🎨 السؤال بالخط الأزرق · الإجابة بالخط الأخضر. المرجع الوحيد: كتاب الطالب.
١
الجبر وحل المعادلات
الوحدة الأولى · صفحات 12–80 · خمسة دروس(١-١) دالة القيمة المطلقة · صفحات 16–32
القيمة المطلقة لعدد حقيقي تعبّر عن بُعد هذا العدد عن الصفر على خط الأعداد.
ما الصورة الأساسية لدالة القيمة المطلقة؟ وما مكوّناتها؟
f(x) = |x| ، (١) المجال ℝ · (٢) المجال المقابل ℝ · (٣) القاعدة: f(x) = x إذا x ≥ 0 ، وf(x) = −x إذا x < 0.
ما المقصود بمحور التماثل؟
خط يقسم التمثيل البياني إلى جزأين متطابقين تمامًا (يحوّل التمثيل البياني إلى نفسه).
استنتج خواص بيان الدالة y = |x|.
١) اتحاد شعاعين لهما نفس نقطة البداية (رأس المنحنى) وهي نقطة الأصل، ويشبهان الحرف V · ٢) رأس المنحنى (0 , 0) وعنده أصغر قيمة للدالة · ٣) متماثلة حول محور الصادات x = 0 (تسمى فيما بعد دالة زوجية) · ٤) المدى [0 , ∞).
كيف نعيد تعريف |ax + b| دون رمز القيمة المطلقة؟
|ax+b| = ax+b إذا ax+b ≥ 0 ، و= −(ax+b) إذا ax+b < 0 (أي نضع ax+b = 0 لإيجاد نقطة التحول).
اذكر خواص القيمة المطلقة.
١) |x| ≥ 0 · ٢) |a·b| = |a|·|b| · ٣) |a+b| ≤ |a|+|b| · ٤) |a|² = a² · ٥) √(x²) = |x| · ٦) |−x| = |x| · ٧) |a−x| = |x−a|.
ما مجال دالة القيمة المطلقة؟
ℝ ما لم يُذكر غير ذلك (ويُكتب المجال أولًا عند رسم أي دالة).
رسم الدالة بالرأس ومحور التماثل (مثال ١)
ارسم بيان الدالة f(x) = |2x + 4|.
المجال ℝ · نضع 2x+4 = 0 فينتج x = −2 (محور التماثل) · الرأس (−2 , 0) · قيم يمين المحور: f(−1)=2 ، f(0)=4 · ومن التماثل: f(−3)=2 ، f(−4)=4 · المنحنى مفتوح لأعلى. الطريقة الثانية: إعادة تعريف القيمة المطلقة (2x+4 إذا x ≥ −2 ، و−2x−4 إذا x < −2) ثم جدول قيم.
الصورة القياسية: f(x) = |ax + b| + c ، المجال ℝ والمجال المقابل ℝ.
| الخاصية | القيمة |
|---|---|
| رأس المنحنى | (−b/a , c) |
| معادلة محور التماثل | x = −b/a |
| المدى (المنحنى مفتوح لأعلى) | [c , ∞) — وعند الرأس توجد أصغر قيمة |
| المدى للدالة f(x) = −|ax+b| + c | (−∞ , c] — المنحنى مفتوح لأسفل وعند الرأس أكبر قيمة |
ما أثر الإشارة السالبة خارج القيمة المطلقة؟
لا تؤثر على نقطة رأس المنحنى، لكن يصبح المنحنى مفتوحًا لأسفل ويتغير المدى إلى (−∞ , c].
أوجد الرأس ومحور التماثل والمدى للدالة y = |x − 2| + 1 (مثال ٢أ).
a=1 , b=−2 , c=1 · الرأس (2 , 1) · محور التماثل x = 2 · المدى [1 , ∞) وعند الرأس أصغر قيمة.
وللدالة y = −|2x + 3| (مثال ٢ب)؟
a=2 , b=3 , c=0 · الرأس (−3/2 , 0) · محور التماثل x = −3/2 · المدى (−∞ , 0] وعند الرأس أكبر قيمة.
تحقق من فهمك (٢): أوجد الرأس والمحور والمدى ثم ارسم: أ) f(x)=|x+1|+3 ب) y=−|x+1| ج) g(x)=−|½x+1| د) f(x)=1−|x−2|.
أ) الرأس (−1 , 3) · المحور x=−1 · المدى [3 , ∞) · ب) الرأس (−1 , 0) · المحور x=−1 · المدى (−∞ , 0] · ج) a=½ , b=1 فالرأس (−2 , 0) · المحور x=−2 · المدى (−∞ , 0] · د) الرأس (2 , 1) · المحور x=2 · المدى (−∞ , 1].
رسم الدالة بالتحويلات الهندسية (دالة المرجع g(x) = |x|)
الدالة الأساسية (دالة المرجع) هي g(x) = |x|، وكل دالة تُرسم منها بتحويل أو أكثر.
| التحويل | الدالة | الأثر على g(x)=|x| |
|---|---|---|
| إزاحة أفقية | f(x) = |x + a| | بمقدار |a| وحدة: لليمين إذا a < 0 ، ولليسار إذا a > 0 (والمحور x = −a) |
| إزاحة رأسية | f(x) = |x| + a | بمقدار |a| وحدة: لأعلى إذا a > 0 ، ولأسفل إذا a < 0 (والرأس (0 , a)) |
| إزاحة مركبة | f(x) = |x + a| + b | أفقية |a| مع مراعاة اليمين أو اليسار، ثم رأسية |b| مع مراعاة أعلى أو أسفل |
| انعكاس في محور السينات | f(x) = −|x| | المنحنى يصبح مفتوحًا لأسفل |
كيف نرسم f(x) = |x + 3| بالإزاحة؟
نجد صفر المطلق: x + 3 = 0 ⇒ x = −3 (وهو محور التماثل) · نكوّن جدول قيم · بيانها هو بيان |x| منسحبًا 3 وحدات في الاتجاه السالب لمحور السينات (جهة اليسار).
كيف نحصل على بيان f(x) = |x − 1|؟ (مثال ٣)
بإزاحة بيان |x| وحدة واحدة جهة اليمين (محور التماثل x = 1).
كيف نحصل على بيان f(x) = |x| − 1؟ وعلى |x| + 2؟ (مثال ٤)
الأول: بانسحاب وحدة واحدة في الاتجاه السالب لمحور الصادات (لأسفل) والرأس (0 , −1) · الثاني: بانسحاب وحدتين لأعلى والرأس (0 , 2).
ارسم f(x) = |x − 4| + 2 ثم f(x) = |x + 3| − 1 بالإزاحة (مثال ٥).
الأولى: 4 وحدات لليمين ثم وحدتان لأعلى (الرأس (4 , 2)، وتتقاطع مع |x| في (3 , 3)) · الثانية: 3 وحدات لليسار ثم وحدة لأسفل (الرأس (−3 , −1)، وتقطع محور السينات عند x = −4 وx = −2).
تحقق من فهمك (٣): حدّد مسافة الانسحاب لكل من: |x−3| ، |x+2| ، |x−3.5| ، |x−1.5|.
3 يمينًا · 2 يسارًا · 3.5 يمينًا · 1.5 يمينًا.
مسألة المظلة (ص 28): مظلة على شكل V تمثلها y = |x| عُدّلت بإزاحة 3 وحدات يمينًا و4 وحدات لأعلى؛ اكتب الدالة الجديدة وحدد الرأس.
الدالة الجديدة y = |x − 3| + 4 · رأس المنحنى (3 , 4).
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
٢
الهندسة المستوية
الوحدة الثانية · صفحات 80–135 · خمسة دروس(١-٢) التناسب · صفحات 82–95
التناسب: إذا كانت a : b = c : d (أي a/b = c/d) حيث a , b , c , d ∈ ℝ* فالأعداد a , b , c , d متناسبة.
ما أسماء حدود التناسب a : b = c : d؟
a الأول المتناسب · b الثاني المتناسب · c الثالث المتناسب · d الرابع المتناسب · وa , d طرفا التناسب · وb , c وسطا التناسب.
ما خاصية الضرب التقاطعي (خاصية ١)؟ وعكسها (خاصية ٢)؟
إذا a/b = c/d فإن a·d = b·c أي حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين (قاعدة الضرب التقاطعي) · وعكسها صحيح: إذا a·d = b·c فإن a/b = c/d.
ما خاصية (٣) في التناسب؟
إذا a/b = c/d فإن: (١) b/a = d/c (قلب النسبتين) · (٢) a/c = b/d (تبديل الوسطين) · (٣) (a+b)/b = (c+d)/d وكذلك (a−b)/b = (c−d)/d (جمع وطرح).
ما خاصية (٤) (الثابت k)؟
إذا a/b = c/d = k فإن a = bk وc = dk ، k ≠ 0 (يُفيد في فرض x = 3k , y = 7k عند معرفة النسبة بين متغيرين).
ماذا ينتج عن جمع المقدمات والتوالي في نسب متساوية؟
إذا كانت نسب متساوية فإن مجموع المقدمات ÷ مجموع التوالي = إحدى النسب، سواء مباشرة أو بعد ضرب حدّي أي نسبة في عدد حقيقي لا يساوي الصفر (لأن النسبة لا تتغير بضرب حدّيها في عدد غير صفري). ويسمى x في x : y مقدّم النسبة وy تالي النسبة.
إذا كانت 2 , x , 4 , 6 أعدادًا متناسبة فما x؟ (مثال ١)
2/x = 4/6 ⇒ 4x = 12 ⇒ x = 3.
أوجد الرابع المتناسب للأعداد 1 , 3 , 9 (مثال ٢) والثالث المتناسب لـ 4 , 7 , … , 35 (تحقق ٢).
1/3 = 9/x ⇒ x = 27 · 4/7 = x/35 ⇒ x = 20.
أوجد العدد الذي إذا طُرح من حدّي النسبة 7 : 9 أصبحت 4 : 5 (مثال ٣).
(7 − x)/(9 − x) = 4/5 ⇒ 35 − 5x = 36 − 4x ⇒ x = −1.
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
٣
حسابات المثلثات
الوحدة الثالثة · صفحات 144–210 · ستة دروس(١-٣) النسب المثلثية الأساسية ومقلوباتها · صفحات 145–160
في المثلث القائم الزاوية وبالنسبة للزاوية الحادة θ: المقابل، والمجاور، والوتر (أطول ضلع، مقابل القائمة). هذه النسب تربط بين أطوال أضلاع المثلث القائم وقياس زاويتيه الحادتين.
| النسبة | القاعدة | مقلوبها | القاعدة |
|---|---|---|---|
| sin θ | المقابل ÷ الوتر | csc θ | الوتر ÷ المقابل |
| cos θ | المجاور ÷ الوتر | sec θ | الوتر ÷ المجاور |
| tan θ | المقابل ÷ المجاور | cot θ | المجاور ÷ المقابل |
ما العلاقة بين كل نسبة ومقلوبها؟
حاصل ضرب النسبة في مقلوبها يساوي 1: (sin θ)(csc θ) = 1 ، (cos θ)(sec θ) = 1 ، (tan θ)(cot θ) = 1 (بشرط عدم انعدام النسبة).
ما الحروف المستخدمة للتعبير عن الزوايا؟
حروف لاتينية يونانية: α ألفا · β بيتا · γ جاما · θ ثيتا. والزاويتان المتتامتان مجموع قياسيهما 90°.
أوجد sin θ , cos θ , tan θ في المثلث ABC القائم في B حيث AB = 8 وBC = 6 وAC = 10 (مثال ١).
sin θ = 6/10 = 3/5 · cos θ = 8/10 = 4/5 · tan θ = 6/8 = 3/4.
أوجد النسب الثلاث في المثلث LMN القائم في M حيث LM = 12 وMN = 5 وLN = 13 (تحقق ١).
sin θ = 5/13 · cos θ = 12/13 · tan θ = 5/12.
في المثلث FQK القائم في Q حيث KQ = 15 وQF = 8: أوجد KF وقيم cos θ وsin α وsin θ وcos α (مثال ٢)، وماذا تلاحظ؟
KF = √(15² + 8²) = 17 · cos θ = 15/17 · sin α = 15/17 · sin θ = 8/17 · cos α = 8/17 · نلاحظ sin θ = cos α = cos(90° − θ) وcos θ = sin α = sin(90° − θ) لأن الزاويتين متتامتان.
في المثلث القائم في B حيث AB = 6 وBC = 4 وAC = 2√13: أثبت أنه قائم وأوجد csc θ , sec θ , cot θ (مثال ٣).
6² + 4² = 52 = (2√13)² فالمثلث قائم (عكس فيثاغورث) · csc θ = 2√13/4 = √13/2 · sec θ = 2√13/6 = √13/3 · cot θ = 6/4 = 3/2.
أوجد في المثلث القائم في M حيث LM = 6 وLN = 14 (تحقق ٣): MN وجميع النسب الست.
MN = √(14² − 6²) = √160 = 4√10 · sin θ = 6/14 = 3/7 · cos θ = 4√10/14 = 2√10/7 · tan θ = 6/(4√10) = 3√10/20 · csc θ = 7/3 · sec θ = 7√10/20 · cot θ = 2√10/3.
استخدام الآلة الحاسبة
ما نواتج التدريب على الآلة الحاسبة (وضع الدرجات DEG)؟
sin 53° = 0.79863551 · cos 58° = 0.5299192642 · tan 68° = 2.475086853 · sec 30° = 1.154700538 · cot 75° = 0.2679491924 · csc 42° = 1.49447655 ؛ ولمقلوب النسبة نستخدم زر x⁻¹ ، ولتحويل 37.45° إلى درجات ودقائق وثوانٍ: 37°27′0″.
ما الذي يجب تذكره عن sin⁻¹ , cos⁻¹ , tan⁻¹؟
لا تمثل معكوس sin , cos , tan بل هي دوال عكسية لإيجاد الزاوية من النسبة (باستخدام shift).
أوجد قياس الزاوية θ في كل مما يلي (مثال ٤).
(١) sin θ = 5/14 ⇒ θ = 20.92483243° = 20°55′29.4″ · (٢) cos θ = 9/15 ⇒ θ = 53.13010235° = 53°7′48.37″ · (٣) tan θ = 6/3 ⇒ θ = tan⁻¹ 2 = 63.43494882° = 63°26′5.82″.
أوجد قيمة x (مثال ٥).
(١) tan 39° = 10/x ⇒ x = 10 / tan 39° ≈ 12.35 · (٢) cos 57° = x/12 ⇒ x = 12 cos 57° ≈ 6.54 . ونختار النسبة المناسبة من المعلوم والمجهول ثم نستخدم خواص التناسب.
تحقق ٥: أوجد x إذا كان في المثلث الأول الزاوية 32° والضلع المجاور 16 وx الوتر.
cos 32° = 16/x ⇒ x = 16 / cos 32° ≈ 18.87.
الزاوية التي يصنعها مستقيم مع محور السينات
ميل المستقيم m = tan θ حيث θ الزاوية التي يصنعها المستقيم مع الاتجاه الموجب لمحور السينات. فالميل موجب إذا كانت الزاوية حادة، وسالب إذا كانت منفرجة.
المستقيم L : y = 3x + 2 ما tan θ؟ (لنعمل معًا)
tan θ = m = 3 ، لأن المستقيم الموازي لمحور السينات يصنع نفس الزاوية θ₁ = θ (زاويتان متناظرتان).
احسب الزاوية الحادة التي يصنعها المستقيم L : y = ¼x + 6 مع الاتجاه الموجب لمحور السينات (مثال ٦).
m = 1/4 = tan θ ⇒ θ = tan⁻¹(1/4) = 14.03624347° = 14°2′10.48″.
وللمستقيم y = x + 3 (تحقق ٦)؟
m = 1 ⇒ θ = tan⁻¹ 1 = 45°.
النسب المثلثية لبعض الزوايا الخاصة
كيف نستنتج النسب لـ 45°؟
في مثلث قائم متساوي الساقين AB = BC = x يكون AC = √(x² + x²) = √2 x ⇒ sin 45° = 1/√2 = √2/2 · cos 45° = √2/2 · tan 45° = 1.
وكيف نستنتج النسب لـ 30° و60°؟
من مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه x يُرسم فيه عمود CE فينتج مثلث قائم أضلاعه x/2 , √3x/2 , x : CE = √(x² − (x/2)²) = (√3/2) x.
| الزاوية | sin | cos | tan | csc | sec | cot |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | 2 | 2√3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | √2 | √2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | 2√3/3 | 2 | √3/3 |
الأنشطة والتقويم
ضع ✓ أو ✗ (١–٨): (١) في مثلث قائم في B: cos A · sec A = 1 (٢) في الشكل (13 , 5 , 12): sin(90° − θ) = 5/13 (٣) sin C · cot C = cos C (٤) AC = AB cos C (٥) cos C · tan C = sin C (٦) زاوية المستقيم y − x = 6 مع محور السينات 45° (٧) في المثلث (5 , 5 , 8): sin α = 5/8 (٨) sin γ = cos α للزاويتين الحادتين.
(١) ✓ · (٢) ✓ (لأن sin(90° − θ) = cos θ = 5/13) · (٣) ✓ · (٤) ✗ لأن cos C = BC/AC فـ BC = AC cos C · (٥) ✓ · (٦) ✓ ميله 1 · (٧) ✗ ارتفاع المثلث 3 فـ sin α = 3/5 · (٨) ✓ زاويتان متتامتان.
اختر (١–٦): (١) sin α في (13 , 5 , 12) · (٢) (sin α + cos α)/(sin α − cos α) في (5 , 3 , 4) · (٣) cos²θ + sin²θ · (٤) sin 30° cos 60° + cos 30° sin 60° · (٥) زاوية L : y = 5 + √3x · (٦) cos(90° − A) في المثلث ABC القائم في B.
(١) 5/13 · (٢) (3/5 + 4/5)/(3/5 − 4/5) = −7 · (٣) 1 · (٤) 1/4 + 3/4 = 1 · (٥) tan θ = √3 ⇒ 60° · (٦) sin A = BC/AC.
(مقال ١) أوجد النسب الأساسية لـ θ في المثلث (7 , 24 , 25).
sin θ = 24/25 · cos θ = 7/25 · tan θ = 24/7 (الزاوية θ محصورة بين الضلع 7 والوتر).
(مقال ٢) المثلث ACB أضلاعه AC = 4 وCB = 6 وAB = 2√13: أثبت أنه قائم في C وأوجد cos α وsin β.
4² + 6² = 52 = (2√13)² ⇒ قائم في C · cos α = 4/(2√13) = 2√13/13 · sin β = 4/(2√13) = 2√13/13 · نلاحظ أنهما متساويان (زاويتان متتامتان).
(مقال ٣ و٤ و٥) (٣) المثلث (AC = 5 , BC = 3 , قائم في B):
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
٤
المنطق والإحصاء
الوحدة الرابعة · صفحات 211–253 · أربعة دروس(١-٤) المنطق والتقارير · صفحات 211–217
الاستقراء: الانتقال من حالات خاصة (ملاحظات) إلى حكم عام. الاستنتاج: الانتقال من قاعدة عامة إلى حالة خاصة تندرج تحتها.
ما الفرق بين الاستقراء والاستنتاج؟ (مثال ١)
الاستقراء: «الحديد والنحاس والألمنيوم تتمدد بالحرارة إذًا المعادن تتمدد بالحرارة» (من الخاص إلى العام) · الاستنتاج: «جميع الأعداد الفردية لا تقبل القسمة على 2 والعدد 39 فردي إذًا 39 لا يقبل القسمة على 2» (من العام إلى الخاص).
التقرير (العبارة): جملة خبرية يمكن الحكم عليها بأنها صحيحة (T) أو خاطئة (F) ولكن لا يكون الحكم بالصحة والخطأ معًا. أما جمل التعجب والاستفهام والأمر والدعاء فليست تقارير.
أي الجمل تقارير؟ (مثال ٢)
«الشتاء فصل من فصول السنة» تقرير صحيح · «الفروانية عاصمة الكويت» تقرير (خاطئ) · أما التعجب والاستفهام فلا يُحكم عليها بالصحة أو الخطأ فليست تقارير.
ما قيمة صحة: «العدد 32 يقبل القسمة على 4» و«العدد 5 من مضاعفات العدد 10»؟ (مثال ٣)
الأولى صحيحة T لأن 32 ÷ 4 = 8 · الثانية خاطئة F لأن مضاعفات 10 هي 10 و20 و30 ...
(٢-٤) أدوات الربط (العمليات المنطقية) · صفحات 218–231
التقارير تُرمز بالحروف ρ , q , r ، وتُربط بأدوات: النفي ~ ، «و» ∧ ، «أو» ∨ ، «إذا ... فإن» → ، «إذا وفقط إذا» ↔. وجدول الصحة لعبارة فيها n تقريرًا بسيطًا له 2ⁿ صفًا.
ما نفي التقرير؟ (مثال ١)
نفي ρ هو ~ρ ويعاكس قيمة صحته: إذا كانت ρ صحيحة كانت ~ρ خاطئة والعكس (مثل ρ: عيون أحمد زرقاء،
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
✎
اختبر نفسك
اختر الإجابة وسيظهر الصواب فورًاباقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة
★ نصائح ليلة الاختبار
١) الوحدة ١: الرأس (−b/a , c) والمدى [c,∞) أو (−∞,c] · |ax+b| = cx+d اكتب شرط الحل cx+d ≥ 0 وارفض القيم المخالفة · Δ = b²−4ac · القانون العام x = (−b ± √Δ)/2a · المجموع
باقي هذا القسم مقفل افتح المذكرة كاملة