انعكاس ثم 4 يمينًا ثم 3 لأعلى (الرأس (4 , 3)) · |1−x|+2 = |x−1|+2: وحدة يمينًا ثم وحدتان لأعلى (الرأس (1 , 2)).
ارسم على نفس المستوى f(x)=|x−2| وg(x)=−|x−1|+3 وأوجد السينات لنقاط التقاطع.
إظهار الإجابة
نحل |x−2| = 3 − |x−1| ⇒ |x−2| + |x−1| = 3 ⇒ x = 0 أو x = 3.
(تفكير عليا) ارسم f(x)=√((x−2)²) وf(x)=√(x²−6x+9)؛ ومثّل f(x)=3−|2x| وحدد مجاله ومداه.
إظهار الإجابة
√((x−2)²) = |x−2| (الرأس (2 , 0)) · √(x²−6x+9) = √((x−3)²) = |x−3| (الرأس (3 , 0)) · f(x)=3−|2x|: المجال ℝ والمدى (−∞ , 3] والرأس (0 , 3).
المساحة المحصورة بين منحنى f(x)=|x+2|−2 ومحور السينات تساوي كم وحدة مربعة؟
إظهار الإجابة
يقطع المحور عند x=−4 وx=0 والرأس (−2 , −2): مثلث قاعدته 4 وارتفاعه 2 ⇒ المساحة ½ × 4 × 2 = 4 وحدات مربعة.
(٢-١) حل معادلة القيمة المطلقة · صفحات 33–41
كيف نحل |x| = A؟
إظهار الإجابة
إذا A > 0: حلّان x = A أو x = −A ، S = {−A , A} · إذا A = 0: حل وحيد x = 0 ، S = {0} · إذا A < 0: لا حل S = ∅ (لأن |A| ≥ 0 دائمًا).
ما القاعدة الأساسية لحل |ax + b| = c حيث c ≥ 0؟
إظهار الإجابة
نحوّلها إلى معادلتين لا تحتويان القيمة المطلقة بجعل ما بداخلها موجبًا مرة وسالبًا مرة: ax + b = c أو ax + b = −c.
أوجد مجموعة حل: |5x+2| = −4 ، |3x+2| = 0 ، |x−3| = 2.
إظهار الإجابة
الأولى S = ∅ لأن −4 < 0 · الثانية 3x+2=0 ⇒ x = −2/3 ، S = {−2/3} · الثالثة x−3=2 أو x−3=−2 ⇒ S = {1 , 5}.
أولًا: المعادلة على الصورة |ax + b| = |cx + d|
أوجد مجموعة حل |x − 2| = |2x − 1| بالطريقتين (مثال ١).
إظهار الإجابة
الأولى (الخواص): x−2 = 2x−1 ⇒ x = −1 ، أو x−2 = −(2x−1) ⇒ 3x = 3 ⇒ x = 1 · الثانية (التربيع): x²−4x+4 = 4x²−4x+1 ⇒ 3x²−3 = 0 ⇒ 3(x−1)(x+1) = 0 · S = {−1 , 1}.
أوجد مجموعة حل |x + 4| = |x + 3| و|2y + 1| = |3y + 4| (مثال ٢).
إظهار الإجابة
الأولى: x+4 = x+3 عبارة خاطئة (0x = −1) فلا حل منها، وx+4 = −(x+3) ⇒ x = −7/2 · S = {−7/2} · الثانية بالتربيع: 5y²+20y+15 = 0 ⇒ 5(y+1)(y+3) = 0 · S = {−1 , −3}.
تحقق من فهمك (١): حل |x − 1| = |x + 2|.
إظهار الإجابة
x−1 = x+2 مستحيلة · x−1 = −(x+2) ⇒ 2x = −1 · S = {−1/2}.
ثانيًا: المعادلة على الصورة |ax + b| = cx + d
أوجد مجموعة حل |x − 3| = 3x − 1 (مثال ٣).
إظهار الإجابة
الشرط 3x−1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 1/3 · من x−3 = 3x−1 ⇒ x = −1 مرفوضة (لا تحقق الشرط) · من x−3 = −(3x−1) ⇒ x = 1 مقبولة · S = {1}.
أوجد مجموعة حل |4x + 2| = 1 − 2x (مثال ٤أ).
إظهار الإجابة
الشرط 1−2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1/2 · 4x+2 = 1−2x ⇒ x = −1/6 ✓ · 4x+2 = −(1−2x) ⇒ x = −3/2 ✓ · S = {−3/2 , −1/6}.
أوجد مجموعة حل |x + 4| + 2x + 3 = 0 (مثال ٤ب).
إظهار الإجابة
نعزل القيمة المطلقة: |x+4| = −2x−3 والشرط −2x−3 ≥ 0 ⇒ x ≤ −3/2 · x+4 = −2x−3 ⇒ x = −7/3 ✓ · x+4 = 2x+3 ⇒ x = 1 مرفوضة · S = {−7/3}.
ما الأخطاء التي يجب تجنبها (انتبه)؟
إظهار الإجابة
|2A| = 2|A| وليس |2A| = 2A دائمًا · |3x − 9| = 3|x − 3| · |3 − x| = |x − 3| · √((x−2)²) = |x − 2| وليس x − 2 · x² = |x|².
مسألة المنزل والحديقة (ص 40): تقع المدرسة على بُعد 2 km من حديقة الأحمدي في اتجاه، ويبعد النادي الرياضي 7 km عنها في الاتجاه المعاكس، ويقع منزل سعد على الخط المستقيم بحيث بعده عن النادي ضعف بعده عن المدرسة؛ أين المنزل؟
إظهار الإجابة
نضع الحديقة عند 0 والمدرسة عند −2 والنادي عند 7 والمنزل عند x: |x − 7| = 2|x + 2| ⇒ x = −11 مرفوضة (المنزل يجب أن يقع بين المدرسة والنادي) أو x = 1 ✓ · المنزل يبعد 1 km عن الحديقة في اتجاه النادي الرياضي.
الأنشطة والتقويم
(أتدرب) اختر: حل |x + 2| = x + 2 هو؟ و|x − 2| + x = 2؟
إظهار الإجابة
الأولى x ∈ [−2 , ∞) (تتحقق عندما x + 2 ≥ 0) · الثانية |x−2| = 2−x ⇒ x ∈ (−∞ , 2].
(أتدرب) حل المعادلات: |x−3| = |x+1| ، |x−3| = |3−x| ، |x−4| = |4−x| ، |2x−3| = |x+3|.
إظهار الإجابة
S = {1} · S = ℝ (متساويان دائمًا) · S = ℝ · S = {0 , 6}.
أوجد مجموعة حل: أ) |x−4| = |x+2| ب) |x−2| = |x+4| ج) |x+4| + 23 = 17 د) |4−5x| + |3x+1| = 0.
إظهار الإجابة
أ) S = {1} · ب) S = {−1} · ج) |x+4| = −6 فلا حل S = ∅ · د) كلا الحدّين غير سالب فلا بد أن يكونا صفرًا معًا: x = 4/5 وx = −1/3 متناقضتان ⇒ S = ∅.
أوجد مجموعة حل: أ) |x−3| = 2x−1 ب) |x−1| = 5x+10 ج) |2y+3| = 3y−2 د) |3y−7| = 2y−5 هـ) |2i−3| = 4i−1 و) |2x+6| = x−3.
إظهار الإجابة
أ) S = {4/3} (ترفض x = −2) · ب) S = {−3/2} (ترفض x = −11/4) · ج) S = {5} (ترفض y = −1/5) · د) S = ∅ (القيمتان 2 و12/5 لا تحققان y ≥ 5/2) · هـ) S = {2/3} (ترفض i = −1) · و) S = ∅ (القيمتان −9 و−1 لا تحققان x ≥ 3).
(تفكير عليا) حل (x+5)² = 9 باستخدام خواص القيمة المطلقة.
إظهار الإجابة
|x+5| = 3 ⇒ x+5 = 3 أو x+5 = −3 ⇒ S = {−2 , −8}.
(تفكير عليا) أوجد حل √(x²−2x+1) + x = 5 وحل |3x−9| − |3−x| = 10.
إظهار الإجابة
الأولى: |x−1| + x = 5 فإذا x ≥ 1: 2x−1 = 5 ⇒ x = 3 ✓ ، وإذا x < 1 تؤول إلى 1 = 5 مستحيل ⇒ S = {3} · الثانية: 3|x−3| − |x−3| = 10 ⇒ |x−3| = 5 ⇒ S = {8 , −2}.
إذا كانت مجموعة حل |x − a| = b هي {5 , 11} فما قيمة (a , b)؟
إظهار الإجابة
a منتصف الحلّين = (5+11)/2 = 8 وb نصف المسافة بينهما = 3 ⇒ (a , b) = (8 , 3).
(٣-١) حل معادلة من الدرجة الثانية في متغير واحد «جبريًا وبيانيًا» · صفحات 42–53
ما أنواع الدوال التي تعلمناها (مفاهيم أساسية)؟
إظهار الإجابة
الدالة الثابتة f(x) = c (خط أفقي يوازي محور السينات ويقطع محور الصادات عند c) · الدالة الخطية f(x) = ax + b ، a ≠ 0 (مستقيم) · الدالة التربيعية f(x) = ax² + bx + c (قطع مكافئ).
ما خطوات حل المعادلة التربيعية بيانيًا؟
إظهار الإجابة
١) نضع المعادلة على الصورة ax² + bx + c = 0 · ٢) نفرض f(x) = ax² + bx + c ونرسم منحناها · ٣) نعيّن نقاط تقاطع المنحنى مع محور السينات، فتكون إحداثياتها السينية هي حلول المعادلة.
حل بيانيًا (مثال ١): x² − 2x − 3 = 0 ، −x² − 4x − 4 = 0 ، x² + 2 = 0.
إظهار الإجابة
الأولى: يقطع المنحنى المحور عند x = −1 وx = 3 ⇒ S = {−1 , 3} · الثانية: يمس المحور عند x = −2 ⇒ S = {−2} · الثالثة: لا يقطع المحور نهائيًا ⇒ S = ∅.
ما المميّز؟ وماذا يحدد؟
إظهار الإجابة
المقدار Δ = b² − 4ac (دلتا) ويحدد عدد الحلول الحقيقية دون حل المعادلة: Δ > 0 جذران حقيقيان مختلفان (عدد الحلول 2) · Δ = 0 جذران حقيقيان متساويان (1 مكرر) · Δ < 0 لا جذور حقيقية (عدد الحلول 0).
حدد عدد الحلول بدون حل (مثال ٢): 2x² − 4x + 2 = 0 ، 4x² − 4x − 3 = 0 ، x² + 2x + 3 = 0.
إظهار الإجابة
الأولى Δ = 16 − 16 = 0 ⇒ حل واحد مكرر · الثانية Δ = 16 + 48 = 64 > 0 ⇒ حلّان · الثالثة Δ = 4 − 12 = −8 < 0 ⇒ لا حل حقيقي.
حل بالقانون (مثال ٣): x² − 10x + 25 = 0 و2x² − 7x − 4 = 0.
إظهار الإجابة
الأولى Δ = 0 فـ x = 5 ، S = {5} · الثانية Δ = 49 + 32 = 81 فـ x = (7 ± 9)/4 ⇒ S = {4 , −1/2}.
حل x² − 3x = 0 بالقانون (مثال ٤)، وما الملحوظة عند c = 0؟
إظهار الإجابة
a=1 , b=−3 , c=0 ، Δ = 9 ، x = (3 ± 3)/2 ⇒ S = {0 , 3} · عندما c = 0 يكون أحد الجذرين صفرًا دائمًا.
ما الملحوظة عن معامل x² وشكل المنحنى؟
إظهار الإجابة
إذا كان معامل x² موجبًا فالمنحنى مفتوح لأعلى، وإذا كان سالبًا فمفتوح لأسفل؛ وعدد نقاط التقاطع مع محور السينات يساوي عدد الحلول الحقيقية.
حل x² − 8 = 0 (مثال ٦).
إظهار الإجابة
x² = 8 ⇒ x = ±√8 = ±2√2 ⇒ S = {2√2 , −2√2}.
مسائل لفظية: عددان فرديان متتاليان مجموع مربعيهما 34 فما العددان؟ (مثال ٥)
إظهار الإجابة
إذا كان الأول x فالتالي x + 2: x² + (x+2)² = 34 ⇒ x² + 2x − 15 = 0 ⇒ x = 3 أو x = −5 ⇒ العددان 3 , 5 (أو −5 , −3).
أوجد عددين زوجيين متتاليين مجموع مربعيهما 100 (تحقق ٥أ).
إظهار الإجابة
x² + (x+2)² = 100 ⇒ x² + 2x − 48 = 0 ⇒ x = 6 أو x = −8 ⇒ العددان 6 , 8 (أو −8 , −6).
لماذا لا تقبل قيمة سالبة في مسائل الأبعاد؟
إظهار الإجابة
لأن الأبعاد (الطول والعرض) لا يمكن أن تكون قيمها سالبة، فتُرفض الجذور السالبة.
الأنشطة والتقويم
(أتدرب) اربط كل معادلة بعدد حلولها: x² + 4x + 4 = 0 ، x² + 4x + 5 = 0 ، x² − 6x + 8 = 0 .
إظهار الإجابة
الأولى Δ = 0 (حل واحد x = −2) · الثانية Δ = 16 − 20 = −4 (لا حل) · الثالثة Δ = 36 − 32 = 4 (S = {2 , 4} وهي نفس الحل البياني في الفترة [1 , 5]).
تحقق من فهمك (١): حل بيانيًا x² − 6x + 8 = 0 في الفترة [1 , 5] وx² + 4x + 4 = 0 في [−4 , 0] وx² + 4x + 5 = 0 في [−4 , 0].
إظهار الإجابة
S = {2 , 4} · S = {−2} · S = ∅.
تحقق من فهمك (٣أ): حل بالقانون x² + 2x − 3 = 0 ومثيلاتها (مثل 4x² − 5x + 1 = 0).
إظهار الإجابة
x² + 2x − 3 = 0: Δ = 16 ⇒ x = 1 أو x = −3 · 4x² − 5x + 1 = 0: Δ = 9 ⇒ x = (5 ± 3)/8 ⇒ S = {1 , 1/4}.
(٤-١) مجموع وناتج ضرب جذري معادلة تربيعية — تكوين المعادلة بمعلومية جذريها · صفحات 54–61
كيف نستنتج مجموع الجذرين وحاصل ضربهما من القانون العام؟
إظهار الإجابة
الجذران ℓ = (−b + √Δ)/2a وm = (−b − √Δ)/2a فمجموعهما −b/a وحاصل ضربهما (b² − Δ)/4a² = c/a.
ما مصطلح الدرس؟
إظهار الإجابة
مجموع الجذرين (Sum of the roots) · حاصل ضرب الجذرين (Product of the roots) · المعادلة التربيعية بمعلومية جذريها.
إذا كان حاصل ضرب جذري 3x² + 10x − c = 0 يساوي −2/3؛ فما c؟ (تحقق ١)
إظهار الإجابة
حاصل الضرب = −c/3 = −2/3 ⇒ c = 2 ، وعند استخدام قانون حاصل الضرب c/a نراعي إشارة الحد الثابت.
إذا كان مجموع جذري 2x² + bx − 5 = 0 معلومًا فكيف نجد b؟ (مثال ٢)
إظهار الإجابة
نستخدم قانون المجموع −b/a ونحل المعادلة الناتجة للمجهول b.
ما الملحوظة المهمة عند c = 0؟
إظهار الإجابة
أحد الجذرين صفر والآخر −b/a.
ما قوانين التعبير عن ℓ² + m² و1/ℓ + 1/m؟
إظهار الإجابة
ℓ² + m² = (ℓ + m)² − 2ℓm · 1/ℓ + 1/m = (ℓ + m)/(ℓ · m) ، وتُحسب باستخدام المجموع والضرب دون حل المعادلة.
كوّن معادلة جذراها −3 و4 بطريقتين (مثال ٤).
إظهار الإجابة
الأولى بالقانون: المجموع 1 والضرب −12 ⇒ x² − x − 12 = 0 · الثانية بالتحليل: (x + 3)(x − 4) = 0 ⇒ x² − x − 12 = 0.
هل المعادلة التي جذراها −3 و3 وحيدة؟ (فكّر معي)
إظهار الإجابة
لا؛ يوجد عدد غير منتهٍ من المعادلات لها نفس الجذرين، صورتها العامة: k[x² − (ℓ + m)x + ℓ·m] = 0 ، k ∈ ℝ ، k ≠ 0 (مثل x² − 9 = 0 و2x² − 18 = 0).
ما ملاحظات الحالات الخاصة في ax² + bx + c = 0؟
إظهار الإجابة
عند b = 0 يكون ℓ + m = 0 فأحد الجذرين نظير جمعي للآخر · عند c = a يكون ℓ · m = 1 فأحدهما نظير ضربي (مقلوب) للآخر · عند c = 0 أحد الجذرين صفر.
تكوين معادلة بمعلومية معادلة أخرى
إذا كان ℓ , m جذري 2x² − 3x − 1 = 0 فكوّن المعادلة التي جذراها 2ℓ , 2m (مثال ٦).
إظهار الإجابة
ℓ + m = 3/2 وℓ · m = −1/2 · المجموع الجديد 2ℓ + 2m = 2(ℓ + m) = 3 · الضرب الجديد 4ℓm = −2 ⇒ x² − 3x − 2 = 0.
الأنشطة والتقويم
كوّن المعادلة التربيعية التي جذراها: 2 , −2 · 4 , −1 · (تحقق ٤).
إظهار الإجابة
x² − 4 = 0 · المجموع 3 والضرب −4 ⇒ x² − 3x − 4 = 0.
إذا كان ℓ , m جذري 2x² + 15x − 8 = 0 فكوّن المعادلة التي جذراها 2ℓ , 2m (تحقق ٦).
إظهار الإجابة
ℓ + m = −15/2 وℓm = −4 ⇒ المجموع الجديد −15 والضرب الجديد −16 ⇒ x² + 15x − 16 = 0.
(تفكير) متى يكون جذرا المعادلة مقلوبين؟ ومتى يكونان متعاكسين؟
إظهار الإجابة
مقلوبين عندما c = a (حاصل الضرب 1) · متعاكسين (أحدهما نظير جمعي للآخر) عندما b = 0 (المجموع 0).
(٥-١) حل متباينة من الدرجة الثانية · صفحات 62–79
ما مصطلحات الدرس؟
إظهار الإجابة
متباينة من الدرجة الثانية (Quadratic Inequality) · أقل من / أقل من أو يساوي · أكبر من / أكبر من أو يساوي · ويُكتب الحل على صورة فترة.
مسألة المطار: منطقة مستطيلة عرضها x وطولها x + 6 ولا تزيد مساحتها على 40 م²؛ كيف نترجم الموقف؟
إظهار الإجابة
المساحة x(x + 6) ≤ 40 ⇒ x² + 6x − 40 ≤ 0 ⇒ (x + 10)(x − 4) ≤ 0 ⇒ مع x > 0 (بُعد) يكون العرض 0 < x ≤ 4 متر؛ والحل مجموعة قيم لا قيمة واحدة.
أولًا: الحل بالتحليل وخواص المتباينات
ما خطوات الحل بالتحليل؟
إظهار الإجابة
نضع المتباينة على الصورة العامة (صفر في أحد الطرفين) · نحلل المقدار إلى عاملين · نحلل الحالتين: العاملان من إشارة واحدة أو مختلفا الإشارة بحسب اتجاه المتباينة · نأخذ اتحاد/تقاطع الحلول ونمثلها على خط الأعداد.
ثانيًا: الحل بدراسة الإشارة (الجدول والبيان)
ما معنى حل المتباينة بيانيًا؟
إظهار الإجابة
هو إيجاد قيم x التي يكون عندها منحنى الدالة فوق محور السينات (للمتباينة > 0) أو تحته (للمتباينة < 0) أو يمسه.
حل −x² − x + 6 > 0 (تحقق ٣).
إظهار الإجابة
نضرب في −1 فتصبح x² + x − 6 < 0 ⇒ (x + 3)(x − 2) < 0 ⇒ −3 < x < 2 ⇒ مجموعة الحل (−3 , 2).
الحل بالجذر التربيعي (متباينات من الصورة (ax+b)² ? c)
حل (5x + 7)² + 3 < 2 و2x² + 5 ≥ 23 (مثال ٤).
إظهار الإجابة
الأولى: (5x+7)² < −1 مستحيلة ⇒ S = ∅ · الثانية: x² ≥ 9 ⇒ |x| ≥ 3 ⇒ S = (−∞ , −3] ∪ [3 , ∞).
حل 3x² − 4 ≤ 8 و(2 − 3x)² < 1 (تحقق ٤).
إظهار الإجابة
الأولى: x² ≤ 4 ⇒ −2 ≤ x ≤ 2 ⇒ [−2 , 2] · الثانية: |2 − 3x| < 1 ⇒ −1 < 2 − 3x < 1 ⇒ 1/3 < x < 1 ⇒ (1/3 , 1).
الأنشطة والتقويم
علّل: مجموعة حل x² + 1 < 0 هي ∅ وحل x² + 1 > 0 هو ℝ.
إظهار الإجابة
لأن x² ≥ 0 دائمًا فـ x² + 1 ≥ 1 > 0 لكل x حقيقي، فلا يوجد عدد يجعلها سالبة، ويحققها كل عدد حقيقي.
حل x² − 5x + 6 > 0 ومثّله على خط الأعداد.
إظهار الإجابة
(x − 2)(x − 3) > 0 ⇒ x < 2 أو x > 3 ⇒ (−∞ , 2) ∪ (3 , ∞).
حل x² − 4x − 5 ≤ 0.
إظهار الإجابة
(x − 5)(x + 1) ≤ 0 ⇒ −1 ≤ x ≤ 5 ⇒ [−1 , 5].
٢
الهندسة المستوية
الوحدة الثانية · صفحات 80–135 · خمسة دروس(١-٢) التناسب · صفحات 82–95
ما أسماء حدود التناسب a : b = c : d؟
إظهار الإجابة
a الأول المتناسب · b الثاني المتناسب · c الثالث المتناسب · d الرابع المتناسب · وa , d طرفا التناسب · وb , c وسطا التناسب.
ما خاصية الضرب التقاطعي (خاصية ١)؟ وعكسها (خاصية ٢)؟
إظهار الإجابة
إذا a/b = c/d فإن a·d = b·c أي حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين (قاعدة الضرب التقاطعي) · وعكسها صحيح: إذا a·d = b·c فإن a/b = c/d.
ما خاصية (٣) في التناسب؟
إظهار الإجابة
إذا a/b = c/d فإن: (١) b/a = d/c (قلب النسبتين) · (٢) a/c = b/d (تبديل الوسطين) · (٣) (a+b)/b = (c+d)/d وكذلك (a−b)/b = (c−d)/d (جمع وطرح).
ما خاصية (٤) (الثابت k)؟
إظهار الإجابة
إذا a/b = c/d = k فإن a = bk وc = dk ، k ≠ 0 (يُفيد في فرض x = 3k , y = 7k عند معرفة النسبة بين متغيرين).
ماذا ينتج عن جمع المقدمات والتوالي في نسب متساوية؟
إظهار الإجابة
إذا كانت نسب متساوية فإن مجموع المقدمات ÷ مجموع التوالي = إحدى النسب، سواء مباشرة أو بعد ضرب حدّي أي نسبة في عدد حقيقي لا يساوي الصفر (لأن النسبة لا تتغير بضرب حدّيها في عدد غير صفري). ويسمى x في x : y مقدّم النسبة وy تالي النسبة.
إذا كانت 2 , x , 4 , 6 أعدادًا متناسبة فما x؟ (مثال ١)
إظهار الإجابة
2/x = 4/6 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3.
أوجد الرابع المتناسب للأعداد 1 , 3 , 9 (مثال ٢) والثالث المتناسب لـ 4 , 7 , … , 35 (تحقق ٢).
إظهار الإجابة
1/3 = 9/x ⇒ x = 27 · 4/7 = x/35 ⇒ x = 20.
أوجد العدد الذي إذا طُرح من حدّي النسبة 7 : 9 أصبحت 4 : 5 (مثال ٣).
إظهار الإجابة
(7 − x)/(9 − x) = 4/5 ⇒ 35 − 5x = 36 − 4x ⇒ x = −1.
إذا كان (5x − 1) : (x + 4) = 4 : 5 فأوجد x (مثال ٤)، وإذا كان (2x + 3) : (3x − 5) = 3 : 4 فما x؟ (تحقق ٤)
إظهار الإجابة
الأولى: 25x − 5 = 4x + 16 ⇒ 21x = 21 ⇒ x = 1 · الثانية: 8x + 12 = 9x − 15 ⇒ x = 27.
إذا كان 5a = 4b حيث a , b ≠ 0 فأوجد a : b (مثال ٥).
إظهار الإجابة
a/b = 4/5 أي a : b = 4 : 5.
أوجد x : y إذا كان (5x − 3y) = 2(2x + y) (مثال ٦).
إظهار الإجابة
5x − 3y = 4x + 2y ⇒ x = 5y (فصل المتغيرات) ⇒ x : y = 5 : 1.
إذا كانت النسبة بين قياسات زوايا مثلث 4 : 5 : 6 فاحسب كل زاوية (استخدام التناسب في الهندسة).
إظهار الإجابة
نفرض 4k , 5k , 6k ومجموع زوايا المثلث 180° ⇒ 15k = 180 ⇒ k = 12 ⇒ الزوايا 48° , 60° , 72°.
إذا كانت الأعداد 5 , 6 , 3 متناسبة مع a , b , c فأوجد (a + 2b + c) / (3a + b + c) (مثال ٨).
إظهار الإجابة
نضع a = 5k , b = 6k , c = 3k ⇒ البسط 5k + 12k + 3k = 20k والمقام 15k + 6k + 3k = 24k ⇒ القيمة 5/6.
مسألة كرة السلة: يفقد إبراهيم 300 سعرة بممارسة 30 دقيقة؛ كم دقيقة لفقد 450 سعرة؟
إظهار الإجابة
30/x = 300/450 ⇒ 300x = 13500 ⇒ x = 45 دقيقة.
الأنشطة والتقويم
كوّن تناسبًا من العددين 3 , 6 ثم تحقق من خاصية (٣): 3/6 = 5/10.
إظهار الإجابة
3·10 = 6·5 = 30 ✓ · قلب: 6/3 = 10/5 ✓ · تبديل: 3/5 = 6/10 ✓ · جمع: (3+6)/6 = (5+10)/10 = 3/2 ✓.
(أسئلة المقال) أوجد الرابع المتناسب لـ 5 , 7 , 10 والثالث المتناسب لـ 4 , 6 , … , 9 وقيمة x إذا كانت x , 5 , 20 , 25 متناسبة.
إظهار الإجابة
5/7 = 10/x ⇒ x = 14 · 4/6 = x/9 ⇒ x = 6 · x/5 = 20/25 ⇒ x = 4.
(٢-٢) تشابه المضلعات · صفحات 96–103
ما العلاقة بين التطابق والتشابه؟ (تعميم ٢)
إظهار الإجابة
المضلعان المتطابقان متشابهان (نسبة التشابه 1) ، لكن المتشابهين ليسا بالضرورة متطابقين.
ما خاصية التعدي في التشابه؟ (تعميم ٣)
إظهار الإجابة
إذا كان A ~ B وB ~ C فإن A ~ C.
ما الأشكال الدائمة التشابه؟
إظهار الإجابة
المربعات جميعها متشابهة، والمثلثات المتطابقة الأضلاع، والدوائر، بينما المستطيلات والمعينات والمثلثات القائمة ليست متشابهة دائمًا (الأضلاع المتناظرة غير متناسبة).
ما ملاحظة كتابة عبارة التشابه؟
إظهار الإجابة
يُراعى ترتيب رؤوس المضلعين المتناظرة عند كتابة عبارة التشابه حتى يسهل كتابة التناسب بين الأضلاع المتناظرة.
إذا كانت نسبة التشابه لمضلعين متشابهين 5 ومحيط الأصغر 14.5 cm فما محيط الأكبر؟ (مثال ٢)
إظهار الإجابة
المحيط الأكبر = 5 × 14.5 = 72.5 cm.
شكلان رباعيان متشابهان نسبة التشابه 5 ومساحة الأكبر 30 cm²؛ ما مساحة الأصغر؟ (تحقق ٢)
إظهار الإجابة
النسبة بين المساحتين = 5² = 25 ⇒ مساحة الأصغر = 30 ÷ 25 = 1.2 cm².
في الشكلين XYZL ~ ABCD كيف نجد الأطوال والزوايا المجهولة؟ (مثال ١)
إظهار الإجابة
الزوايا المتناظرة متساوية، وأطوال الأضلاع المتناظرة متناسبة: نكتب AB/XY = BC/YZ = … ونحل بالضرب التقاطعي.
(٣-٢) تشابه المثلثات · صفحات 104–115
ما أدوات إثبات تشابه المثلثات في الكتاب؟
إظهار الإجابة
الزاوية المشتركة · الزاويتان المتقابلتان بالرأس · الزاويتان المتبادلتان أو المتناظرتان عند توازي مستقيمين · مجموع زوايا المثلث 180° · الزاوية القائمة.
في الشكل m(∠C) = m(∠B) = 50° والتقاطع M؛ أثبت ΔDBM ~ ΔACM (مثال ١).
إظهار الإجابة
m(∠C) = m(∠B) = 50° معطى · m(∠CMA) = m(∠BMD) بالتقابل بالرأس ⇒ تتشابه بالتطابق في زاويتين ⇒ ΔDBM ~ ΔACM.
أثبت ΔABC ~ ΔNLM علمًا أن m(∠A) = 45° وm(∠C) = 50° وm(∠L) = 85° وm(∠M) = 50° (مثال ٢).
إظهار الإجابة
m(∠B) = 180° − (50° + 45°) = 85° = m(∠L) وm(∠C) = m(∠M) = 50° ⇒ ΔABC ~ ΔNLM (AA).
أثبت ΔACB ~ ΔAED وأوجد DC (مثال ٣).
إظهار الإجابة
زاوية A مشتركة وm(∠D) = m(∠B) ⇒ التشابه (AA) ثم AB/AD = AC/AE فنجد AC = 10 وDC = AC − AD = 10 − 4 = 6.
ما النتيجة عند تشابه مثلثين وعلاقتها بالأضلاع؟
إظهار الإجابة
تتناسب الأضلاع المتناظرة: AB/DE = BC/EF = AC/DF ونستخدمها لإيجاد الأطوال المجهولة (مثل x = 1.8 cm وy = 2.4 cm في التدريب).
(٤-٢) التشابه في المثلثات القائمة الزاوية · صفحات 116–122
ما الفرق بين نتيجة (١) ونتيجة (٢)؟
إظهار الإجابة
الأولى تربط مربع العمود بطولي قطعتي الوتر · الثانية تربط مربع كل ضلع قائمة بحاصل ضرب مسقطه على الوتر في الوتر كله.
كيف نحسب الوتر إذا عُلم BD وCD؟
إظهار الإجابة
BC = BD + CD ثم نستخدم (AB)² = BD · BC و(AC)² = CD · CB لإيجاد الضلعين، ونتحقق بنظرية فيثاغورث: AB² + AC² = BC².
إذا كان BD = 4 وCD = 9 في مثلث قائم فما طول العمود AD وما AB؟ (تطبيق على نتيجة ١ و٢)
إظهار الإجابة
AD² = 4 × 9 = 36 ⇒ AD = 6 · BC = 13 وAB² = 4 × 13 = 52 ⇒ AB = 2√13.
(٥-٢) التناسبات والمثلثات المتشابهة · صفحات 123–135
كيف نحسب x بنظرية المستقيم الموازي؟ (مثال ١)
إظهار الإجابة
نكتب التناسب بين الأجزاء المتناظرة على الضلعين: الجزء العلوي/الجزء السفلي = الجزء العلوي/الجزء السفلي ثم نحل بالضرب التقاطعي.
كيف نستخدم نظرية طاليس؟ (مثال ٢)
إظهار الإجابة
نكتب القطعة الأولى/الثانية على أحد القاطعين = نظيرتيها على القاطع الآخر، مثل 20x = (12)(50) بالضرب التقاطعي ثم نحل.
أوجد x إذا كان 12(3x − 4) = 33x (مثال ٣).
إظهار الإجابة
36x − 48 = 33x ⇒ 3x = 48 ⇒ x = 16.
متى نستخدم نظرية منصف الزاوية؟ (مثال ٤، ٥)
إظهار الإجابة
عندما ينصّف BD زاوية في المثلث ويقطع الضلع المقابل: AB/BC = AD/DC ونحل المعادلة الناتجة (مثل x = 8 في المثال ٤).
في مثلث ABC فيه AC = 6 وAB = 8 والمنصف AD يقطع BC في D وBD = 3؛ أوجد DC (تحقق ٤).
إظهار الإجابة
BD/DC = AB/AC ⇒ 3/DC = 8/6 ⇒ DC = 18/8 = 2.25.
الأنشطة والتقويم
علّل: المستطيلان المختلفا الأبعاد قد لا يكونان متشابهين رغم تساوي زواياهما.
إظهار الإجابة
لأن الشرط الثاني للتشابه (تناسب الأضلاع المتناظرة) قد لا يتحقق، فتساوي الزوايا وحده لا يكفي في المضلعات.
إذا كان ΔABC ~ ΔDEF ونسبة التشابه 2 : 3، ومحيط ΔABC = 20 ومساحته 16، فأوجد محيط ΔDEF ومساحته.
إظهار الإجابة
المحيط = 20 × 3/2 = 30 · المساحة = 16 × (3/2)² = 36.
ضع ✓ أو ✗ مع التصحيح: يتشابه مثلثان إذا تطابقت زاوية واحدة فقط.
إظهار الإجابة
✗ يلزم تطابق زاويتين (AA) أو زاوية وتناسب الضلعين المحيطين بها (SAS).
٣
حسابات المثلثات
الوحدة الثالثة · صفحات 144–210 · ستة دروس(١-٣) النسب المثلثية الأساسية ومقلوباتها · صفحات 145–160
ما العلاقة بين كل نسبة ومقلوبها؟
إظهار الإجابة
حاصل ضرب النسبة في مقلوبها يساوي 1: (sin θ)(csc θ) = 1 ، (cos θ)(sec θ) = 1 ، (tan θ)(cot θ) = 1 (بشرط عدم انعدام النسبة).
ما الحروف المستخدمة للتعبير عن الزوايا؟
إظهار الإجابة
حروف لاتينية يونانية: α ألفا · β بيتا · γ جاما · θ ثيتا. والزاويتان المتتامتان مجموع قياسيهما 90°.
أوجد sin θ , cos θ , tan θ في المثلث ABC القائم في B حيث AB = 8 وBC = 6 وAC = 10 (مثال ١).
إظهار الإجابة
sin θ = 6/10 = 3/5 · cos θ = 8/10 = 4/5 · tan θ = 6/8 = 3/4.
أوجد النسب الثلاث في المثلث LMN القائم في M حيث LM = 12 وMN = 5 وLN = 13 (تحقق ١).
إظهار الإجابة
sin θ = 5/13 · cos θ = 12/13 · tan θ = 5/12.
في المثلث FQK القائم في Q حيث KQ = 15 وQF = 8: أوجد KF وقيم cos θ وsin α وsin θ وcos α (مثال ٢)، وماذا تلاحظ؟
إظهار الإجابة
KF = √(15² + 8²) = 17 · cos θ = 15/17 · sin α = 15/17 · sin θ = 8/17 · cos α = 8/17 · نلاحظ sin θ = cos α = cos(90° − θ) وcos θ = sin α = sin(90° − θ) لأن الزاويتين متتامتان.
في المثلث القائم في B حيث AB = 6 وBC = 4 وAC = 2√13: أثبت أنه قائم وأوجد csc θ , sec θ , cot θ (مثال ٣).
إظهار الإجابة
6² + 4² = 52 = (2√13)² فالمثلث قائم (عكس فيثاغورث) · csc θ = 2√13/4 = √13/2 · sec θ = 2√13/6 = √13/3 · cot θ = 6/4 = 3/2.
أوجد في المثلث القائم في M حيث LM = 6 وLN = 14 (تحقق ٣): MN وجميع النسب الست.
إظهار الإجابة
MN = √(14² − 6²) = √160 = 4√10 · sin θ = 6/14 = 3/7 · cos θ = 4√10/14 = 2√10/7 · tan θ = 6/(4√10) = 3√10/20 · csc θ = 7/3 · sec θ = 7√10/20 · cot θ = 2√10/3.
استخدام الآلة الحاسبة
ما نواتج التدريب على الآلة الحاسبة (وضع الدرجات DEG)؟
إظهار الإجابة
sin 53° = 0.79863551 · cos 58° = 0.5299192642 · tan 68° = 2.475086853 · sec 30° = 1.154700538 · cot 75° = 0.2679491924 · csc 42° = 1.49447655 ؛ ولمقلوب النسبة نستخدم زر x⁻¹ ، ولتحويل 37.45° إلى درجات ودقائق وثوانٍ: 37°27′0″.
ما الذي يجب تذكره عن sin⁻¹ , cos⁻¹ , tan⁻¹؟
إظهار الإجابة
لا تمثل معكوس sin , cos , tan بل هي دوال عكسية لإيجاد الزاوية من النسبة (باستخدام shift).
أوجد قياس الزاوية θ في كل مما يلي (مثال ٤).
إظهار الإجابة
(١) sin θ = 5/14 ⇒ θ = 20.92483243° = 20°55′29.4″ · (٢) cos θ = 9/15 ⇒ θ = 53.13010235° = 53°7′48.37″ · (٣) tan θ = 6/3 ⇒ θ = tan⁻¹ 2 = 63.43494882° = 63°26′5.82″.
أوجد قيمة x (مثال ٥).
إظهار الإجابة
(١) tan 39° = 10/x ⇒ x = 10 / tan 39° ≈ 12.35 · (٢) cos 57° = x/12 ⇒ x = 12 cos 57° ≈ 6.54 . ونختار النسبة المناسبة من المعلوم والمجهول ثم نستخدم خواص التناسب.
تحقق ٥: أوجد x إذا كان في المثلث الأول الزاوية 32° والضلع المجاور 16 وx الوتر.
إظهار الإجابة
cos 32° = 16/x ⇒ x = 16 / cos 32° ≈ 18.87.
الزاوية التي يصنعها مستقيم مع محور السينات
المستقيم L : y = 3x + 2 ما tan θ؟ (لنعمل معًا)
إظهار الإجابة
tan θ = m = 3 ، لأن المستقيم الموازي لمحور السينات يصنع نفس الزاوية θ₁ = θ (زاويتان متناظرتان).
احسب الزاوية الحادة التي يصنعها المستقيم L : y = ¼x + 6 مع الاتجاه الموجب لمحور السينات (مثال ٦).
إظهار الإجابة
m = 1/4 = tan θ ⇒ θ = tan⁻¹(1/4) = 14.03624347° = 14°2′10.48″.
وللمستقيم y = x + 3 (تحقق ٦)؟
إظهار الإجابة
m = 1 ⇒ θ = tan⁻¹ 1 = 45°.
النسب المثلثية لبعض الزوايا الخاصة
كيف نستنتج النسب لـ 45°؟
إظهار الإجابة
في مثلث قائم متساوي الساقين AB = BC = x يكون AC = √(x² + x²) = √2 x ⇒ sin 45° = 1/√2 = √2/2 · cos 45° = √2/2 · tan 45° = 1.
وكيف نستنتج النسب لـ 30° و60°؟
إظهار الإجابة
من مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه x يُرسم فيه عمود CE فينتج مثلث قائم أضلاعه x/2 , √3x/2 , x : CE = √(x² − (x/2)²) = (√3/2) x.
الأنشطة والتقويم
ضع ✓ أو ✗ (١–٨): (١) في مثلث قائم في B: cos A · sec A = 1 (٢) في الشكل (13 , 5 , 12): sin(90° − θ) = 5/13 (٣) sin C · cot C = cos C (٤) AC = AB cos C (٥) cos C · tan C = sin C (٦) زاوية المستقيم y − x = 6 مع محور السينات 45° (٧) في المثلث (5 , 5 , 8): sin α = 5/8 (٨) sin γ = cos α للزاويتين الحادتين.
إظهار الإجابة
(١) ✓ · (٢) ✓ (لأن sin(90° − θ) = cos θ = 5/13) · (٣) ✓ · (٤) ✗ لأن cos C = BC/AC فـ BC = AC cos C · (٥) ✓ · (٦) ✓ ميله 1 · (٧) ✗ ارتفاع المثلث 3 فـ sin α = 3/5 · (٨) ✓ زاويتان متتامتان.
اختر (١–٦): (١) sin α في (13 , 5 , 12) · (٢) (sin α + cos α)/(sin α − cos α) في (5 , 3 , 4) · (٣) cos²θ + sin²θ · (٤) sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° · (٥) زاوية L : y = 5 + √3x · (٦) cos(90° − A) في المثلث ABC القائم في B.
إظهار الإجابة
(١) 5/13 · (٢) (3/5 + 4/5)/(3/5 − 4/5) = −7 · (٣) 1 · (٤) 1/4 + 3/4 = 1 · (٥) tan θ = √3 ⇒ 60° · (٦) sin A = BC/AC.
(مقال ١) أوجد النسب الأساسية لـ θ في المثلث (7 , 24 , 25).
إظهار الإجابة
sin θ = 24/25 · cos θ = 7/25 · tan θ = 24/7 (الزاوية θ محصورة بين الضلع 7 والوتر).
(مقال ٢) المثلث ACB أضلاعه AC = 4 وCB = 6 وAB = 2√13: أثبت أنه قائم في C وأوجد cos α وsin β.
إظهار الإجابة
4² + 6² = 52 = (2√13)² ⇒ قائم في C · cos α = 4/(2√13) = 2√13/13 · sin β = 4/(2√13) = 2√13/13 · نلاحظ أنهما متساويان (زاويتان متتامتان).
(مقال ٣ و٤ و٥) (٣) المثلث (AC = 5 , BC = 3 , قائم في B): AB وsec θ وcsc θ · (٤) (AC = 20 , BC = 3): m(θ) وAB · (٥) (C = 60° , BC = 10): m(A) وAC وAB.
إظهار الإجابة
(٣) AB = 4 ، sec θ = 5/4 ، csc θ = 5/3 · (٤) sin θ = 3/20 ⇒ θ ≈ 8.63° ، AB = √391 ≈ 19.77 · (٥) A = 30° ، AC = 10/cos 60° = 20 ، AB = 10 tan 60° = 10√3 ≈ 17.32.
(مقال ٦–٩) (٦) منحدر ارتفاعه 1.524 m بزاوية 15°: طوله؟ (٧) cos 45° cos 45° − sin 45° sin 45° (٨) sec² 45° + tan 45° + sin 30° (٩) سلم كهربائي ارتفاعه 6.3 m ويميل 26°: طوله؟
إظهار الإجابة
(٦) 1.524 / sin 15° ≈ 5.89 m · (٧) ½ − ½ = 0 · (٨) 2 + 1 + ½ = 7/2 · (٩) 6.3 / sin 26° ≈ 14.37 m.
(تفكير عليا) أثبت أن 1/x² + 1/y² = 1/z² في المثلث القائم الذي z ارتفاعه على الوتر؛ وأوجد tan 15° دون آلة حاسبة.
إظهار الإجابة
باستخدام z = x sin = y cos ومربعي جيب وجيب التمام نجد المطلوب · tan 15° = 2 − √3 ≈ 0.268.
(٢-٣) حل المثلث القائم · صفحات 161–165
مسألة الدرس: سباح ينتقل من A إلى B بزاوية 40° وعرض النهر 15؛ ما المسافة التي قطعها؟
إظهار الإجابة
sin 40° = 15/AB ⇒ AB = 15 / sin 40° ≈ 23.336 أي حوالي 23 مترًا.
حل المثلث ABC القائم في B حيث BC = 4 cm وAB = 3 cm (مثال ١).
إظهار الإجابة
AC = √(3² + 4²) = 5 cm · tan γ = 3/4 ⇒ γ ≈ 36.87° · α = 90° − 36.87° = 53.13°.
حل المثلث القائم في C حيث BC = 15 cm وAC = 12 cm (تحقق ١).
إظهار الإجابة
AB = √(15² + 12²) = √369 ≈ 19.21 cm · tan A = 15/12 ⇒ A ≈ 51.34° · B ≈ 38.66°.
حل المثلث القائم في B إذا كانت α = 71° وAB = 8 cm (مثال ٢).
إظهار الإجابة
γ = 90° − 71° = 19° · tan 71° = CB/8 ⇒ CB = 8 tan 71° ≈ 23.23 cm · cos 71° = 8/CA ⇒ CA = 8 / cos 71° ≈ 24.57 cm.
حل المثلث القائم في B حيث AB = 12 cm وm(Â) = 42° (تحقق ٢).
إظهار الإجابة
C = 48° · BC = 12 tan 42° ≈ 10.80 cm · AC = 12 / cos 42° ≈ 16.15 cm.
حل المثلث القائم في C إذا كان BA = 40 cm وm(B̂) = 25° (مثال ٣).
إظهار الإجابة
α = 90° − 25° = 65° · BC = 40 cos 25° ≈ 36.25 cm · AC = 40 sin 25° ≈ 16.90 cm.
حل المثلث القائم في C حيث AC = 20 cm وm(B̂) = 75° (تحقق ٣).
إظهار الإجابة
A = 15° · BC = 20 / tan 75° ≈ 5.36 cm · AB = 20 / sin 75° ≈ 20.71 cm.
(فكّر معي) المثلث ABC فيه AB = 7 وAC = 10 وزاوية C = 35°؛ فهد وإبراهيم حلّاه بطريقتين، أيهما صحيح؟
إظهار الإجابة
إبراهيم: يجب التأكد من صحة المعطيات أولًا: sin 35° = 0.5736 بينما 7/10 = 0.7 ولا يتساويان ⇒ لا يمكن حل السؤال لأن المعطيات متناقضة. (طريقة فهد BC = 7/tan 35° ≈ 10 غير صحيحة لهذا السبب.)
(أتدرب ١–٥) اختر: (١) m(B̂) في مثلث قائم في C فيه AC = 6 وAB = 14 · (٢) x حيث الوتر 20 والزاوية 35° وx المقابل · (٣) x حيث الوتر x والمجاور 10 والزاوية 56° · (٤) m(Ĉ) في مثلث قائم في B فيه AB = 5 وBC = 12 · (٥) AC إذا sin C = 0.4 وAB = 8.
إظهار الإجابة
(١) sin B = 6/14 ⇒ 25° · (٢) 20 sin 35° = 11.5 · (٣) 10 / cos 56° ≈ 18 · (٤) tan C = 5/12 ⇒ 22.6° · (٥) AC = 8 / 0.4 = 20 cm.
(مقال ١–٥) (١) قائم في B: AC = 15 ، C = 60° · (٢) قائم في A: CB = 12 ، B = 32° · (٣) قائم في Q: QR = 12 ، PQ = 5 · (٤) RQP قائم في Q: QR = 7.3 ، RP = 12.3 · (٥) سلم AB = 3.5 m يستند إلى حائط وقاعدته 1 m عن الحائط.
إظهار الإجابة
(١) A = 30° ، BC = 7.5 ، AB = 7.5√3 ≈ 12.99 · (٢) C = 58° ، AC = 12 sin 32° ≈ 6.36 ، AB = 12 cos 32° ≈ 10.18 · (٣) RP = 13 ، R ≈ 22.62° ، P ≈ 67.38° · (٤) QP = √(12.3² − 7.3²) = √98 ≈ 9.90 ، P ≈ 36.4° ، R ≈ 53.6° · (٥) ارتفاع A = √(3.5² − 1) ≈ 3.35 m ، زاوية الميل على الأرض cos⁻¹(1/3.5) ≈ 73.4° ، وعلى الحائط sin⁻¹(1/3.5) ≈ 16.6°.
(تفكير عليا) المثلث ABC: C = 50° والزاوية عند B من المثلث ABD تساوي 70° وCD = 8 cm والزاوية عند D قائمة؛ أوجد مساحة ABC لأقرب جزء من عشرة.
إظهار الإجابة
AD = 8 tan 50° ≈ 9.53 ، BD = AD / tan 70° ≈ 3.47 ، CB = 8 − 3.47 = 4.53 ⇒ المساحة ½ × 4.53 × 9.53 ≈ 21.6 cm².
(تحدي الأذكياء) أيهما أقرب إلى المستقيم LM: A (على بعد 6 cm وزاوية 14°) أم B (على بعد 3 cm وزاوية 28°)؟
إظهار الإجابة
بُعد A = 6 sin 14° ≈ 1.45 cm وبُعد B = 3 sin 28° ≈ 1.41 cm ⇒ النقطة B أقرب.
(٣-٣) زاوية الارتفاع وزاوية الانخفاض · صفحات 166–171
مسألة الدرس: تقف على بعد 175 m من قاعدة البرج الرئيسي لأبراج الكويت وزاوية الرؤية إلى قمته 62°؛ ما ارتفاع البرج؟
إظهار الإجابة
tan 62° = h/175 ⇒ h = 175 tan 62° ≈ 329 m.
مشجع على بعد أفقي 30 m من نقطة بُعد الشاشة، وزاوية ارتفاع أعلى الشاشة 40°؛ ما ارتفاع الشاشة؟ (مثال ١)
إظهار الإجابة
tan 40° = LM/30 ⇒ LM = 30 tan 40° ≈ 25.17 ≈ 25 m.
زائر يبعد 25 m عن قاعدة هيكل «البوم» وارتفاع قمة الشراع 20 m؛ احسب زاوية الارتفاع (مثال ٢).
إظهار الإجابة
tan θ = 20/25 = 0.8 ⇒ θ = tan⁻¹ 0.8 ≈ 38.66° = 38°39′35.31″.
موظف الرصد فوق برج ارتفاعه 12 m رأى أرنبًا بزاوية انخفاض 40°؛ كم يبعد الأرنب عن قاعدة البرج؟ (مثال ٣)
إظهار الإجابة
tan 40° = 12/RP ⇒ RP = 12 / tan 40° ≈ 14.3 أي حوالي 14 مترًا.
قارب يبعد عن منارة ارتفاعها 14 m وزاوية انخفاضه 34°25′؛ أوجد بعد القارب عن قمة المنارة (مثال ٤).
إظهار الإجابة
sin 34°25′ = 14/x ⇒ x = 14 / sin 34°25′ ≈ 24.77 ≈ 25 m.
أثناء تحية العلم ينظر فهد إلى قمة سارية ارتفاعها 5 m بزاوية ارتفاع 85°؛ كم يبعد عنها؟ (تحقق ١)
إظهار الإجابة
d = 5 / tan 85° ≈ 0.44 m.
شخص على مسافة 1000 m من مبنى ارتفاعه 300 m؛ ما زاوية الارتفاع؟ (تحقق ٢)
إظهار الإجابة
tan θ = 0.3 ⇒ θ ≈ 16.7°.
من أعلى برج ارتفاعه 45 m رُصدت سيارة بزاوية انخفاض 55°؛ احسب المسافة بين السيارة وقاعدة البرج لأقرب متر (تحقق ٣).
إظهار الإجابة
d = 45 / tan 55° ≈ 31.5 ≈ 32 m.
بحار على قمة منارة ارتفاعها 23 m رصد سفينة بزاوية انخفاض 39°؛ أوجد بعد السفينة عن قمة المنارة لأقرب متر (تحقق ٤).
إظهار الإجابة
sin 39° = 23/d ⇒ d ≈ 36.5 ≈ 37 m.
(أتدرب ١–٤) اختر: (١) نقطة تبعد 40 m عن قاعدة برج وزاوية ارتفاع قمته 63° · (٢) طائرة ورقية خيطها 34 m وزاوية ارتفاعها 70° · (٣) يسير شخص في طريق منحدر 60 m فيصل لنقطة ارتفاعها 6 m · (٤) برج طوله 12 m يلقي ظلًا 8 m.
إظهار الإجابة
(١) 40 tan 63° ≈ 78.5 m · (٢) 34 sin 70° ≈ 32 m · (٣) sin θ = 6/60 ⇒ θ ≈ 5.74° · (٤) tan θ = 12/8 ⇒ θ ≈ 56.30°.
(مقال ١–٦) (١) رصد قمة مجمع بزاوية 40° من جهاز يبعد 18 m · (٢) مروحية على ارتفاع 250 m ترصد غزالًا بزاوية انخفاض 48° · (٣) شخص على ارتفاع 60 m يرصد موكبًا بزاوية انخفاض 50° · (٤) زاوية ارتفاع طائرة 54°12′ وبعد النقطة عن موقع الطائرة 310 m · (٥) برج يبعد 300 m وزاوية ارتفاعه 40° · (٦) طائرة ورقية زاوية ارتفاعها 48°12′ وخيطها 18 m.
إظهار الإجابة
(١) 18 tan 40° ≈ 15.1 m · (٢) المسافة المباشرة 250 / sin 48° ≈ 336.4 m (والأفقية 250 / tan 48° ≈ 225.1 m) · (٣) 60 / tan 50° ≈ 50.3 m · (٤) على اعتبار 310 هو طول خط النظر: الارتفاع 310 sin 54°12′ ≈ 251.4 m · (٥) 300 tan 40° ≈ 251.7 m · (٦) 18 sin 48°12′ ≈ 13.4 m ≈ 13 m.
(تفكير عليا) في الشكل: زاوية 53° من نقطة تبعد 25 m عن شجرة وطول الرجل 170 cm؛ أوجد x وارتفاع الشجرة.
إظهار الإجابة
x = 25 tan 53° ≈ 33.2 m وارتفاع الشجرة ≈ 33.2 + 1.7 = 34.9 m.
(٤-٣) الدوال المثلثية (الدوال الدائرية) · صفحات 172–191
ما الزوج المرتب للزاوية الموجهة وما قياسها؟
إظهار الإجابة
يمثل (OA , OB) زاوية ضلعها الابتدائي OA ونهائيها OB · قياس الزاوية موجب إذا كان الدوران عكس عقارب الساعة، وسالب إذا كان مع عقارب الساعة. ولا يساوي (OB , OA) الزوج (OA , OB) لأن الاتجاه مختلف.
ما العلاقة بين القياس الموجب والسالب لنفس الضلع النهائي؟
إظهار الإجابة
|القياس الموجب| + |القياس السالب| = 360° (مثال: −300° تقابل 60°).
كيف نحدد الربع الذي تقع فيه زاوية قياسها كبير أو سالب؟
إظهار الإجابة
نجد أصغر قياس موجب لها بإضافة دورات كاملة (360°) أو طرحها.
ارسم وحدد الربع (مثال ١): 120° ، 450° ، −270° ، 300° ، −150° ، 450°.
إظهار الإجابة
120° الربع الثاني · 450° = 360° + 90° زاوية ربعية · −270° زاوية ربعية · 300° الربع الرابع · −150° الربع الثالث.
وفي تحقق ١: 135° ، −90° ، 810° ، −70° ، 225°.
إظهار الإجابة
135° الربع الثاني · −90° ربعية · 810° = 720° + 90° ربعية · −70° الربع الرابع · 225° الربع الثالث.
(قياسات الزوايا) كم قسمًا في الدرجة؟
إظهار الإجابة
الدورة الكاملة 360° والدرجة 1° = 60′ والدقيقة 1′ = 60″.
ما الزاوية المركزية في دائرة والعلاقة مع القوس؟
إظهار الإجابة
زاوية رأسها مركز الدائرة وضلعاها يحملان نصفي قطرين، وتتناسب أقواسها مع قياساتها: m(θ₁)/m(θ₂) = طول القوس₁ / طول القوس₂ ، والنسبة L/r ثابتة وتساوي قياس الزاوية بالراديان.
أوجد قياس الزاوية المركزية AÔB بالتقدير الدائري إذا كان طول القوس AB = 8 ونصف القطر 4 (مثال ٢).
إظهار الإجابة
θ = L/r = 8/4 = 2 rad.
إذا كانت BÔA = 1.5 rad ونصف القطر 5 cm فأوجد طول القوس AB (تحقق ٢).
إظهار الإجابة
L = r·θ = 5 × 1.5 = 7.5 cm.
أوجد القياس الدائري لـ 120° (مثال ٣) وتحقق ٣: 60° و330°.
إظهار الإجابة
120° = 2π/3 · 60° = π/3 · 330° = 11π/6.
أوجد القياس الستيني لـ 3π/4 و2 rad (مثال ٤) وتحقق ٤: 3π/4 و4π/3 و1.6 rad.
إظهار الإجابة
3π/4 = 135° · 2 rad = 360°/π ≈ 114.59° · 4π/3 = 240° · 1.6 rad ≈ 91.67°.
متى تكون sec θ وtan θ غير معرفتين؟ ومتى csc θ وcot θ؟
إظهار الإجابة
sec θ , tan θ غير معرفتين عندما cos θ = 0 (θ = π/2 , 3π/2) · csc θ , cot θ غير معرفتين عندما sin θ = 0 (θ = 0 , π , 2π).
بيّن أن P(−1/2 , √3/2) نقطة مثلثية وأوجد الدوال الست (مثال ٥).
إظهار الإجابة
x² + y² = 1/4 + 3/4 = 1 ✓ · cos θ = −1/2 · sin θ = √3/2 · tan θ = −√3 · csc θ = 2√3/3 · sec θ = −2 · cot θ = −√3/3.
وللنقطة P(3/5 , −4/5) (تحقق ٥)؟
إظهار الإجابة
x² + y² = 9/25 + 16/25 = 1 ✓ · sin θ = −4/5 · cos θ = 3/5 · tan θ = −4/3 · csc θ = −5/4 · sec θ = 5/3 · cot θ = −3/4.
إذا كانت P(1/2 , y) النقطة المثلثية و0 < θ < π/2 فأوجد sin θ , cos θ (مثال ٦).
إظهار الإجابة
y² = 1 − 1/4 = 3/4 فـ y = √3/2 (الربع الأول) ⇒ sin θ = √3/2 وcos θ = 1/2.
وإذا كانت P(x , −1/2) وπ < θ < 3π/2 (تحقق ٦)؟
إظهار الإجابة
x = −√3/2 ⇒ sin θ = −1/2 · cos θ = −√3/2 · tan θ = √3/3.
إذا كان sin θ = 1/√3 وπ/2 < θ < π فأوجد cos θ , tan θ (مثال ٧).
إظهار الإجابة
cos²θ = 1 − 1/3 = 2/3 ⇒ cos θ = −√6/3 (الربع الثاني) · tan θ = (1/√3) ÷ (−√6/3) = −√2/2.
إذا كان cos x = −√2/2 و90° < x < 180° (تحقق ٧)؟
إظهار الإجابة
sin x = √2/2 وtan x = −1.
الأنشطة والتقويم
ضع ✓ أو ✗ (١–١٤) من بنود الكتاب.
إظهار الإجابة
(١) الضلع الابتدائي ينطبق على الاتجاه السالب لمحور السينات: ✗ (على الموجب) · (٢) 200° زاوية ربعية: ✗ (الربع الثالث) · (٣) يمكن أن يكون قياس زاوية الوضع القياسي سالبًا: ✓ · (٤) الزاوية في الوضع القياسي لها أكثر من نقطة مثلثية: ✗ (نقطة واحدة) · (٥) إذا كانت (x,y) نقطة مثلثية فإن x > 1: ✗ · (٦) (−1,0) نقطة مثلثية: ✓ · (٧) (1/5 , 4/5) نقطة مثلثية: ✗ (1/25 + 16/25 = 17/25) · (٨) (x , 3/5) في الربع الثاني فإن x = 4/5: ✗ (x = −4/5) · (٩) cos(−300°) = 1/2: ✓ · (١٠) sin 120° = 1/2: ✗ (√3/2) · (١١) tan(−150°) = 1/√3: ✓ · (١٢) sec 315° = √2: ✓ · (١٤) زاوية 0.75 rad في دائرة قطرها 8 cm تحصر قوسًا 3 cm: ✓ (4 × 0.75).
اختر (١–١٣): (١) الزاوية 300° في الربع؟ (٢) 730°؟ (٣) زاوية في الربع الثالث؟ (٤) في الربع الثاني؟ (٥) 280°؟ (٦) نقطة مثلثية ممكنة؟ (٧) sin θ = 1؟ (٨) (x , 5/13) حادة؟ (٩) (1/2 , y) في 0° < θ < 90°؟ (١٠) الزاوية المختلفة زاوية الإسناد؟ (١٢) النسبة التي قيمتها 1/2؟ (١٣) النسبة التي قيمتها −√3/2؟
إظهار الإجابة
(١) الرابع (300°) · (٢) الأول (730° = 720° + 10°) · (٣) 550° (= 360° + 190°) · (٤) 510° (= 360° + 150°) · (٥) الرابع · (٦) (0,1) · (٧) (0,1) · (٨) x = 12/13 · (٩) y = √3/2 · (١٠) 215° (الباقي زاوية إسنادها 45°) · (١٢) sin(−330°) = sin 30° = 1/2 · (١٣) cos(31π/6) = cos(7π/6) = −√3/2.
(مقال ١–٤) ارسم وحدد الربع: −π/2 ، 2π/3 ، −30° ، −270° ، −200° ، −250° · وحوّل: 30° , 60° , 90° , 40° , 120° , 135° , 150° , 240° للراديان، ثم π/4 , 3π/2 , 2π/3 , 3π/4 , 3 , 1½ , 11π/6 للستيني.
إظهار الإجابة
−π/2 ربعية · 2π/3 ثانٍ · −30° رابع · −270° ربعية · −200° ثانٍ · −250° ثانٍ · الراديان: π/6 , π/3 , π/2 , 2π/9 , 2π/3 , 3π/4 , 5π/6 , 4π/3 · الستيني: 45° , 270° , 120° , 135° , 171.89° , 85.94° , 330°.
(مقال ٥–٧) 5 rad بالستيني لأقرب دقيقة، و58°18′23″ بالدائري لأقرب رقمين عشريين، وتحويل 52°16′24″ و101°4′13″ لأقرب جزء من مئة.
إظهار الإجابة
5 rad ≈ 286°29′ · 58°18′23″ ≈ 1.02 rad · 52°16′24″ ≈ 0.91 rad · 101°4′13″ ≈ 1.76 rad.
(مقال ٨–١١) (٨) طول القوس: AB (r = 8 والزاوية 90°) · ML (r = 9 و40°) · (٩) زاوية مركزية تقابل قوسًا 8 في دائرة نصف قطرها 3 · (١٠) 3/4 rad في دائرة قطرها 10 cm · (١١) ذراع زجاج أمامي 56 cm يصنع 110°.
إظهار الإجابة
AB = 8 × π/2 = 4π ≈ 12.57 · ML = 9 × 2π/9 = 2π ≈ 6.28 · (٩) θ = 8/3 ≈ 2.67 rad ≈ 152.8° · (١٠) L = 5 × 0.75 = 3.75 cm · (١١) L = 56 × 110π/180 ≈ 107.5 cm.
(مقال ١٣–١٤) أوجد الدوال الست: P(7/25 , y) في الربع الأول، ثم إذا sin θ = 3/5 وπ/2 < θ < π.
إظهار الإجابة
الأولى: y = 24/25 ⇒ sin = 24/25 ، cos = 7/25 ، tan = 24/7 ، csc = 25/24 ، sec = 25/7 ، cot = 7/24 · الثانية: cos θ = −4/5 ، tan θ = −3/4 ، csc θ = 5/3 ، sec θ = −5/4 ، cot θ = −4/3.
(تفكير عليا) زاويتان مجموعهما 3π/5 وفرقهما 30°؛ ومثلث إحدى زواياه 2π/5 والأخرى π/6؛ وأوجد P(x , −x) وP(−y , −y) المثلثيتين.
إظهار الإجابة
الزاويتان 23π/60 = 69° و13π/60 = 39° · الثالثة π − 2π/5 − π/6 = 13π/30 · P(√2/2 , −√2/2) · P(−√2/2 , −√2/2).
(٥-٣) العلاقات بين الدوال المثلثية · صفحات 192–201
ما سبب العلاقة cos(−θ) = cos θ وsin(−θ) = −sin θ؟
إظهار الإجابة
النقطة B(x , −y) هي صورة A(x , y) بالانعكاس في محور السينات. وللزاوية π − θ الانعكاس في محور الصادات A → B(−x , y) ، وللزاوية π + θ الانعكاس في نقطة الأصل A → B(−x , −y).
أكمل: إذا cos θ = 0.7 وsin θ = 3/5 وtan θ = 3 فما cos(−θ) , sin(−θ) , tan(−θ)؟
إظهار الإجابة
0.7 · −3/5 · −3.
اكتب بدلالة نسبة أساسية (مثال ١): cos(π − x) ، tan(180° − x) ، sin(180° − x) ، وإذا sec θ = 2 فأوجد cos(π − θ).
إظهار الإجابة
−cos x · −tan x · sin x · cos θ = 1/2 ⇒ cos(π − θ) = −1/2.
تحقق ١: إذا sin θ = 0.2 وcos θ = 0.6 وtan θ = 1/3 فأوجد sin(π − θ) , cos(π − θ) , cot(π − θ).
إظهار الإجابة
0.2 · −0.6 · cot(π − θ) = −cot θ = −3.
إذا tan θ = 3 وcos θ = 1/2 وsin θ = 1/5 فأوجد tan(π + θ) , sec(π + θ) , csc(π + θ) (مثال ٢).
إظهار الإجابة
3 · −2 · −5.
تحقق ٢: sin θ = 1/√2 ، tan θ = 3.2 ، cos θ = 2/3؛ أوجد sin(π + θ) , tan(π + θ) , sec(π + θ).
إظهار الإجابة
−1/√2 = −√2/2 · 3.2 · −3/2.
إذا cos θ = 7/25 و0 ≤ θ < π/2 فأوجد cos(π/2 − θ) (مثال ٣).
إظهار الإجابة
= sin θ ؛ sin²θ = 1 − 49/625 = 576/625 ⇒ sin θ = 24/25 ⇒ cos(π/2 − θ) = 24/25.
إذا tan θ = √3 فأوجد tan(π/2 + θ) (مثال ٤).
إظهار الإجابة
tan(π/2 + θ) = −cot θ = −1/√3 = −√3/3.
إذا sin θ = 1/2 وπ/2 ≤ θ < π فأوجد sin(π/2 − θ) (تحقق ٣)، وإذا cos θ = 1/5 و3π/2 ≤ θ < 2π فأوجد cos(π/2 + θ) (تحقق ٤).
إظهار الإجابة
cos θ = −√3/2 · −sin θ = 2√6/5 (لأن sin θ = −2√6/5).
بسّط (مثال ٥): (أ) cos(π−θ) − cos θ + sin(π+θ) + cos(π/2−θ) (ب) sin x + sin(90°+x) + sin(180°+x) + sin(90°−x) (ج) cos(π+θ) + sin(θ+π/2) + sin(θ−π) − cos(θ+π/2).
إظهار الإجابة
(أ) −cos θ − cos θ − sin θ + sin θ = −2cos θ · (ب) sin x + cos x − sin x + cos x = 2cos x · (ج) −cos θ + cos θ − sin θ + sin θ = 0.
أوجد زاوية الإسناد (مثال ٦): 125° ، 215° ، 11π/6.
إظهار الإجابة
180° − 125° = 55° · 215° − 180° = 35° · 2π − 11π/6 = π/6. وفي تحقق ٦: 215°→35° ، 2π/3→π/3 ، 300°→60°.
أوجد دون آلة حاسبة (مثال ٧): sin 5π/6 ، cos 225° ، tan 315°.
إظهار الإجابة
sin(π − π/6) = 1/2 · cos(180° + 45°) = −cos 45° = −√2/2 · tan(360° − 45°) = −1.
وفي تحقق ٧: cos(−150°) ، sin 7π/6 ، tan 330°.
إظهار الإجابة
−√3/2 · −1/2 · −√3/3.
ضع ✓ أو ✗: (١) sin(π+θ) = 0.2 إذا sin θ = 0.2 (٢) sec(π+θ) = 3/2 إذا cos θ = 2/3 (٣) cot(π+θ) = 3 إذا tan θ = 3 (٤) csc(π+θ) = −5 إذا sin θ = 1/5 (٥) cos x = 1/2 إذا x = π/3 (٦) sin x = 1/2 إذا x = π/6.
إظهار الإجابة
(١) ✗ لأن sin(π+θ) = −0.2 · (٢) ✗ = −3/2 · (٣) ✗ لأن cot θ = 1/3 · (٤) ✓ · (٥) ✓ · (٦) ✗ (هناك أيضًا 5π/6).
(مقال ١) أوجد دون آلة حاسبة: sin 150° ، tan(−225°) ، cos(−135°) ، cos 7π/6 ، sin(−2π/3) ، tan 11π/6 ، sin 330° ، csc 135° ، sec 7π/4.
إظهار الإجابة
1/2 · −1 · −√2/2 · −√3/2 · −√3/2 · −√3/3 · −1/2 · √2 · √2.
(مقال ٢) بسّط: (أ) cos(π−θ) − cos(−θ) + sin(π+θ) + cos(π/2−θ) (ب) cos(π+θ) + cos θ − sin(θ−π/2) − sin(θ+π/2) (ج) sec(π−θ) − csc(π/2+θ) + cos(π/2+θ) + sin θ.
إظهار الإجابة
(أ) −2 cos θ · (ب) −cos θ + cos θ + cos θ − cos θ = 0 · (ج) −sec θ − sec θ − sin θ + sin θ = −2 sec θ.
(تفكير عليا) أثبت: (sin²(−θ) − cos²(−θ)) / (sin(−θ) − cos(−θ)) = cos θ − sin θ و(1 − sin θ)/cos θ = cos θ/(1 + sin θ).
إظهار الإجابة
الأولى: (sin²θ − cos²θ)/(−sin θ − cos θ) = −(sin θ − cos θ) = cos θ − sin θ · الثانية: بالضرب التقاطعي 1 − sin²θ = cos²θ ✓.
اختر: (١) الزاوية المختلفة زاوية إسنادها · (٢) زاوية ضلعها يمر بالنقطة M(−√2/2 , √2/2) · (٣) cos x سالبة وsin x موجبة فالربع؟
إظهار الإجابة
60° · 135° · الثاني.
(٦-٣) حل المعادلات المثلثية · صفحات 202–209
حل 2 sin θ − 1 = 0 حيث θ ∈ [0 , 2π) (مثال ١).
إظهار الإجابة
sin θ = 1/2 > 0 (الربعان الأول والثاني) وα = π/6 ⇒ S.S. = {π/6 , 5π/6}.
تحقق ١: حل 2 cos θ − √2 = 0 و2 sin θ + √3 = 0.
إظهار الإجابة
cos θ = √2/2 ⇒ {π/4 , 7π/4} · sin θ = −√3/2 ⇒ {4π/3 , 5π/3}.
حل 2 cos θ + √3 = 0 (مثال ٢).
إظهار الإجابة
cos θ = −√3/2 < 0 (الثاني والثالث) وα = π/6 ⇒ {5π/6 , 7π/6}.
حل 2 cos θ + 1 = 0 (تحقق ٢).
إظهار الإجابة
cos θ = −1/2 ⇒ {2π/3 , 4π/3}.
حل √2 csc θ + 2 = 0 (مثال ٣).
إظهار الإجابة
csc θ = −√2 ⇒ sin θ = −1/√2 < 0 وα = π/4 وتقع θ في الربعين الثالث والرابع ⇒ {5π/4 , 7π/4} (والكتاب يكتب الربع الرابع 2π − π/4 = 7π/4).
حل sec θ − 2 = 0 (تحقق ٣).
إظهار الإجابة
cos θ = 1/2 ⇒ {π/3 , 5π/3}.
حل tan θ + √3 = 0 (مثال ٤).
إظهار الإجابة
tan θ = −√3 < 0 (الثاني والرابع) وα = π/3 ⇒ {2π/3 , 5π/3}.
تحقق ٤: حل √3 tan θ + 1 = 0 وcot θ − 1 = 0.
إظهار الإجابة
tan θ = −1/√3 ⇒ {5π/6 , 11π/6} · tan θ = 1 ⇒ {π/4 , 5π/4}.
هل يمكن حل sin θ = 3/2 أو cos θ = −3 أو sec θ = 0.5؟
إظهار الإجابة
لا؛ لأن |sin θ| ≤ 1 و|cos θ| ≤ 1 وsec θ = 0.5 تعني cos θ = 2 فمجموعة الحل ∅ في الثلاث.
الأنشطة والتقويم
اختر (١–٣): (١) π/2 ≤ θ < π و2 sin θ = 1 فـ θ بالستيني؟ (٢) √3 tan θ − 1 = 0 حيث 0 ≤ θ < π/2؟ (٣) ✓ أو ✗: sin x = √3 فحلها ∅؛ x = π/3 فـ cos x = 1/2؛ sin x = 1/2 فـ x = π/6.
إظهار الإجابة
(١) 150° · (٢) tan θ = 1/√3 ⇒ 30° · (٣) ✓ · ✓ · ✗ (يوجد أيضًا 5π/6).
(مقال) أوجد حل المعادلات خلال دورة: cos θ = −√2/2 ، 2 sin x + √3 = 0 ، tan θ = −1 ، cot θ = √3 ، 2 sin θ + √2 = 0 ، csc θ + 2 = 2.
إظهار الإجابة
{3π/4 , 5π/4} · {4π/3 , 5π/3} · {3π/4 , 7π/4} · {π/6 , 7π/6} · {5π/4 , 7π/4} · csc θ = 0 مستحيلة فـ ∅.
(تفكير عليا) حل في [0 , 2π): 2sin²θ − 3sin θ + 1 = 0 · 2cos θ sin θ − cos θ = 0 · sin 4θ = √3/2 · sin²θ − sin θ + 1 = 0 · sin²θ − 2sin θ + 1 = 0.
إظهار الإجابة
(2sin θ − 1)(sin θ − 1) = 0 ⇒ {π/6 , π/2 , 5π/6} · cos θ(2sin θ − 1) = 0 ⇒ {π/6 , π/2 , 5π/6 , 3π/2} · 4θ = π/3 + 2kπ أو 2π/3 + 2kπ ⇒ θ = π/12 , π/6 , 7π/12 , 2π/3 , 13π/12 , 7π/6 , 19π/12 , 5π/3 · ∅ (المميز −3) · (sin θ − 1)² = 0 ⇒ {π/2}.
إذا كان sin θ − cos θ = 0.8 فما قيمة sin θ cos θ؟
إظهار الإجابة
بالتربيع 1 − 2 sin θ cos θ = 0.64 ⇒ sin θ cos θ = 0.18.
إذا كانت θ ∈ [0 , 2π) فما مجموعة حل (2cos θ − 1)(2sin θ − √3) = 0 بالستيني؟
إظهار الإجابة
cos θ = 1/2 ⇒ 60° , 300° وsin θ = √3/2 ⇒ 60° , 120° ⇒ {60° , 120° , 300°}.
٤
المنطق والإحصاء
الوحدة الرابعة · صفحات 211–253 · أربعة دروس(١-٤) المنطق والتقارير · صفحات 211–217
ما الفرق بين الاستقراء والاستنتاج؟ (مثال ١)
إظهار الإجابة
الاستقراء: «الحديد والنحاس والألمنيوم تتمدد بالحرارة إذًا المعادن تتمدد بالحرارة» (من الخاص إلى العام) · الاستنتاج: «جميع الأعداد الفردية لا تقبل القسمة على 2 والعدد 39 فردي إذًا 39 لا يقبل القسمة على 2» (من العام إلى الخاص).
أي الجمل تقارير؟ (مثال ٢)
إظهار الإجابة
«الشتاء فصل من فصول السنة» تقرير صحيح · «الفروانية عاصمة الكويت» تقرير (خاطئ) · أما التعجب والاستفهام فلا يُحكم عليها بالصحة أو الخطأ فليست تقارير.
ما قيمة صحة: «العدد 32 يقبل القسمة على 4» و«العدد 5 من مضاعفات العدد 10»؟ (مثال ٣)
إظهار الإجابة
الأولى صحيحة T لأن 32 ÷ 4 = 8 · الثانية خاطئة F لأن مضاعفات 10 هي 10 و20 و30 ...
(٢-٤) أدوات الربط (العمليات المنطقية) · صفحات 218–231
ما نفي التقرير؟ (مثال ١)
إظهار الإجابة
نفي ρ هو ~ρ ويعاكس قيمة صحته: إذا كانت ρ صحيحة كانت ~ρ خاطئة والعكس (مثل ρ: عيون أحمد زرقاء، ~ρ: عيون أحمد ليست زرقاء).
متى تكون عبارة الوصل ρ ∧ q («و») صحيحة؟
إظهار الإجابة
فقط إذا كان كل من ρ وq صحيحًا.
متى تكون عبارة الفصل ρ ∨ q («أو») خاطئة؟
إظهار الإجابة
فقط إذا كان كل من ρ وq خاطئًا (وتكون صحيحة إذا تحقق أحدهما على الأقل).
متى تكون عبارة الشرط ρ → q خاطئة؟
إظهار الإجابة
فقط عندما تكون ρ (الشرط) صحيحة وq (النتيجة) خاطئة؛ وفي بقية الحالات صحيحة. مثال: وعد الأب بالجائزة لا يُنقض إلا إذا تحقق الشرط ولم تتحقق النتيجة.
متى تكون عبارة الشرطين ρ ↔ q صحيحة؟
إظهار الإجابة
عندما يكون لـ ρ وq قيمة الصحة نفسها (صحيحتان معًا أو خاطئتان معًا)، وهي تعني (ρ → q) ∧ (q → ρ).
إذا كانت ρ: 2 > 3 وq: 6 عدد زوجي وr: الدوحة عاصمة قطر فما قيمة ρ ∧ q وρ ∧ r وr ∧ q؟ (تحقق ٢)
إظهار الإجابة
ρ خاطئة وq وr صحيحتان ⇒ ρ ∧ q خاطئة · ρ ∧ r خاطئة · r ∧ q صحيحة.
كيف نكوّن جدول الصحة لعبارة مركبة مثل (ρ ∧ q) ∨ ~q؟ (مثال ٣)
إظهار الإجابة
نرتب الأعمدة: ρ , q ثم ρ ∧ q ثم ~q ثم العبارة كاملة؛ فتكون صحيحة في الصفوف: (T,T) و(T,F) و(F,F) وخاطئة في (F,T).
ما العلاقة بين ρ → q و~q → ~ρ؟ (مثال ٥)
إظهار الإجابة
لهما جدول الصحة نفسه (T , F , T , T) فهما متكافئتان (عكس النقيض).
(٣-٤) رمز المجموع Σ · صفحات 232–239
عبّر برمز المجموع عن a₁ + a₂ + … + a₂₀ (مثال ١) وعن a₅ + … + a₁₅ (مثال ٢).
إظهار الإجابة
Σₖ₌₁²⁰ aₖ (عدد الحدود 20) · Σₖ₌₅¹⁵ aₖ (عدد الحدود 15 − 5 + 1 = 11).
عبّر عن 5 + 6 + 7 + … + 45 واكتب مفكوك Σₖ₌₁₀⁴⁰ k وعدد حدوده (تحقق ١ ومثال ٣).
إظهار الإجابة
Σₖ₌₅⁴⁵ k · 10 + 11 + 12 + … + 40 وعدد الحدود 40 − 10 + 1 = 31.
اكتب Σₖ₌₁⁵⁰ (k + k²) بطريقة أخرى (مثال ٥).
إظهار الإجابة
Σₖ₌₁⁵⁰ k + Σₖ₌₁⁵⁰ k² (مجموع الحدود ثم مجموع المربعات).
أوجد Σₖ₌₁¹⁰ 3k (مثال ٧) وΣₖ₌₄⁸ 7 (مثال ٩).
إظهار الإجابة
3(1 + 2 + … + 10) = 3 × 55 = 165 · عدد الحدود 8 − 4 + 1 = 5 ⇒ 7 × 5 = 35.
(٤-٤) مقاييس التشتت — الانحراف المعياري · صفحات 240–253
ما المدى؟ وكيف يُحسب في التوزيعات التكرارية؟
إظهار الإجابة
المدى R = أكبر قيمة − أصغر قيمة (مثال: 32 − 18 = 14) · وفي التوزيعات التكرارية: الحد الأعلى للفئة الأخيرة − الحد الأدنى للفئة الأولى.
ما التباين؟ وما الانحراف المعياري؟
إظهار الإجابة
التباين σ² = Σ(x − x̄)² / n هو المتوسط الحسابي لمربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي · الانحراف المعياري σ = √(σ²) هو الجذر التربيعي الموجب للتباين.
أوجد التباين والانحراف المعياري للقيم 12 , 8 , 10 , 6 , 4 , 14 , 2 (تحقق ٢أ).
إظهار الإجابة
x̄ = 56/7 = 8 · مربعات الانحرافات 16 , 0 , 4 , 4 , 16 , 36 , 36 ومجموعها 112 ⇒ σ² = 112/7 = 16 ⇒ σ = 4.
وللقيم 9 , 5 , 7 , 3 , 11 , 1 , 6 (تحقق ٢ب)؟
إظهار الإجابة
x̄ = 42/7 = 6 · مجموع المربعات 70 ⇒ σ² = 10 ⇒ σ = √10 ≈ 3.16.
ماذا يتغير في التوزيع التكراري؟ (أمثلة ٣–٥)
إظهار الإجابة
نستخدم مراكز الفئات x (مركز الفئة = (الحد الأدنى + الأعلى) ÷ 2) والتكرارات f: x̄ = Σfx / Σf وσ² = Σf(x − x̄)² / Σf.
إذا كان σ = 6 ومجموع مربعات الانحرافات 540 فما عدد القيم؟ (مثال ٦)
إظهار الإجابة
σ² = 36 = 540 / n ⇒ n = 15.
إذا كان σ = 4 ومجموع مربعات الانحرافات 480 فما عدد القيم؟ (تحقق ٤)
إظهار الإجابة
σ² = 16 ⇒ n = 480 ÷ 16 = 30.
الأنشطة والتقويم
أوجد المدى والتباين والانحراف المعياري للقيم 12 , 8 , 15 , 17 , 14.
إظهار الإجابة
R = 17 − 8 = 9 · x̄ = 66/5 = 13.2 · مجموع المربعات 46.8 ⇒ σ² = 9.36 ⇒ σ ≈ 3.06.
وللقيم 32 , 54 , 46 , 20 , 35 , 23؟
إظهار الإجابة
R = 54 − 20 = 34 · x̄ = 210/6 = 35 · مجموع المربعات 860 ⇒ σ² ≈ 143.3 ⇒ σ ≈ 11.97.
ضع ✓ أو ✗ مع التصحيح: «الجملة (ما أجمل الكويت!) تقرير».
إظهار الإجابة
✗ جملة تعجب لا يمكن الحكم عليها بالصحة أو الخطأ فليست تقرير.
علّل: العبارة ρ → q لا تكون خاطئة إذا كانت ρ خاطئة.
إظهار الإجابة
لأن الشرط لم يتحقق أصلًا فلا يُنقض الوعد؛ وتكون خاطئة فقط إذا صحّ الشرط وخطأت النتيجة.
✎
اختبر نفسك
اختر الإجابة وسيظهر الصواب فورًاالنتيجة: 0 / 0
★ نصائح ليلة الاختبار
١) الوحدة ١: الرأس (−b/a , c) والمدى [c,∞) أو (−∞,c] · |ax+b| = cx+d اكتب شرط الحل cx+d ≥ 0 وارفض القيم المخالفة · Δ = b²−4ac · القانون العام x = (−b ± √Δ)/2a · المجموع −b/a والضرب c/a · تكوين المعادلة x² − (ℓ+m)x + ℓm = 0 · المتباينة التربيعية: حلّل ثم ادرس الإشارة وانعكس الاتجاه عند الضرب في سالب.
٢) الوحدة ٢: الضرب التقاطعي (الطرفين × الوسطين) · نسبة المحيطين = a ونسبة المساحتين = a² · التشابه AA وSSS وSAS · AD² = BD·CD وAB² = BD·BC · منصف الزاوية BD/DC = AB/AC · طاليس والمستقيم الموازي.
٣) الوحدة ٣: sin = مقابل/وتر · cos = مجاور/وتر · tan = مقابل/مجاور · الزوايا الخاصة 30° , 45° , 60° · π = 180° · إشارات الأرباع وزاوية الإسناد · sin(π−θ)=sinθ وcos(π−θ)=−cosθ · زاوية الانخفاض تساوي زاوية الارتفاع بالتبادل · في المعادلات المثلثية اذكر جميع الحلول في [0 , 2π).
٤) الوحدة ٤: ρ∧q صحيحة فقط إذا صحّ الطرفان · ρ∨q خاطئة فقط إذا خطأ الطرفان · ρ→q خاطئة فقط إذا (T ثم F) · ρ↔q صحيحة عند تساوي القيمتين · عدد حدود Σ من m إلى n هو n−m+1 · σ² = Σ(x−x̄)²/n وσ = √σ² والمدى = الأكبر − الأصغر.
٥) عند «علّل» اربط الجواب بالقاعدة أو النظرية الواردة في الكتاب، ولا تنسَ كتابة المجال أولًا عند رسم أي دالة وكتابة الوحدة (cm أو درجة أو راديان) في الجواب.